対称テンソルと反対称テンソル

物理のための微分幾何入門　第4章 §4.3　★★ 2つの引数の入れ替えに対する対称性は基底に依らない性質で、慣性・応力は対称、電磁場は反対称になる

定義と分解

この定義は基底を使わずに書かれているので、対称性はどの基底で見ても成り立つ。成分で書けば、対称は $T_{ij}=T_{ji}$、反対称は $T_{ij}=-T_{ji}$ である。変換則 (4.7) でこの関係が保たれることは、成分でも確かめられる。たとえば対称な場合は、次のように $T'_{ji}=T'_{ij}$ が出る。

$$T'_{ji}=A^k{}_jA^l{}_i\,T_{kl}=A^l{}_iA^k{}_j\,T_{lk}=T'_{ij}$$

証明

上の式で定めた2つの部分が対称と反対称で、和が元のテンソルになることは定義から直ちにわかる。一意性を示す。2通りの分解 $S+A=S'+A'$ があれば、差 $S-S'=A'-A$ は対称かつ反対称である。対称かつ反対称なテンソル $X$ は $X(u,v)=X(v,u)=-X(u,v)$ を満たすので、0 になる。

次元を数える。対称な成分は $i\le j$ の組で決まり、反対称な成分は $i<j$ の組で決まる。組の個数を数えると、命題の2つの値になる。

成分では $T_{(ij)}=\tfrac12(T_{ij}+T_{ji})$、$T_{[ij]}=\tfrac12(T_{ij}-T_{ji})$ と書く。3次元では反対称なテンソルの成分は3個で、ベクトルの成分の数と同じである。正規直交で右手系の基底では、Levi-Civita 記号（$\epsilon_{123}=+1$）を使って両者を対応させることができる。

$$A_{ij}=\epsilon_{ijk}\,a^k\tag{4.9}$$

外積や磁場が「ベクトル」として扱われるのは、この対応による（第12章 §12.6 で Hodge 双対として扱う）。

慣性テンソル

剛体を質点 $m_a$ の集まりとし、重心を原点にとる。剛体が角速度 $\bm{\omega}$ で回るとする。位置 $\bm{r}_a$ の質点の速度は $\bm{\omega}\times\bm{r}_a$ である。速度の2乗には、次の恒等式を使う。

$$\left\vert \bm{\omega}\times\bm{r}\right\vert ^2=\left\vert \bm{\omega}\right\vert ^2\left\vert \bm{r}\right\vert ^2-(\bm{\omega}\cdot\bm{r})^2$$

正規直交なデカルト座標の成分で書くと、運動エネルギーは次の式になる。

$$T_{\mathrm{rot}}=\frac12\sum_am_a\left\vert \bm{\omega}\times\bm{r}_a\right\vert ^2=\frac12I_{ij}\,\omega^i\omega^j,\qquad I_{ij}=\sum_am_a\bigl(\left\vert \bm{r}_a\right\vert ^2\delta_{ij}-x_{a,i}\,x_{a,j}\bigr)\tag{4.10}$$

成分 $I_{ij}$ は定義から明らかに対称で、慣性テンソルは $(0,2)$ 型の対称テンソルである。角運動量は $L_i=\partial T_{\mathrm{rot}}/\partial\omega^i=I_{ij}\omega^j$ で与えられる。これは慣性テンソルの片方の引数に角速度を入れたもので、1形式の成分になる。第3章 §3.4 で運動量を1形式とみなしたのと同じ構造である。

角運動量 $\bm{L}=\sum_am_a\bm{r}_a\times(\bm{\omega}\times\bm{r}_a)$ を直接展開しても、同じ式が得られる。二重の外積は次のように展開され、その第 $i$ 成分が $(\left\vert \bm{r}\right\vert ^2\delta_{ij}-x_ix_j)\omega^j$ になるからである。

$$\bm{r}\times(\bm{\omega}\times\bm{r})=\left\vert \bm{r}\right\vert ^2\bm{\omega}-(\bm{r}\cdot\bm{\omega})\bm{r}$$

一般に角運動量は角速度と平行にならない。平行になる向きを探すのが、次の主軸の定理である。

証明

行列を $I$ と書く。固有値が実数であることを示す。

0 でない複素ベクトルで $Iz=\lambda z$ とし、左から $\bar z^{\mathsf T}$ を掛ける。数 $\bar z^{\mathsf T}Iz$ は、行列が実対称なので自分の複素共役に等しく、実数である。正の実数 $\bar z^{\mathsf T}z$ で割ると、固有値 $\lambda$ も実数になる。

次元についての帰納法で基底を作る。実の固有値 $\lambda_1$ に対する長さ1の実固有ベクトルを $f_1$ とする。これに直交するベクトル全体を $W$ とする。

部分空間の元 $w$ について $f_1\cdot(Iw)=(If_1)\cdot w=\lambda_1f_1\cdot w=0$ である。したがって、行列はこの部分空間を自分自身に写す。部分空間に制限した行列も対称なので、帰納法の仮定から部分空間には正規直交な固有ベクトルの基底がある。

対称な $(0,2)$ 型テンソルは、等高線 $I_{ij}\omega^i\omega^j=1$ で図に表すことができる。主慣性モーメントがすべて正なら、この等高線は楕円（3次元では楕円体）で、主軸がその軸になる。角速度をこの楕円の上にとると、角運動量 $L_i=I_{ij}\omega^j$ は2次式 $\tfrac12I_{ij}\omega^i\omega^j$ の勾配である。したがって角運動量は、楕円のその点での法線の向きを向く（図 4.2）。

応力テンソル

連続体の中に、単位法線 $\bm{n}$ を持つ小さな面を考える。面の法線の側にある物質が反対側の物質に及ぼす単位面積あたりの力を、応力ベクトル $\bm{t}(\bm{n})$ と呼ぶ。Cauchy の四面体の議論により、応力ベクトルは法線について線形になる。

その筋は次のとおりである。3つの座標面と、法線 $\bm{n}$ の斜めの面で囲まれた小さな四面体を考え、斜めの面の面積を $\Delta S$ とする。

第 $j$ の座標面の面積は $n_j\Delta S$ である。その外向き法線は $-\hat{\bm{e}}_j$ である。面にかかる力の合計は、次の式で表される。

$$\bigl(\bm{t}(\bm{n})-n_j\,\bm{t}(\hat{\bm{e}}_j)\bigr)\Delta S$$

体積力と慣性力は体積に比例し、面積の $3/2$ 乗で小さくなる。したがって四面体を縮めた極限で、表面力の和は 0 でなければならない。

結果を成分で書くと、次の式になる。

$$t_i(\bm{n})=\sigma_{ij}\,n_j,\qquad \sigma_{ij}=t_i(\hat{\bm{e}}_j)\tag{4.11}$$

成分 $\sigma_{ij}$ は、法線が第 $j$ 軸の向きの面に働く力の、各軸の向きの成分である。応力テンソルは、2つのベクトルに数 $\bm{u}\cdot\bm{t}(\bm{n})=\sigma_{ij}u_in_j$ を対応させる $(0,2)$ 型テンソルである。これが §4.1 の冒頭で挙げた2つ目の例である。

証明

一辺 $a$ の小さな立方体を、辺が座標軸に平行になるように置き、$z$ 軸のまわりのトルクを計算する。法線が $x$ 方向の2つの面には、横向きの力 $\sigma_{yx}a^2$ が逆向きに働く。腕の長さはそれぞれ $a/2$ なので、この2つの力のトルクは合わせて $\sigma_{yx}a^3$ になる。同様に、法線が $y$ 方向の2つの面に働く横向きの力は、逆向きのトルク $-\sigma_{xy}a^3$ を作る。

合計のトルクは $(\sigma_{yx}-\sigma_{xy})a^3$ である。立方体の慣性モーメントは、密度を $\rho$ として $\rho a^5/6$ である。体積力によるトルクは一辺の4乗に比例するので、小さい立方体では無視できる。角加速度は次の式で表され、一辺を 0 に近づけると発散する。

$$\dot\Omega_z=\frac{6\,(\sigma_{yx}-\sigma_{xy})}{\rho a^2}$$

角加速度が有限にとどまるには、$\sigma_{yx}=\sigma_{xy}$ でなければならない。ほかの添字の組も同じである。

静止した流体では接線方向の力が働かないので、圧力を $p$ として $\sigma_{ij}=-p\,\delta_{ij}$ である。負号は、圧力が面を押す向き、つまり法線と逆向きに働くことを表す。主軸の定理 4.12 により、どの点にも接線方向の力が消える3つの直交する面の向き（応力の主軸）がある。

電磁場テンソル

Minkowski 時空の座標を $x^\mu=(ct,\bm{x})$ とし、計量を $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ とする。4元ポテンシャル $A^\mu=(\phi/c,\bm{A})$ の添字を下げたものは、1形式の成分 $A_\mu=(\phi/c,-\bm{A})$ である。電磁場テンソルを次の式で定める。

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\tag{4.12}$$

定義から $F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}$ で、電磁場テンソルは4次元の $(0,2)$ 型の反対称テンソルである。命題 4.11 により独立な成分は $4\cdot3/2=6$ 個あり、これが電場3成分と磁場3成分に当たる。電場と磁場は $\bm{E}=-\nabla\phi-\partial_t\bm{A}$、$\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ で与えられる。これを使って成分を1つずつ計算する。

$$F_{0i}=\frac1c\frac{\partial (-A^i)}{\partial t}-\frac{\partial }{\partial x^i}\Bigl(\frac\phi c\Bigr)=\frac{E^i}{c},\qquad F_{12}=\frac{\partial (-A^2)}{\partial x}-\frac{\partial (-A^1)}{\partial y}=-B^3$$

同じ計算で $F_{23}=-B^1,\ F_{31}=-B^2$ も得られ、成分を並べると次の行列になる。

$$(F_{\mu\nu})=\begin{pmatrix} 0&E_x/c&E_y/c&E_z/c\\ -E_x/c&0&-B_z&B_y\\ -E_y/c&B_z&0&-B_x\\ -E_z/c&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix}\tag{4.13}$$

電場と磁場は、別々のベクトルではなく1つの反対称テンソルの成分である。慣性系を取り替えるとこの成分が混ざることを、変換則で確かめる。新しい慣性系 $K'$ は、元の慣性系に対して速度 $v\hat{\bm{x}}$ で動くとする。記号は $\beta=v/c$、$\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$ とおく。

$$x'^0=\gamma(x^0-\beta x^1),\quad x'^1=\gamma(x^1-\beta x^0);\qquad x^0=\gamma(x'^0+\beta x'^1),\quad x^1=\gamma(x'^1+\beta x'^0)\tag{4.14}$$

$(0,2)$ 型の変換則 (4.7) の係数は、ヤコビ行列 $A^\alpha{}_\mu=\partial x^\alpha/\partial x'^\mu$ である。逆変換 (4.14) から、0 でない係数は次のとおりである（$y,z$ の対角成分は 1）。

$$A^0{}_0=A^1{}_1=\gamma,\qquad A^1{}_0=A^0{}_1=\gamma\beta$$

変換則 $F'_{\mu\nu}=A^\alpha{}_\mu A^\beta{}_\nu F_{\alpha\beta}$ を、添字の組 02 と 12 について書くと次の式になる。

$$F'_{02}=\gamma F_{02}+\gamma\beta F_{12},\qquad F'_{12}=\gamma\beta F_{02}+\gamma F_{12}$$

成分 (4.13) を代入すると、電場と磁場の変換則が得られる。

$$E'_y=\gamma(E_y-vB_z),\qquad B'_z=\gamma\Bigl(B_z-\frac{v}{c^2}E_y\Bigr)\tag{4.15}$$

添字の組 $01$ では、次のように成分が変わらない。

$$F'_{01}=\gamma^2F_{01}+\gamma^2\beta^2F_{10}=\gamma^2(1-\beta^2)F_{01}=F_{01}$$

したがってブーストの向きの電場は $E'_x=E_x$ である。反対称性は変換則で保たれるので、どの慣性系でも電磁場テンソルは6成分の反対称テンソルのままである。縮約 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ はどの慣性系でも同じ値になる（確認テスト 4.3-4）。

共変な Maxwell 方程式は、相対論入門 第6章 §6.1 と『電磁気学入門』第10章で扱う。電磁場テンソルを2形式として読む話は、第12章 §12.6 で扱う。

確認テスト

オリジナル

1. 4.3-1 成分が $(T_{ij})=\begin{pmatrix}1&4\\2&3\end{pmatrix}$ の $(0,2)$ 型テンソルを、対称部分と反対称部分に分けよ。
2. 4.3-2 対称な成分 $S^{ij}$ と反対称な成分 $A_{ij}$ を考える。縮約が $S^{ij}A_{ij}=0$ となることを示せ。
3. 4.3-3 断面積 $1.0\,\mathrm{mm^2}$ の鋼線に $100\,\mathrm N$ の引張り荷重をかける。法線が線の軸と $30^\circ$ をなす面に働く法線応力と、面に沿う応力を求めよ。面に沿う応力の最大値も求めよ。
4. 4.3-4 添字を上げた成分を $F^{\mu\nu}=\eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}$ とする。縮約について $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2(B^2-E^2/c^2)$ を示せ。
5. 4.3-5 3次元の反対称な成分を (4.9) の形に書くとき、$a^k=\tfrac12\epsilon_{kij}A_{ij}$ を示せ。恒等式 $\epsilon_{kij}\epsilon_{ijl}=2\delta_{kl}$ は使ってよい。