変換則と縮約

物理のための微分幾何入門　第4章 §4.2　★★★ 成分の変換則は定義から導かれ、上と下の添字をそろえた縮約は基底に依らない量を作る

基底の取り替えと成分の変換則

新しい基底を、第3章 §3.1 と同じく古い基底で $e'_i=A^j{}_i\,e_j$ と展開する。係数の行列 $A=(A^j{}_i)$ は正則である。第3章で $A^{-1}$ と書いた逆行列を、添字を書きやすくするためこの章では $B=(B^i{}_j)$ と書く。成分で書けば $B^i{}_kA^k{}_j=\delta^i_j$ である。

証明

右辺を新しい基底 $e'_k$ に作用させると、次のように $\delta^i_k$ になる。

$$B^i{}_j\,e^j(A^l{}_ke_l)=B^i{}_jA^l{}_k\,\delta^j_l=B^i{}_jA^j{}_k=\delta^i_k$$

双対基底は $e'^i(e'_k)=\delta^i_k$ で一意に決まるので、右辺が新しい双対基底である。

基底が行列 $A$ で変わると、双対基底は逆行列 $B$ で変わる。この非対称が、上付きの添字と下付きの添字の変換の違いのすべてである。

証明

成分の定義 (4.3) に、新しい基底と補題 4.6 を代入する。

$$T'^{i_1\cdots}{}_{j_1\cdots}=T(e'^{i_1},\dots,e'_{j_1},\dots) =T(B^{i_1}{}_{k_1}e^{k_1},\dots,A^{l_1}{}_{j_1}e_{l_1},\dots)$$

テンソルは各引数について線形なので、係数をすべて外へ出すことができる。残る $T(e^{k_1},\dots,e_{l_1},\dots)$ は古い成分であり、(4.4) が得られる。

座標を $x^i$ から $x'^i$ へ取り替える場面では、(4.1) より行列は次のヤコビ行列になる。

$$A^j{}_i=\frac{\partial x^j}{\partial x'^i},\qquad B^i{}_j=\frac{\partial x'^i}{\partial x^j}\tag{4.5}$$

連鎖律から $\frac{\partial x'^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial x'^j}=\delta^i_j$ が成り立つので、2つは確かに互いの逆行列である。よく使う型を書き出すと、次のようになる。

$$\begin{align*}v'^i&=\frac{\partial x'^i}{\partial x^k}\,v^k,\qquad\qquad \alpha'_j=\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}\,\alpha_l,\tag{4.6}\\T'^i{}_j&=\frac{\partial x'^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}\,T^k{}_l,\qquad g'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}\,g_{kl}.\tag{4.7}\end{align*}$$

行列で書くと、2つの型の変換は次の形になる。

$$(1,1)\text{ 型}:\ T'=BTA,\qquad (0,2)\text{ 型}:\ g'=A^{\mathsf T}gA\tag{4.8}$$

図 4.1 は、平面の1点で直交座標の基底と極座標の基底を比べたものである。極座標の基底は、次のように直交座標の基底で書ける。

$$\partial_r=\cos\theta\,\partial_x+\sin\theta\,\partial_y,\qquad \partial_\theta=-r\sin\theta\,\partial_x+r\cos\theta\,\partial_y$$

角度方向の基底 $\partial_\theta$ の長さは、1 でなく動径 $r$ である。同じテンソルでも、この基底で測った成分は直交座標の成分と異なる値になる。

縮約

証明

残りの引数は固定して書かないことにする。別の基底 $e'_k=A^j{}_ke_j$ と補題 4.6 を使って和を書き直す。

$$\sum_kT(\dots,e'^k,\dots,e'_k,\dots)=B^k{}_iA^j{}_k\,T(\dots,e^i,\dots,e_j,\dots)=\delta^j_i\,T(\dots,e^i,\dots,e_j,\dots)$$

最後の式は $\sum_iT(\dots,e^i,\dots,e_i,\dots)$ に等しく、元の基底での和と一致する。

証明で使ったのは $BA=1$ だけである。上の添字は逆行列で、下の添字は元の行列で変わるので、1対をそろえて和をとると2つの行列が打ち消し合う。

確認テスト

オリジナル

1. 4.2-1 2次元で基底を $(e'_1,e'_2)=(e_1+e_2,\,e_2)$ に取り替える。ベクトル $v=3e_1+5e_2$ と1形式 $\alpha=e^1+e^2$ の新しい成分を求めよ。さらに、値 $\alpha(v)$ が両方の基底で同じになることを確かめよ。
2. 4.2-2 平面の $(0,2)$ 型テンソル $g=\mathrm{d} x\otimes\mathrm{d} x+\mathrm{d} y\otimes\mathrm{d} y$ の成分を、極座標で求めよ。
3. 4.2-3 $(2,1)$ 型テンソルの縮約 $w^i=T^{ik}{}_k$ が、ベクトルの変換則 (4.6) に従うことを示せ。
4. 4.2-4 $(1,1)$ 型テンソルに対し、$T^i{}_kT^k{}_i$ が基底に依らないことを示せ。さらに例題 4.2 のテンソルでこの値を求めよ。