この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第12章 §12.7

この章では、接ベクトルを $k$ 本受け取って反対称に数を返す $k$ 形式を導入した。最高次の形式は行列式そのもので、平行六面体の符号つき体積を返す。3次元では、1形式・2形式・3形式がそれぞれ仕事・流束・密度として現れた。これらは、ユークリッドの内積と向きを使えばベクトルや関数と同一視できた。

外微分は、成分を微分して基底の前に置く操作で定まり、Leibniz 則と $\mathrm{d}^2=0$ を満たす。3次元では勾配・回転・発散がすべて外微分で、2つのベクトル解析の恒等式は $\mathrm{d}^2=0$ に帰着した。引き戻しは外積と外微分を保ち、そこから外微分が座標に依らないことが出た。積分の変数変換のヤコビ行列式は、最高次の形式の引き戻しの係数であった。

Stokes の定理 $\int_M\mathrm{d}\omega=\int_{\partial M}\omega$ は、立方体での1変数の基本定理と、張り合わせでの内側の境界の打ち消し合いから示された。微分積分学の基本定理・Green・Stokes・Gauss の定理は、その $k=1,2,3$ の場合である。

閉形式と完全形式の違いは、空間の形で決まる。星形の領域では、閉形式はいつも完全形式である（Poincaré の補題）。その証明で作った $K\omega$ は、ポテンシャルを線積分で作る方法を一般の次数へ広げたものである。穴のある平面では $\mathrm{d}\theta$ が閉じているが完全でなく、その差を測るのが de Rham コホモロジーである。

この差は、点渦の循環や Aharonov–Bohm 効果の位相として観測にかかる。

計量を使う Hodge 双対 $\star$ を加えると、発散とラプラシアンが $\star\mathrm{d}\star$ の形で書けた。第5章のラプラシアンの一般形は、そこから導けた。Minkowski 時空では、Maxwell 方程式が $\mathrm{d} F=0$ と $\mathrm{d}\star F=-\mu_0\star J^\flat$ の2つにまとまった。電荷の保存は $\mathrm{d}^2=0$ から従った。

熱力学では、$\mathrm{d}^2U=0$ から $\mathrm{d} T\wedge\mathrm{d} S=\mathrm{d} p\wedge\mathrm{d} V$ が出た。Maxwell の関係式は、この2形式の等式を別々のチャートで書いたものであった。

次の第13章では、ベクトル場の流れに沿った形式の変化（Lie 微分）を調べる。内部積 $\iota_X$ と外微分を組み合わせた Cartan の公式 $\mathcal L_X=\iota_X\mathrm{d}+\mathrm{d}\iota_X$ もそこで導く。第14章では、相空間の正準2形式 $\omega=\mathrm{d} p_i\wedge\mathrm{d} q^i$ が閉じていることを使う。それが Liouville の定理と、正準変換の母関数の存在につながる。

第15章では、Stokes の定理と曲率の2形式から Gauss–Bonnet の定理を導く。そこではベクトルポテンシャルを接続、$F=\mathrm{d} A$ をその曲率として読み直す。