外積と $k$ 形式

物理のための微分幾何入門　第12章 §12.1　★★★ 面積・体積を「ベクトルを受け取る反対称な多重線形写像」として抜き出したものが $k$ 形式で、その最高次は行列式になる

第3章では、接ベクトルを1本受け取って数を返すものとして1形式を導入した。関数の微分 $\mathrm{d} f$ がその代表例であった。この章ではこれを、接ベクトルを $k$ 本受け取って反対称に数を返す量へ広げる。この量を $k$ 形式と呼ぶ。

平行四辺形の符号つき面積や平行六面体の符号つき体積が、$k$ 形式の最も簡単な例である。$k$ 形式の上には、外微分 $\mathrm{d}$ という演算が座標に依らずに定まる。3次元のユークリッド空間では、勾配・回転・発散はどれもこの $\mathrm{d}$ を書き直したものである。

ベクトル解析の2つの恒等式 $\nabla\times\nabla f=0$ と $\nabla\cdot(\nabla\times\bm{A})=0$ は、外微分の言葉では同じ1つの式になる。その式が $\mathrm{d}^2=0$ である。積分の側では、Green・Gauss・Stokes の3つの積分定理が次の1つの式にまとまる。

$$\int_M\mathrm{d}\omega=\int_{\partial M}\omega$$

前の章から使う結果は次のとおりである。第2章 §2.4 の押し出し $f_*$ と、第3章 §3.1 の双対基底を使う。双対基底は、座標基底との組で次の関係を満たす。

$$\mathrm{d} x^i\Bigl(\frac{\partial }{\partial x^j}\Bigr)=\delta^i{}_j,\qquad \mathrm{d} f=\frac{\partial f}{\partial x^i}\,\mathrm{d} x^i$$

第4章 §4.3 の反対称テンソル（電磁場テンソル $F_{\mu\nu}$）は、この章で2形式として読み直す。

第5章の計量 $g_{ij}$ と体積要素 $\sqrt{\left\vert g\right\vert }$ も使う。第5章 §5.3 で導いたラプラシアンの一般形は次の式である。

$$\Delta f=\frac{1}{\sqrt g}\,\partial_i\bigl(\sqrt g\,g^{ij}\partial_jf\bigr)$$

§12.6 ではこれを Hodge 双対から導き直す。

この章の結果は、あとの3つの章で使う。第13章は Lie 微分を形式に当て、Cartan の公式 $\mathcal L_X=\iota_X\mathrm{d}+\mathrm{d}\iota_X$ を導く。第14章は相空間の正準2形式 $\omega=\mathrm{d} p_i\wedge\mathrm{d} q^i$ を扱い、その閉性と非退化性から解析力学の構造を組み立てる。第15章では、ゲージ場を接続とみなし、場の強さを曲率の2形式として読む。

符号つきの面積から

平面の2本のベクトル $u=(u^1,u^2)$、$v=(v^1,v^2)$ が張る平行四辺形を考える。その符号つき面積は次の式で書ける。

$$A(u,v)=u^1v^2-u^2v^1\tag{12.1}$$

符号は、$u$ から $v$ へ反時計回りに回るとき正、時計回りのとき負である（図 12.1）。

この $A$ には3つの性質がある。第一に、2本のどちらについても線形である。第二に、2本を入れ替えると符号が反転する。第三に、同じベクトルを2回入れると $0$ になる。

第二と第三は同じ内容である。$A(u+v,u+v)=0$ を展開すると、$A(u,v)=-A(v,u)$ が出るからである。

3次元の平行六面体の符号つき体積は、3本のベクトルを並べた行列式である。これも各引数について線形で、2本を入れ替えると符号が変わる。この2つの性質だけを取り出して定義にしたものが、次の $k$ 形式である。

$k$ 形式と外積

引数を入れ替えると符号が反転することは、同じベクトルを2回入れると $0$ になることと同値である。このため、1次従属なベクトルの組を入れると $k$ 形式の値は必ず $0$ になる。平行四辺形がつぶれれば面積が $0$ になることを、この性質が表している。

1形式どうしの場合、(12.3) は2項になる。

$$(\alpha\wedge\beta)(u,v)=\alpha(u)\beta(v)-\alpha(v)\beta(u)\tag{12.4}$$

これは (12.2) の $k=2$ の場合と一致する。平面の座標 $(x,y)$ の双対基底で書くと、$\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$ の値は (12.1) の符号つき面積そのものである。

証明

線形性は、(12.3) の右辺が $\omega$ についても $\eta$ についても線形であることから従う。

(12.5) を示す。後ろの $l$ 個の引数を前へ移す並べ替えを $\tau$ とする。後ろの各引数が前の引数を1つずつ追い越すので、互換の数は $kl$ で、符号は $(-1)^{kl}$ である。

$\eta\wedge\omega$ を (12.3) で展開し、和の変数の並べ替えに $\tau$ を合成する。すると各項は $\omega\wedge\eta$ の展開の項に移り、符号だけが $(-1)^{kl}$ ずれる。

結合法則は、両辺を (12.3) で展開して示す。どちらも、引数の並べ替え全体の和に $1/(k!\,l!\,m!)$ を掛けた同じ式になる。最後の主張は、(12.5) で $k=l=1$ とすると $\alpha\wedge\alpha=-\alpha\wedge\alpha$ となることによる。

基底と次元

$V$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ をとる。その双対基底を $\mathrm{d} x^1,\dots,\mathrm{d} x^n$ と書く。添字の組 $I=(i_1,\dots,i_k)$ について、次の略記を使う。

$$\mathrm{d} x^I=\mathrm{d} x^{i_1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^{i_k}$$

証明

増加する組 $I$ と $J$ をとる。(12.2) から、$\mathrm{d} x^I$ を基底ベクトルの組 $e_J=(e_{j_1},\dots,e_{j_k})$ に当てた値は、Kronecker のデルタを並べた行列式である。その値は、2つの組が等しいとき $1$ で、それ以外は $0$ になる。

任意の $k$ 形式 $\omega$ をとる。その成分を $\omega_I=\omega(e_{i_1},\dots,e_{i_k})$ と置く。これを係数にして、次の形式を作る。

$$\tilde\omega=\sum_{I\,\text{増加}}\omega_I\,\mathrm{d} x^I$$

$\omega$ と $\tilde\omega$ は、増加する組の基底ベクトルに対して同じ値をとる。反対称性から、基底ベクトルの任意の並びでも値が一致する。多重線形性から、すべての引数で一致する。したがって $\omega=\tilde\omega$ である。

1次独立性を示す。$\sum_Ic_I\,\mathrm{d} x^I=0$ を $e_J$ に当てると、係数が0になる。増加する組の数は、$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数である。

計算では、すべての添字について和をとる書き方も使う。

$$\omega=\frac{1}{k!}\,\omega_{i_1\cdots i_k}\,\mathrm{d} x^{i_1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^{i_k},\qquad \omega_{i_1\cdots i_k}=\omega(e_{i_1},\dots,e_{i_k})\tag{12.7}$$

成分 $\omega_{i_1\cdots i_k}$ は添字について完全反対称である。同じ項が $k!$ 回ずつ現れるので、それを $1/k!$ で打ち消している。2形式なら次の形で、第4章の反対称テンソルの成分がこの $\omega_{ij}$ にあたる。

$$\omega=\tfrac12\,\omega_{ij}\,\mathrm{d} x^i\wedge\mathrm{d} x^j$$

最高次の形式と行列式

証明

左辺を多重線形に展開すると、次の和になる。

$$\sum_{j_1,\dots,j_n}A^1{}_{j_1}\cdots A^n{}_{j_n}\,\mathrm{d} x^{j_1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^{j_n}$$

同じ添字が2回現れる項は、命題 12.3 により $0$ である。残るのは、添字の列が $(1,\dots,n)$ の並べ替え $\sigma$ になる項だけである。並べ替えを互換の積に分けて (12.5) を繰り返し使うと、次の式が成り立つ。

$$\mathrm{d} x^{\sigma(1)}\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^{\sigma(n)}=\operatorname{sgn}\sigma\;\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n$$

係数の和 $\sum_\sigma\operatorname{sgn}\sigma\,A^1{}_{\sigma(1)}\cdots A^n{}_{\sigma(n)}$ は、行列式の定義そのものである。

この定理をベクトルの組 $v_1,\dots,v_n$ に当てると、値は成分を並べた行列の行列式になる。これが平行六面体の符号つき体積である。

向きは、この符号で定める。2つの順序つき基底は、互いの変換行列の行列式が正のとき同じ向きを持つという。同じ向きの基底の類を1つ選ぶことを、$V$ に向きを入れるという。$0$ でない $n$ 形式を1つ選ぶと、それが正の値をとる基底の類として向きが1つ決まる。

多様体の上の微分形式

多様体 $M$ の各点に、接空間の上の $k$ 形式を滑らかに割り当てたものを考える。これを $k$ 次微分形式、または単に $k$ 形式と呼ぶ。その全体を $\Omega^k(M)$ と書く。座標 $(x^1,\dots,x^n)$ の上では、成分を関数として次のように書ける。

$$\omega=\sum_{I\,\text{増加}}\omega_I(x)\,\mathrm{d} x^I$$

$\Omega^0(M)$ は関数全体である。$\Omega^1(M)$ は第3章の1形式の場である。

物理で出会う形式は、何本のベクトルを受け取る量かで見分けられる。仕事は1本の変位ベクトルを受け取って数を返すので、力は1形式として現れる。磁束は面を張る2本のベクトルを受け取るので、磁場は2形式として現れる。電荷密度は体積を張る3本を受け取るので、3形式として現れる。

3次元ユークリッド空間では、この3種類はどれもベクトルか関数と同一視できる。ベクトル $\bm{a}$ に、仕事の形と流束の形の2つの形式を対応させる。

$$\bm{a}^\flat=a_x\,\mathrm{d} x+a_y\,\mathrm{d} y+a_z\,\mathrm{d} z,\qquad \Phi_{\bm{a}}=a_x\,\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z+a_y\,\mathrm{d} z\wedge\mathrm{d} x+a_z\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\tag{12.9}$$

前者は $\bm{a}^\flat(\bm{v})=\bm{a}\cdot\bm{v}$ を満たす。後者は $\Phi_{\bm{a}}(\bm{u},\bm{v})=\bm{a}\cdot(\bm{u}\times\bm{v})$ を満たす。関数 $\rho$ には3形式 $\rho\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z$ を対応させる。

この同一視は、ユークリッドの内積と向き（右手系）を使っている。ベクトルと1形式を内積で結ぶのは、第5章 §5.2 の添字の下げ方である。2形式と1形式を結ぶのは、§12.6 の Hodge 双対である。内積を変えるか向きを逆にすると対応が変わるので、曲線座標や時空ではこの対応をそのまま使えない。

証明

左辺を展開すると、$\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} x$ のような項は消える。$\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z$ の係数は $a_yb_z-a_zb_y$ である。ほかの2つの基底の係数も同じ形で、添字を巡回させたものになる。これらはクロス積 $\bm{a}\times\bm{b}$ の成分である。

確認テスト

オリジナル

1. 12.1-1 1形式 $\alpha$ について、(12.4) から直接 $\alpha\wedge\alpha=0$ を示せ。次に、4次元の2形式 $\omega=\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} x^3\wedge\mathrm{d} x^4$ について $\omega\wedge\omega$ を求めよ。2形式では $\omega\wedge\omega$ が $0$ とは限らないことを確かめよ。
2. 12.1-2 面心立方格子の基本並進ベクトルは、格子定数を $a$ として次の3本である。

$$\bm{a}_1=\tfrac a2(0,1,1),\qquad \bm{a}_2=\tfrac a2(1,0,1),\qquad \bm{a}_3=\tfrac a2(1,1,0)$$

3本に3形式 $\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z$ を当てた値を求め、基本単位胞の体積を答えよ。$\bm{a}_1$ と $\bm{a}_2$ の順を入れ替えると値がどうなるかも答えよ。3. 12.1-3 4次元の1形式 $\alpha=\mathrm{d} x^1+\mathrm{d} x^2$、$\beta=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} x^3$ をとる。もう1つ $\gamma=\mathrm{d} x^3+\mathrm{d} x^4$ をとる。$\alpha\wedge\beta\wedge\gamma$ を、増加する3つ組の基底で展開せよ。4. 12.1-4 1形式の組 $\alpha^1,\dots,\alpha^k$ を考える。これが1次従属であることと、外積 $\alpha^1\wedge\dots\wedge\alpha^k$ が $0$ であることが同値であることを示せ。