相空間と正準形式

物理のための微分幾何入門　第14章 §14.1　★★★ 相空間は余接束で、座標によらない1形式 $\theta=p_i\mathrm{d} q^i$ がはじめから載っている

第3章 §3.4 では、運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q^i$ が座標の取り替えで1形式の成分として変換することを見た。したがって、位置と運動量の組 $(q,p)$ は配位空間の点とそこでの余接ベクトルの組であり、相空間は余接束である。この章では、余接束にはじめから備わっている2形式 $\omega$ を取り出し、解析力学の主な結果をこの2形式の性質として読み直す。

道具は第12章の外微分と Poincaré の補題、第13章の Lie 微分と Cartan の公式、流れの箱の定理である。外微分は $\mathrm{d}^2=0$ を満たし、引き戻しと可換である（第12章 §12.2・§12.3）。可縮な領域の上の閉形式は完全形式である（Poincaré の補題、第12章 §12.5）。

Lie 微分については次の2式を使う（第13章 §13.2）。ここで $\alpha$ は微分形式である。$\Phi_t$ はベクトル場 $X$ が生成する流れである。

$$\mathcal L_X\alpha=\iota_X\mathrm{d}\alpha+\mathrm{d}\,\iota_X\alpha,\qquad \frac{d }{d t}\Phi_t^*\alpha=\Phi_t^*\mathcal L_X\alpha\tag{14.1}$$

§14.1 で余接束の標準1形式 $\theta$ と正準2形式 $\omega=\mathrm{d}\theta$ を定義する。§14.2 では関数 $H$ からベクトル場 $X_H$ を作る。それが Hamilton 方程式になることと、Poisson 括弧の符号を確かめる。§14.3 は Liouville の定理、§14.4 は正準変換と母関数を扱う。

§14.5 では、Hamilton–Jacobi 方程式で運動量が位置と時刻の関数（場）になる理由を、解の族と Lagrange 部分多様体で説明する。

§14.6 では、保存量をどう見つけるか、いつ存在しないかを、局所と大域に分けて論じる。解析力学の計算そのもの（Hamilton 方程式の導出・母関数の4つの型・変数分離の例・断熱不変量）は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第1部第8章・第12章・第13章・第14章にある。この章はその幾何の側、すなわち何が何の上の関数か・何が保存されるかを書く。第15章では、この章の作用積分 $\oint\theta$ の考え方を Berry 位相に使う。

余接束

自由度 $n$ の系の配位空間は $n$ 次元の多様体である。これを $Q$ と書く。$Q$ の局所座標を $q^1,\dots,q^n$ とする。第3章 §3.4 で見たとおり、別の座標 $q'^j$ に取り替えると運動量の成分は

$$p'_j=\frac{\partial q^i}{\partial q'^j}\,p_i\tag{14.2}$$

と変わる。これは余接ベクトル $p_i\,\mathrm{d} q^i$ の成分の変換則そのものである。

配位空間の座標を取り替えたときの正準座標の取り替えは、$q'=q'(q)$ と (14.2) を合わせたものである。この取り替えは滑らかで逆を持つので、$T^*Q$ は確かに多様体になる。解析力学で相空間と呼ぶものは、この $T^*Q$ である。

標準1形式

余接束には、座標を選ばずに定まる1形式が1つ載っている。

点 $(q,p)$ での接ベクトル $V$ を考える。射影で押し出すと、$V$ は配位空間の接ベクトル $\pi_*V\in T_qM$ になる。一方、点 $(q,p)$ の成分 $p$ はそれ自体が接空間の上の線形形式である。したがって $p$ を $\pi_*V$ に当てて数を出すことができる。

証明

接ベクトルを $V=a^i\partial_{q^i}+b_i\partial_{p_i}$ と書く。射影は $(q,p)\mapsto q$ なので、押し出しは $\pi_*V=a^i\partial_{q^i}$ である（第2章 §2.4）。(14.3) から

$$\theta(V)=p_i\,\mathrm{d} q^i\bigl(a^j\partial_{q^j}\bigr)=p_ia^i=\bigl(p_i\,\mathrm{d} q^i\bigr)(V)$$

となり、(14.4) を得る。

定義 (14.3) は座標を使っていないので、別の正準座標でも同じ議論が成り立つ。念のため直接確かめる。(14.2) と連鎖律から

$$p'_j\,\mathrm{d} q'^j=p_i\frac{\partial q^i}{\partial q'^j}\frac{\partial q'^j}{\partial q^k}\,\mathrm{d} q^k=p_i\,\delta^i{}_k\,\mathrm{d} q^k=p_i\,\mathrm{d} q^i$$

である。

正準2形式

証明

閉であることは $\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}^2\theta=0$ からわかる。非退化を示すため、$U=a^i\partial_{q^i}+b_i\partial_{p_i}$ との内部積をとる。$\iota_U(\mathrm{d} p_i\wedge\mathrm{d} q^i)=\mathrm{d} p_i(U)\,\mathrm{d} q^i-\mathrm{d} q^i(U)\,\mathrm{d} p_i$ なので

$$\iota_U\omega=b_i\,\mathrm{d} q^i-a^i\,\mathrm{d} p_i\tag{14.6}$$

である。

これが1形式として0なら、係数の $b_i$ と $a^i$ はすべて0である。したがって $U=0$ となる。

正準座標の列ベクトル $z=(q^1,\dots,q^n,p_1,\dots,p_n)^{\mathsf T}$ を使うと、$\omega$ は行列で書ける。接ベクトルの成分も同じ並びの列ベクトルで表すと、(14.6) から

$$\omega(U,V)=U^{\mathsf T}\,\Omega\,V,\qquad \Omega=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}\tag{14.7}$$

となる。$\Omega$ は反対称で $\det\Omega=1$ である。

非退化な反対称形式を持つ空間の次元は必ず偶数になる。実際、$k$ 次の反対称行列 $A$ については次が成り立つ。

$$\det A=\det A^{\mathsf T}=\det(-A)=(-1)^k\det A$$

したがって $k$ が奇数なら $\det A=0$ で、非退化にならない。

$n=1$ では $\omega(U,V)=U_pV_q-U_qV_p$ である。これは $(q,p)$ 平面で2つのベクトルが張る平行四辺形の面積に、向きで符号を付けたものである。一般の $n$ では、各 $(q^i,p_i)$ 平面への射影の面積を足し合わせたものになる。第5章 §5.5 で述べたとおり相空間に自然な計量は無いが、面積を測る2形式は自然に定まる。

正準座標が $\omega$ を (14.5) の形にすることは、一般のシンプレクティック多様体でも局所には成り立つ。

証明の筋を述べる。

1点 $x_0$ では、線形代数で $\omega$ を標準形にする座標がとれる。その座標で定数係数の2形式を $\omega_0$ とし、$\omega_t=\omega_0+t(\omega-\omega_0)$ と置く。$\omega_t$ は $x_0$ の近くで非退化である。Poincaré の補題により、$\omega-\omega_0=\mathrm{d}\beta$ と書ける。

$\iota_{Y_t}\omega_t=-\beta$ で決まる時間に依存するベクトル場を $Y_t$ とする。その流れが、(14.1) により $\omega$ を $\omega_0$ へ引き戻す。これは Moser の方法と呼ばれ、完全な証明はシンプレクティック幾何の本に譲る。

Darboux の定理は、シンプレクティック多様体には局所的な不変量が無いことを意味する。これは計量と対照的である。計量には曲率という局所的な不変量があり、第8章の驚異の定理が示したとおり、曲がった計量は座標をどう選んでも平らな形にはならない。

確認テスト

オリジナル

1. 14.1-1 $n=1$ の正準2形式 $\omega=\mathrm{d} p\wedge\mathrm{d} q$ を考える。どの接ベクトル $V$ でも $\omega(V,V)=0$ であることを確かめよ。さらに、(14.7) の行列 $\Omega$ が正則であることを確かめよ。
2. 14.1-2 配位空間 $(0,\infty)$ の座標を $q'=\ln q$ に取り替える。誘導される運動量 $p'$ を $q,p$ で表せ。さらに次の2つを確かめよ。

$$p'\,\mathrm{d} q'=p\,\mathrm{d} q,\qquad \mathrm{d} p'\wedge\mathrm{d} q'=\mathrm{d} p\wedge\mathrm{d} q$$ 3. 14.1-3 $n=2$ で $\omega=\mathrm{d} p_1\wedge\mathrm{d} q^1+\mathrm{d} p_2\wedge\mathrm{d} q^2$ とする。$\omega\wedge\omega$ を計算し、0でない4形式であることを示せ。4. 14.1-4 2つの1形式 $\theta_1=p\,\mathrm{d} q$ と $\theta_2=-q\,\mathrm{d} p$ を考える。2つの外微分はどちらも正準2形式になることを示せ。2つの差がある関数の外微分であることも示せ。