1形式の線積分

物理のための微分幾何入門　第3章 §3.3　★★★ 1形式は曲線に沿って積分できる。完全微分なら端点だけで決まり、熱のように完全でない1形式は経路に依存する

線積分の定義

1形式は接ベクトルに数を返すので、曲線の速度に作用させて時間で積分できる。

被積分関数 $\omega(\dot\gamma)$ は (3.2) の組み合わせなので、座標の選び方に依らない。線積分を定義するのに計量は使っていない。

証明

連鎖律から $\dot{\tilde\gamma}(s)=\phi'(s)\,\dot\gamma(\phi(s))$ である。$\omega$ は線形なので、被積分関数は $\phi'(s)\,\omega(\dot\gamma(\phi(s)))$ になる。置換積分 $t=\phi(s)$ を行う。

$$\int_c^d\omega\bigl(\dot\gamma(\phi(s))\bigr)\phi'(s)\,\mathrm{d} s=\int_{\phi(c)}^{\phi(d)}\omega\bigl(\dot\gamma(t)\bigr)\,\mathrm{d} t$$

$\phi'>0$ なら、積分の下端は $\phi(c)=a$ になる。上端は $\phi(d)=b$ になる。これは元の積分である。$\phi'<0$ なら端が入れ替わるので、積分の向きが逆になり符号が反転する。

線積分は曲線の像と向きだけで決まり、速さには依らない。1形式は「向きのついた曲線の上で積分するもの」である。この性質は第12章で、$k$ 形式が向きのついた $k$ 次元の面の上で積分されるという形に一般化される。

完全微分と閉形式

証明

定義 (3.7) から $\mathrm{d} f(\dot\gamma(t))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}f(\gamma(t))$ である。1変数の微分積分学の基本定理を $f(\gamma(t))$ に使えば結論を得る。

条件 (3.14) が座標の取り替えで保たれることは、第12章 §12.2 の外微分 $\mathrm{d}\omega$ を使うと見通しよく示せる。ここでは直交座標のような1つの座標で確かめれば足りる場面だけを扱う。

完全形式は閉形式である。$\omega_j=\partial_jf$ なら、2階偏導関数の順序交換から $\partial_i\partial_jf-\partial_j\partial_if=0$ となる。逆向きは、領域の形に条件を付ければ成り立つ。

証明

(3.15) は、原点から $x$ への線分に沿った $\omega$ の線積分である。積分記号の下で $x^j$ について微分する。

$$\frac{\partial f}{\partial x^j}=\int_0^1\Bigl[t\,(\partial_j\omega_i)(tx)\,x^i+\omega_j(tx)\Bigr]\mathrm{d} t$$

閉形式の条件 (3.14) で $\partial_j\omega_i=\partial_i\omega_j$ と入れ替える。すると、被積分関数は $t$ についての全微分になる。

$$t\,x^i(\partial_i\omega_j)(tx)+\omega_j(tx)=\frac{d }{d t}\Bigl[t\,\omega_j(tx)\Bigr]$$

$t$ について0から1まで積分すると、$\partial_jf=\omega_j(x)$ を得る。

星形の条件は外せない。原点を除いた平面の1形式 $\omega=(-y\,\mathrm{d} x+x\,\mathrm{d} y)/(x^2+y^2)$ は閉形式だが、単位円を1周する線積分は $2\pi$ で0でない。定理 3.10 から、1周の線積分が0でない1形式は完全形式になりえない。

この1形式は極座標の $\mathrm{d}\theta$ である。偏角 $\theta$ は1周で $2\pi$ 増えるので、穴のある平面全体の関数にならない。穴のある領域の閉形式と完全形式の違いは、第12章 §12.5 で de Rham コホモロジーとして扱う。

物理の例1：仕事と保存力

力 $F=F_i\,\mathrm{d} x^i$ が経路に沿ってする仕事は、線積分 $W=\int_\gamma F$ である。力が保存力 $F=-\mathrm{d} V_{\mathrm{pot}}$ なら、定理 3.10 から仕事は端点の位置エネルギーの差だけで決まる。星形の領域では、保存力であることと閉形式 (3.14) であることは同値になる。3次元の直交座標での条件 (3.14) は、回転 $\nabla\times\bm F=0$ にあたる。

保存力でない例として $F=k(-y\,\mathrm{d} x+x\,\mathrm{d} y)$ を考える。$\partial_xF_y-\partial_yF_x=2k\ne0$ なので閉形式でない。半径 $R$ の円を反時計回りに1周すると、$\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t)$ を代入して仕事は次の値になる。

$$W=\int_0^{2\pi}k\bigl(R^2\sin^2t+R^2\cos^2t\bigr)\,\mathrm{d} t=2\pi kR^2$$

物理の例2：熱は完全微分でない

熱力学の第1法則は、状態空間の上の1形式の等式として書ける。

$$\delta Q=\mathrm{d} U+p\,\mathrm{d} V\tag{3.16}$$

左辺の記号 $\delta Q$ は、それが何かの関数の微分ではないことを表す。理想気体では $U=C_VT$ と $p=nRT/V$ である。チャート $(T,V)$ では次の形になる。

$$\delta Q=C_V\,\mathrm{d} T+\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d} V\tag{3.17}$$

閉形式の条件 (3.14) を調べると、$\partial_V C_V=0$ に対して $\partial_T(nRT/V)=nR/V$ で、2つは等しくない。したがって $\delta Q$ は閉形式でなく、完全形式でもない。「状態の関数としての熱 $Q$」は存在せず、受け取る熱は経路に依存する。

(3.17) を $T$ で割ると、閉形式の条件が満たされる。

$$\frac{\delta Q}{T}=\frac{C_V}{T}\,\mathrm{d} T+\frac{nR}{V}\,\mathrm{d} V=\mathrm{d}\bigl(C_V\ln T+nR\ln V\bigr)\tag{3.18}$$

$1/T$ は $\delta Q$ の積分因子である。$\delta Q/T$ を積分して得られる関数がエントロピーである。2次元の状態空間では、1形式の積分因子は局所的にはいつも存在する。3次元以上の状態空間で積分因子が存在するための条件は Frobenius の定理（第13章 §13.5）の特別な場合で、Carathéodory はこれを熱力学の第2法則の定式化に使った。

確認テスト

オリジナル

1. 3.3-1 1形式 $\omega=2xy\,\mathrm{d} x+x^2\,\mathrm{d} y$ が閉形式であることを確かめよ。さらに $\omega=\mathrm{d} f$ となる関数を求めよ。

2. 3.3-2 1形式 $\omega=-y\,\mathrm{d} x+x\,\mathrm{d} y$ を、次の2つの曲線に沿って積分せよ。どちらも点 $(1,0)$ から点 $(0,1)$ へ向かう。

   • (a) 線分 $\gamma(t)=(1-t,\,t)$（$0\le t\le1$）。
   • (b) 単位円の4分の1の弧 $\gamma(t)=(\cos t,\,\sin t)$（$0\le t\le\pi/2$）。

結果が異なる理由を、閉形式の条件で説明せよ。3. 3.3-3 van der Waals 気体では、内部エネルギーと圧力が次の形をとる（$a,b,C_V$ は定数）。

$$U=C_VT-\frac{an^2}{V},\qquad p=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{an^2}{V^2}$$

チャート $(T,V)$ で $\delta Q=\mathrm{d} U+p\,\mathrm{d} V$ を書き、閉形式でないことを示せ。さらに $1/T$ が積分因子であることを示し、エントロピー $S$ を求めよ。4. 3.3-4 1形式 $\omega$ の積分因子をとり、$\lambda\,\omega=\mathrm{d} f$ とする。導関数が0にならない滑らかな1変数関数 $\Phi$ を任意にとる。このとき $\Phi'(f)\,\lambda$ も積分因子であることを証明せよ。