運動量は1形式

物理のための微分幾何入門　第3章 §3.4　★★★ 一般化運動量は余接ベクトルの成分として変換する。Legendre 変換は接束から余接束への写像である

点変換での運動量の変換則

$n$ 自由度の力学系の配位空間を $Q$ とする（第1章 §1.3）。その座標を $q^i$ と書く。運動する系の速度は接ベクトル $\dot q\in T_qQ$ で、成分 $\dot q^i$ は上付きの添字を持つ。別の座標 $q'^a=q'^a(q)$ に取り替えると、速度の成分は (3.5) の $V^a$ と同じ規則で変わる。

$$\dot q'^a=\frac{\partial q'^a}{\partial q^j}(q)\,\dot q^j\tag{3.19}$$

Lagrangian $L(q,\dot q,t)$ から、一般化運動量を $p_i=\partial L/\partial\dot q^i$ で定める。ここでは $q$ と $\dot q$ を独立に動かして偏微分する。その操作が意味を持つ理由は §3.5 で説明する。

証明

新しい座標での Lagrangian は、古い変数を新しい変数で書いて代入したものである。

$$L'(q',\dot q',t)=L\bigl(q(q'),\,\dot q(q',\dot q'),\,t\bigr),\qquad \dot q^j=\frac{\partial q^j}{\partial q'^a}(q')\,\dot q'^a$$

2番目の式の係数は $q'$ だけの関数である。したがって、$q'$ を固定した偏微分は $\partial\dot q^j/\partial\dot q'^a=\partial q^j/\partial q'^a$ となる。一方、関数 $q^j(q')$ は速度を含まないので、$\dot q'$ で微分すると0である。連鎖律を使う。

$$p'_a=\frac{\partial L'}{\partial \dot q'^a}=\frac{\partial L}{\partial q^j}\underbrace{\frac{\partial q^j}{\partial \dot q'^a}}_{=0}+\frac{\partial L}{\partial \dot q^j}\frac{\partial \dot q^j}{\partial \dot q'^a}=\frac{\partial q^j}{\partial q'^a}\,p_j$$

これは (3.5) の $\omega'_a$ の規則そのものである。

証明では、$q'$ を固定して $\dot q'$ だけを動かした。その間に配位 $q$ は動かないので、$\partial L/\partial q$ の項は寄与しない。定理 3.14 と (3.19) を組み合わせると、命題 3.3 の最後の主張から次の数が座標に依らない。

$$p(\dot q)=p_i\dot q^i\tag{3.21}$$

Hamiltonian $H=p_i\dot q^i-L$ の第1項はこの組み合わせで、座標に依らない量になっている。

物理の例：電磁場中の荷電粒子の正準運動量

電荷 $e$ の粒子が電磁ポテンシャル $(\phi,\bm A)$ の中を運動するとき、Lagrangian は次の形である（SI 単位）。

$$L=\frac m2\left\vert \dot{\bm x}\right\vert ^2+e\,A_i(\bm x)\,\dot x^i-e\,\phi(\bm x)$$

正準運動量は $p_i=m\dot x_i+eA_i$ で、運動学的な運動量 $m\dot x_i$ と異なる。$A_i\dot x^i$ が座標に依らない数になるためには、$A=A_i\,\mathrm{d} x^i$ は1形式でなければならない。

ゲージ変換 $\bm A\to\bm A+\nabla\chi$ は、1形式で書くと $A\to A+\mathrm{d}\chi$ である。このとき Lagrangian は全微分 $e\,\mathrm{d}\chi(\dot x)=e\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\chi(\bm x(t))$ だけ変わり、正準運動量は $p\to p+e\,\mathrm{d}\chi$ と変わる。運動量も $\mathrm{d}\chi$ も1形式なので、この式は座標に依らない形をしている。ベクトルポテンシャルを接続として読む見方は、第15章 §15.4 で扱う。

Legendre 変換は接束から余接束への写像

各点の接空間を集めた $TQ$ を接束と呼ぶ。余接空間を集めた $T^*Q$ を余接束と呼ぶ。$TQ$ の点は配位と速度の組 $(q,\dot q)$ である。$T^*Q$ の点は配位と運動量の組 $(q,p)$ である。

接束が座標 $(q,\dot q)$ を持つ $2n$ 次元の多様体になることは §3.5 で示す。余接束 $T^*Q$ は第14章 §14.1 で相空間として扱う。

定理 3.14 により、右辺の $p$ は座標に依らない余接ベクトルなので、$\mathbb FL$ は座標に依らない写像である。$\mathbb FL$ は配位を変えない。各点の接空間 $T_qQ$ を、同じ点の余接空間 $T^*_qQ$ へ移す。

証明

$\mathbb FL$ を座標 $(q,\dot q)\mapsto(q,p)$ で書くと、Jacobi 行列は次のブロックの形になる。

$$\begin{pmatrix}\delta^i{}_j&0\\[2pt] \partial p_i/\partial q^j&W_{ij}\end{pmatrix}$$

その行列式は $\det W$ に等しい。$\det W\ne0$ なら、逆関数定理（第1章 §1.1）から局所的な滑らかな逆写像が存在する。

運動エネルギーが速度の2次形式 $L=\frac12g_{ij}(q)\dot q^i\dot q^j-V(q)$ の場合、$p_i=g_{ij}\dot q^j$ である。$W_{ij}=g_{ij}$ で、運動エネルギーが正定値なら $L$ は正則である。この場合の Legendre 写像は、運動エネルギーの係数 $g_{ij}$ で添字を下げる操作にあたる（第5章 §5.4）。

正則でない例として $L=\frac m2(\dot q^1+\dot q^2)^2$ を考える。運動量は $p_1=p_2=m(\dot q^1+\dot q^2)$ である。したがって $\mathbb FL$ の像は、余接束の中の部分集合 $p_1=p_2$ に限られる。このとき運動量は速度を決めず、拘束 $p_1-p_2=0$ が現れる。

正則な場合の Hamiltonian の構成と Hamilton 方程式の計算は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第1部第7章と第8章に送る。

確認テスト

オリジナル

1. 3.4-1 3次元の自由粒子 $L=\frac m2\left\vert \dot{\bm x}\right\vert ^2$ を考える。球座標 $(r,\theta,\varphi)$ の3つの運動量を求めよ。
2. 3.4-2 一様な磁場 $\bm B=B\hat{\bm z}$ のベクトルポテンシャルを $A=\frac B2(x\,\mathrm{d} y-y\,\mathrm{d} x)$ と選ぶ。平面の極座標で $A$ の成分を求めよ。さらに、電荷 $e$ の粒子の正準運動量 $p_\theta$ を書け。
3. 3.4-3 2自由度の Lagrangian $L=\frac m2\bigl[(\dot q^1)^2+\dot q^1\dot q^2+(\dot q^2)^2\bigr]$ について、Legendre 写像を書いて正則であることを示し、速度を運動量で表せ。さらに $H=p_i\dot q^i-L$ を運動量で書け。
4. 3.4-4 点変換 $q'=q'(q)$ のもとで、$p_i\dot q^i$ が座標に依らないことを、(3.19) と (3.20) から直接示せ。