Hodge 双対と物理の方程式

物理のための微分幾何入門　第12章 §12.6　★★★ 計量を使って $k$ 形式を $n-k$ 形式へ移す Hodge 双対を入れると、発散・ラプラシアン・Maxwell 方程式の残り半分が書ける

計量が要る理由

外微分は計量を使わずに定まり、$k$ 形式を $k+1$ 形式へ移す。しかし外微分だけでは、1形式 $\bm{a}^\flat$ から発散を作ることはできない。発散は1形式からではなく、流束の形の2形式 $\Phi_{\bm{a}}$ から (12.17) で作るものだからである。

1形式と2形式を結ぶ対応は、§12.1 でユークリッドの内積と向きを使って入れたものであった。その対応を一般の計量で定めたものが、Hodge 双対である。

Hodge 双対の定義

$n$ 次元の多様体に、計量 $g_{ij}$ と向きが入っているとする。1形式の内積を $\langle\mathrm{d} x^i,\mathrm{d} x^j\rangle=g^{ij}$ で定める。$k$ 形式へは、添字を上げた成分の縮約で広げる。

$$\langle\alpha,\beta\rangle=\frac1{k!}\,\alpha_{i_1\cdots i_k}\,\beta^{i_1\cdots i_k}\tag{12.36}$$

正の向きの座標で、体積形式を次のように定める。

$$\mathrm{vol}=\sqrt{\left\vert g\right\vert }\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n,\qquad g=\det(g_{ij})$$

このような形式がただ1つ存在することを、正規直交な余枠で確かめる。各点で $\langle e^i,e^j\rangle=\pm\delta^{ij}$ を満たす1形式の組 $e^1,\dots,e^n$ をとる。符号は計量の符号数で決まる。正の向きなら、$\mathrm{vol}=e^1\wedge\dots\wedge e^n$ である。

証明

$\alpha$ が基底 $e^K$ の場合に (12.37) を確かめれば足りる。$K=I$ なら、左辺は $\langle e^I,e^I\rangle\,\mathrm{vol}$ で、右辺に等しい。2つの組が異なれば、$e^K$ と $e^J$ は共通の1形式を含むので、左辺は0になる。右辺も、異なる基底の内積が $0$ なので $0$ である。

一意性は、外積による $\Lambda^k$ と $\Lambda^{n-k}$ の対が非退化であることから従う。

(12.39) を示す。(12.38) を2回使うと、次の式になる。

$$\star\star e^I=\langle e^I,e^I\rangle\langle e^J,e^J\rangle\,s_{IJ}\,s_{JI}\,e^I$$

2つの組を入れ替える符号は、(12.5) から $(-1)^{k(n-k)}$ である。したがって $s_{JI}=(-1)^{k(n-k)}s_{IJ}$ である。2つの内積の積は、基底の各1形式の内積をすべて掛けたもので、$g$ の符号に等しい。

3次元ユークリッド空間では、$e^i=\mathrm{d} x^i$ として (12.38) を当てる。

$$\star1=\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z,\quad \star\mathrm{d} x=\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z,\quad \star\mathrm{d} y=\mathrm{d} z\wedge\mathrm{d} x,\quad \star\mathrm{d} z=\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\tag{12.40}$$

(12.39) から $\star\star=1$ なので、逆向きの対応も同じ表から読める。§12.1 の対応 (12.9) は、$\Phi_{\bm{a}}=\star\bm{a}^\flat$ と書ける。

ベクトル解析の演算とラプラシアン

Hodge 双対を使うと、3次元のベクトル解析の演算はすべて形式の言葉で書ける。

$$(\nabla f)^\flat=\mathrm{d} f,\qquad (\nabla\times\bm{a})^\flat=\star\mathrm{d}\bm{a}^\flat,\qquad \nabla\cdot\bm{a}=\star\mathrm{d}\star\bm{a}^\flat,\qquad \Delta f=\star\mathrm{d}\star\mathrm{d} f\tag{12.41}$$

右辺は計量と向きだけを使って定まるので、どの座標でも同じ式で計算できる。

証明

1形式 $\beta=\beta_i\,\mathrm{d} x^i$ の Hodge 双対は、添字を上げた成分 $\beta^i=g^{ij}\beta_j$ を使って次の形になる。

$$\star\beta=\sum_i(-1)^{i-1}\sqrt g\,\beta^i\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\widehat{\mathrm{d} x^i}\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n$$

これを確かめるには、(12.37) の左辺に $\alpha=\mathrm{d} x^j$ を入れる。和の第 $i$ 項との外積は、$i=j$ のときだけ残る。そのとき符号 $(-1)^{i-1}$ と並べ替えの符号が打ち消し、次の値になる。

$$\mathrm{d} x^j\wedge\star\beta=\sqrt g\,\beta^j\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n=\langle\mathrm{d} x^j,\beta\rangle\,\mathrm{vol}$$

$\beta=\mathrm{d} f$ とし、外微分をとる。第 $i$ 項では $\partial_i$ の項だけが残る。$\mathrm{d} x^i$ を元の位置へ戻す符号 $(-1)^{i-1}$ が、前の符号と打ち消す。

$$\mathrm{d}\star\mathrm{d} f=\partial_i\bigl(\sqrt g\,g^{ij}\partial_jf\bigr)\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n$$

最後に、$\star\mathrm{vol}=1$ と $\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n=\mathrm{vol}/\sqrt g$ を使う。すると (12.42) を得る。$\star\mathrm{vol}=1$ は、(12.38) で補集合が空の場合にあたる。

第5章 §5.3 では、同じ式を計量と体積要素から導いた。ここでの導出から、式の中の $\sqrt g$ は体積形式の係数だと分かる。$g^{ij}$ は、1形式 $\mathrm{d} f$ をベクトルへ移すために要るものである。『電磁気学入門』第1章 §1.4 の曲線座標の公式は、どれも (12.41) を正規直交な余枠で書いたものである。

Maxwell 方程式

Minkowski 時空で、座標 $x^\mu=(ct,x,y,z)$ と計量 $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ を使う。正規直交な余枠は $\mathrm{d} x^\mu$ そのものである。内積は $\langle\mathrm{d} x^0,\mathrm{d} x^0\rangle=1$、$\langle\mathrm{d} x^i,\mathrm{d} x^i\rangle=-1$ である。体積形式を $\mathrm{vol}=\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3$ とする。

$\operatorname{sgn}(g)=-1$ なので、(12.39) から2形式では $\star\star=-1$ である。(12.38) で2形式の基底の双対を求めると、次のようになる。

$$\star(\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^1)=-\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3,\qquad \star(\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3)=\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^1\tag{12.43}$$

空間の添字を巡回させた式も成り立つ。1形式の双対は次のとおりで、$\mathrm{d} x^2$、$\mathrm{d} x^3$ も巡回させた形になる。

$$\star\mathrm{d} x^0=\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3,\qquad \star\mathrm{d} x^1=\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3$$

電磁場の2形式は $F=\frac12F_{\mu\nu}\,\mathrm{d} x^\mu\wedge\mathrm{d} x^\nu$ である。成分は $F_{0i}=E^i/c$、$F_{12}=-B^3$ で、第4章 §4.3 と『電磁気学入門』第10章の記法と同じである。基底で書くと次のようになる。

$$F=\frac1c\bigl(E_x\,\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^1+E_y\,\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^2+E_z\,\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^3\bigr) -\bigl(B_x\,\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3+B_y\,\mathrm{d} x^3\wedge\mathrm{d} x^1+B_z\,\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\bigr)\tag{12.44}$$

(12.43) を当てると、その双対が出る。

$$\star F=-\bigl(B_x\,\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^1+B_y\,\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^2+B_z\,\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^3\bigr) -\frac1c\bigl(E_x\,\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3+E_y\,\mathrm{d} x^3\wedge\mathrm{d} x^1+E_z\,\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\bigr)\tag{12.45}$$

$\star F$ は、$F$ の中で電場と磁場を入れ替えた形をしている。具体的には、電場の項 $\bm{E}/c$ を $-\bm{B}$ に置き換える。磁場の項 $\bm{B}$ は $\bm{E}/c$ に置き換える。

証明

$\mathrm{d} F$ を計算する。(12.44) の第1の括弧では、$\mathrm{d} x^0$ についての微分の項が $\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^0=0$ で消える。空間の微分の項を $\mathrm{d} x^0$ の後ろへまとめると、(12.16) の形の回転が現れる。

$$\mathrm{d}\Bigl[\frac1c E_i\,\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^i\Bigr]=-\frac1c\,\mathrm{d} x^0\wedge\bigl[(\nabla\times\bm{E})_x\,\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3+(\nabla\times\bm{E})_y\,\mathrm{d} x^3\wedge\mathrm{d} x^1+(\nabla\times\bm{E})_z\,\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\bigr]$$

第2の括弧からは、時間の微分の項と、(12.17) の発散の項が出る。

$$-\mathrm{d}\bigl[B_x\,\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3+\cdots\bigr]=-\frac1c\,\mathrm{d} x^0\wedge\bigl[\partial_tB_x\,\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3+\cdots\bigr]-(\nabla\cdot\bm{B})\,\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3$$

ここで $\partial_0=\frac1c\partial_t$ を使った。基底ごとの係数が $0$ になる条件が、Faraday の法則と磁場の Gauss の法則である。

$\mathrm{d}\star F$ も同じ計算で、(12.45) の置き換えをすればよい。

$$\mathrm{d}\star F=\mathrm{d} x^0\wedge\Bigl[\Bigl(\nabla\times\bm{B}-\frac1{c^2}\partial_t\bm{E}\Bigr)_x\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3+\cdots\Bigr]-\frac1c(\nabla\cdot\bm{E})\,\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3$$

一方、$J_\mu=(c\rho,-\bm{J})$ と1形式の双対の表から、右辺の形式は次のとおりである。

$$\star J^\flat=c\rho\,\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3-\mathrm{d} x^0\wedge\bigl[J_x\,\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3+J_y\,\mathrm{d} x^3\wedge\mathrm{d} x^1+J_z\,\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\bigr]$$

係数を比べる。3形式 $\mathrm{d} x^1\wedge\mathrm{d} x^2\wedge\mathrm{d} x^3$ の係数から、$\nabla\cdot\bm{E}/c=\mu_0c\rho$ が出る。$\mu_0\varepsilon_0c^2=1$ を使うと、これは $\nabla\cdot\bm{E}=\rho/\varepsilon_0$ である。$\mathrm{d} x^0$ を含む項の係数から、Ampère–Maxwell の法則が出る。

電磁場がポテンシャルの外微分 $F=\mathrm{d} A$ なら、前者の式は $\mathrm{d}^2=0$ から自動的に成り立つ。これは成分で書いた式 $\partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0$（Bianchi 恒等式）と同じ内容である。ゲージ変換 $A\to A+\mathrm{d}\chi$ で電磁場が変わらないことも、$\mathrm{d}^2=0$ による。

後者の式は、成分では $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$ である（共変形の導出は『電磁気学入門』第10章 §10.4）。右辺の負号は、計量の符号と体積形式の向きの選び方から出るもので、物理の内容は変わらない。

熱力学の Maxwell の関係式

熱力学の状態空間は2次元の多様体で、計量は無いが外微分は使える（第5章 §5.5）。内部エネルギー $U$ を状態空間の関数とみなすと、熱力学の基本関係式は1形式の等式である。

$$\mathrm{d} U=T\,\mathrm{d} S-p\,\mathrm{d} V\tag{12.47}$$

両辺に $\mathrm{d}$ を当てると、左辺は $\mathrm{d}^2U=0$ で、右辺は Leibniz 則で2項になる。

$$\mathrm{d} T\wedge\mathrm{d} S=\mathrm{d} p\wedge\mathrm{d} V\tag{12.48}$$

この1つの2形式の等式を、いろいろな座標（チャート）で成分に書くと、Maxwell の関係式がすべて出る。

確認テスト

オリジナル

1. 12.6-1 3次元ユークリッド空間で、(12.37) から $\star\mathrm{d} x=\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z$ を確かめよ。同様に $\star(\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y)=\mathrm{d} z$ を確かめ、すべての次数で $\star\star=1$ を示せ。
2. 12.6-2 球座標 $(r,\theta,\varphi)$ の正規直交な余枠として、次の3つを使う。

$$e^1=\mathrm{d} r,\qquad e^2=r\,\mathrm{d}\theta,\qquad e^3=r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi$$

$f=r^m$ について $\star\mathrm{d}\star\mathrm{d} f$ を計算せよ。その結果から、Coulomb ポテンシャルにあたる $m=-1$ では、原点の外で $\Delta f=0$ となることを確かめよ。3. 12.6-3 $\mathrm{d}(\star J^\flat)$ を計算し、それが $(\partial_t\rho+\nabla\cdot\bm{J})\,\mathrm{vol}$ に等しいことを示せ。4. 12.6-4 (12.43) を使って、$\mathrm{d} x^0\wedge\mathrm{d} x^1$ について $\star\star=-1$ を確かめよ。真空の Maxwell 方程式（(12.46) で電流を0とした式）の解 $F$ を考える。$F'=\star F$ も解であることを示せ。それを使って、場の置き換え $(\bm{E},\bm{B})\to(-c\bm{B},\bm{E}/c)$ で真空の方程式が保たれることを述べよ。5. 12.6-5 (12.48) を座標 $(S,p)$ で成分に書け。それを使って、$(\partial T/\partial p)_S=(\partial V/\partial S)_p$ を導け。