Hamilton ベクトル場と Poisson 括弧

(1) Hamilton 方程式は $\dot q=p/m$、$\dot p=-m\omega_0^2q$ である。2つを合わせると $\ddot q=-\omega_0^2q$ となり、初期値を合わせると次の解を得る。

$$q(t)=q_0\cos\omega_0t+\frac{p_0}{m\omega_0}\sin\omega_0t,\qquad p(t)=-m\omega_0q_0\sin\omega_0t+p_0\cos\omega_0t$$

(2) 初期値を $q_0>0$、$p_0=0$ にとる。$t$ が小さいとき $p(t)\approx-m\omega_0^2q_0t<0$ である。点は $q$ 軸の正の側から運動量が負の側へ進む。したがって $q$ を横軸・$p$ を縦軸にした平面で時計回りである。

(3) 流れは線形写像で、行列は次のとおりである。

$$\begin{pmatrix}\cos\omega_0t&\dfrac{\sin\omega_0t}{m\omega_0}\\[4pt]-m\omega_0\sin\omega_0t&\cos\omega_0t\end{pmatrix}$$

行列式は $\cos^2\omega_0t+\sin^2\omega_0t=1$ である。この流れは面積を保ち、§14.3 の Liouville の定理の例になっている。

(1) $p_x=\pi_x-eBy/2$ と $p_y=\pi_y+eBx/2$ を代入する。

$$\mathrm{d} p_x\wedge\mathrm{d} x=\mathrm{d}\pi_x\wedge\mathrm{d} x-\frac{eB}{2}\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} x,\qquad \mathrm{d} p_y\wedge\mathrm{d} y=\mathrm{d}\pi_y\wedge\mathrm{d} y+\frac{eB}{2}\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$$

$\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} x=-\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$ なので、和は次のとおりである。

$$\omega=\mathrm{d}\pi_x\wedge\mathrm{d} x+\mathrm{d}\pi_y\wedge\mathrm{d} y+eB\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$$

最後の項が磁場の寄与で、$(x,y,\pi_x,\pi_y)$ は正準座標でない。

(2) $X=a_x\partial_x+a_y\partial_y+b_x\partial_{\pi_x}+b_y\partial_{\pi_y}$ と置く。(14.6) の計算に磁場の項を足して、次を得る。

$$\iota_X\omega=(b_x-eBa_y)\,\mathrm{d} x+(b_y+eBa_x)\,\mathrm{d} y-a_x\,\mathrm{d}\pi_x-a_y\,\mathrm{d}\pi_y$$

これを $-\mathrm{d} H=-(\pi_x/m)\mathrm{d}\pi_x-(\pi_y/m)\mathrm{d}\pi_y$ と比べる。

$$a_x=\frac{\pi_x}{m},\quad a_y=\frac{\pi_y}{m},\quad b_x=eB\frac{\pi_y}{m},\quad b_y=-eB\frac{\pi_x}{m}$$

速度は $\bm{v}=(a_x,a_y)$ なので、運動方程式は次のとおりである。

$$\dot\pi_x=eBv_y,\qquad \dot\pi_y=-eBv_x$$

これは $m\dot{\bm{v}}=e\bm{v}\times\bm{B}$ の成分である。

(3) (2) から速度は角振動数 $\omega_{\mathrm c}=\left\vert e\right\vert B/m$ で回る。数値を入れると次のとおりである。

$$\omega_{\mathrm c}=\frac{1.602\times10^{-19}\times1}{9.109\times10^{-31}}\,\mathrm{s^{-1}}=1.759\times10^{11}\,\mathrm{s^{-1}},\qquad \frac{\omega_{\mathrm c}}{2\pi}=2.80\times10^{10}\,\mathrm{Hz}$$

これは約 $28\,\mathrm{GHz}$ のマイクロ波の振動数である。