閉形式と完全形式

物理のための微分幾何入門　第12章 §12.5　★★★ 閉形式は局所には完全形式であるが、穴のある空間では大域には完全とは限らず、その差が Aharonov–Bohm 効果になる

閉形式と完全形式

$\mathrm{d}^2=0$ から、完全形式は必ず閉形式である。問題はその逆で、物理の言葉に直すと次の2つの問いになる。第一に、$\nabla\times\bm{F}=0$ の力は、必ずポテンシャルを使って $\bm{F}=-\nabla V$ と書けるか。第二に、$\nabla\cdot\bm{B}=0$ の磁場は、必ず $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ と書けるか。

答えは、空間の形で決まる。穴の無い領域では、閉形式はいつも完全形式である（Poincaré の補題）。穴のある領域では、そうとは限らない。

Poincaré の補題

領域 $U\subset\mathbb{R}^n$ が原点について星形であるとは、次が成り立つことをいう。すなわち、$U$ の点と原点を結ぶ線分が、すべて $U$ に含まれる。凸な領域や $\mathbb{R}^n$ 全体は星形である。

証明

成分は (12.7) の反対称な成分で書く。$\eta=K\omega$ の成分は、残りの添字について反対称である。(12.12) を使い、$\mathrm{d}\eta$ の成分を計算する。

$$(\mathrm{d}\eta)_{i_1\cdots i_k}=\sum_{a=1}^k(-1)^{a-1}\,\partial_{i_a}\eta_{i_1\cdots\widehat{i_a}\cdots i_k}$$

被積分関数を $x^{i_a}$ で微分すると、2つの項が出る。

1つ目は $x^j$ を微分した項で、$t^{k-1}\omega_{i_ai_1\cdots\widehat{i_a}\cdots i_k}(tx)$ になる。2つ目は $\omega(tx)$ を微分した項で、連鎖律から $t^k\,x^j(\partial_{i_a}\omega_{j\cdots})(tx)$ になる。

1つ目の項では、$i_a$ を元の位置へ戻すと符号 $(-1)^{a-1}$ が出る。これが和の符号と打ち消す。$a$ について和をとると、1つ目の項の和は $k\,t^{k-1}\omega_{i_1\cdots i_k}(tx)$ になる。

2つ目の項には閉性を使う。(12.12) で $(\mathrm{d}\omega)_{ji_1\cdots i_k}=0$ と書くと、次の関係が出る。

$$\sum_{a=1}^k(-1)^{a-1}\,\partial_{i_a}\omega_{ji_1\cdots\widehat{i_a}\cdots i_k}=\partial_j\omega_{i_1\cdots i_k}$$

2つを合わせると、被積分関数は $t$ についての全微分になる。

$$(\mathrm{d}\eta)_{i_1\cdots i_k}(x)=\int_0^1\Bigl[k\,t^{k-1}\omega_{i_1\cdots i_k}(tx)+t^k\,x^j(\partial_j\omega_{i_1\cdots i_k})(tx)\Bigr]\mathrm{d} t =\int_0^1\frac{d }{d t}\bigl[t^k\omega_{i_1\cdots i_k}(tx)\bigr]\mathrm{d} t$$

右辺は $\omega_{i_1\cdots i_k}(x)$ である。星形の仮定は、線分上の点 $tx$ がすべて $U$ に入り、被積分関数が定義されるために使った。

$k=1$ のとき、(12.32) は原点から $x$ までの線分に沿った線積分である。

$$f(x)=\int_0^1x^j\,\omega_j(tx)\,\mathrm{d} t$$

これは、力学でポテンシャルを作るときの、基準点から線積分する方法そのものである。多様体の上では、どの点にも星形の座標近傍があるので、閉形式は局所には必ず完全形式である。

穴のある平面と $\mathrm{d}\theta$

原点を除いた平面 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ の上で、次の1形式を考える。

$$\omega=\frac{-y\,\mathrm{d} x+x\,\mathrm{d} y}{x^2+y^2}\tag{12.33}$$

極座標へ引き戻すと、確認テスト 12.3-2 の計算から $-y\,\mathrm{d} x+x\,\mathrm{d} y=r^2\,\mathrm{d}\theta$ である。したがって $\omega=\mathrm{d}\theta$ になる。

ただし $\theta$ は平面全体では1つの値に決まらない（1周すると $2\pi$ だけずれる）。そのためこの式は、$\theta$ が1つに定まる切れ目を入れた領域の上でだけ意味を持つ。

証明

閉性を示す。係数を $P=-y/(x^2+y^2)$、$Q=x/(x^2+y^2)$ とおく。外微分の係数 $\partial_xQ-\partial_yP$ を計算する。

$$\partial_xQ=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad \partial_yP=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$$

2つは等しいので、$\mathrm{d}\omega=0$ である。

完全でないことを背理法で示す。仮に、$\omega=\mathrm{d} f$ となる関数 $f$ が原点を除いた平面の上にあるとする。単位円 $C$ は閉曲線なので始点と終点が同じで、(12.27) から $\oint_C\mathrm{d} f=0$ である。

一方、単位円の上では $\omega$ の引き戻しが $\mathrm{d}\theta$ である。そのため1周の積分は $2\pi$ になる。これは矛盾である。

原点を囲まない閉曲線 $C_2$ では事情が違う（図 12.6）。$C_2$ が囲む円板は、原点を除いた平面に含まれる。そのため Stokes の定理から、$\oint_{C_2}\omega=\int\mathrm{d}\omega=0$ である。原点を $n$ 回まわる閉曲線では、積分は $2\pi n$ になる。

したがって $\oint\omega/2\pi$ は、閉曲線が原点を何回まわるか（回転数）を数える。

de Rham コホモロジーの入口

閉形式のうち完全形式でないものがどれだけあるかを測るのが、de Rham コホモロジーである。

Poincaré の補題は、星形の領域で $k\ge1$ なら $H^k=0$ という主張である。0次では、$\mathrm{d} f=0$ の関数は連結成分ごとに定数である（確認テスト 12.5-4）。そのため $H^0(M)$ の次元は連結成分の数になる。穴のある平面では、次の事実が知られている。

証明の筋を述べる。$\omega'=\omega-c\,\mathrm{d}\theta$ は閉じていて、単位円での積分が $0$ である。任意の閉曲線は、原点を囲まない小さな閉曲線の和と、単位円を何回かまわるものとに分けて変形できる。

前者では Stokes の定理から積分が $0$ で、後者では仮定から $0$ である。そのため、$\omega'$ の線積分は経路に依らない。基準点からの線積分で $f$ を定めれば、$\mathrm{d} f=\omega'$ となる。変形の部分の厳密な議論は、de Rham コホモロジーの本に譲る。

Aharonov–Bohm 効果

細く長いソレノイドの外側では、磁場が $0$ である。それでもベクトルポテンシャルは $0$ にできず、量子力学の干渉に観測できる影響が残る。これを Aharonov–Bohm 効果と呼ぶ。

ソレノイドを $z$ 軸に沿って置き、中を通る磁束を $\Phi$ とする。外側の領域は $z$ 軸の近くの円柱を除いた空間で、$xy$ 平面への射影は穴のある平面である。外側では $\Phi_{\bm{B}}=\mathrm{d}\bm{A}^\flat=0$ なので、$\bm{A}^\flat$ は閉じた1形式である。

一方、ソレノイドを1周する閉曲線 $C$ を考える。曲線の内側の円板（ソレノイドの断面を含む）に Stokes の定理を使うと、次の値になる。

$$\oint_C\bm{A}^\flat=\int_{\text{円板}}\Phi_{\bm{B}}=\Phi\tag{12.35}$$

したがって外側では、$\bm{A}^\flat$ は次の形である。

$$\bm{A}^\flat=\frac{\Phi}{2\pi}\,\mathrm{d}\theta+\mathrm{d}\chi$$

$\Phi\ne0$ なら、これは完全形式ではない（定理 12.19）。

電荷 $q$ の粒子の波動関数は、経路 $\gamma$ に沿って次の位相因子を受け取る。

$$\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} q}{\hbar}\int_\gamma\bm{A}^\flat\Bigr)$$

ソレノイドの左右を通る2つの経路の位相差は、2つを合わせた閉曲線での積分から $q\Phi/\hbar$ になる。ゲージ変換 $\bm{A}^\flat\to\bm{A}^\flat+\mathrm{d}\chi$ をしても、閉曲線の積分は (12.27) から変わらない。観測できるのは $\bm{A}^\flat$ そのものではなく、その de Rham コホモロジーの類（閉曲線での積分）である。

確認テスト

オリジナル

1. 12.5-1 完全形式は閉形式であることを示せ。次の1形式が、原点を除いた平面の上で完全形式であることを示せ。

$$\frac{x\,\mathrm{d} x+y\,\mathrm{d} y}{x^2+y^2}$$

それを外微分にもつ関数を求めればよい。2. 12.5-2 次の1形式が閉じていることを確かめよ。

$$\omega=(2xy+z)\,\mathrm{d} x+x^2\,\mathrm{d} y+x\,\mathrm{d} z$$

(12.32) で、$\mathrm{d} f=\omega$ となる関数 $f$ を求めよ。3. 12.5-3 (12.33) の $\omega$ を、正方形 $[-1,1]^2$ の周に沿って反時計回りに積分する。その値を、辺ごとの直接計算で求めよ。また、正方形 $[1,2]\times[-\tfrac12,\tfrac12]$ の周に沿った積分が $0$ になる理由を述べよ。4. 12.5-4 連結な多様体で $\mathrm{d} f=0$ を満たす関数 $f$ は定数であることを示せ。これを使って、$\mathbb{R}\setminus\{0\}$ の0次 de Rham コホモロジーの次元を求めよ。