Lie 括弧

物理のための微分幾何入門　第13章 §13.1　★★ 2つの流れを交互にたどると閉じない。そのずれの主要部が Lie 括弧で、座標基底は必ず可換になる

第2章 §2.3 では、ベクトル場 $X$ から積分曲線をつなげて流れ $\Phi^X_t$ を作った。この章では、流れを使って2つのことを調べる。1つ目は、ベクトル場や計量や微分形式が流れに沿ってどう変わるかで、その変化率を Lie 微分と呼ぶ。2つ目は、流れで変わらない量（対称性）があるときに何が保存されるか、またその保存量が見えるような座標をどう作るかである。

道具は次の順に組み立てる。§13.1 で2つの流れを交互にたどったときのずれを測る Lie 括弧を定義し、§13.2 でそれを一般のテンソルの Lie 微分へ広げる。

§13.3 で計量を保つ流れ（Killing ベクトル）から測地線の保存量を出し、§13.4 で Lagrangian を保つ流れから保存量を出す（Noether の定理）。§13.5 では、対称性の流れを座標軸の1本に取り直す手順を示し、保存量の正体が循環座標の正準運動量であることを確かめる。

前の章から使う結果は次のものである。第2章の接ベクトル・押し出し $f_*$・流れ、第3章 §3.4 の運動量が1形式であること、第3章 §3.5 の Lagrangian が接束の上の関数であること。

さらに第5章 §5.4 の運動エネルギーの計量と、第10章 §10.1 の測地線の方程式を使う。第12章からは外微分 $\mathrm{d}$ と内部積 $\iota_X$、および引き戻しを使う。この章の結果は、第14章で相空間の流れ（Hamilton ベクトル場）と Poisson 括弧を扱うときにそのまま使う。

2つの流れを交互にたどる

平面の上で「横へ進む」流れと「縦へ進む」流れを交互にたどると、元の点に戻る。東へ1、北へ1、西へ1、南へ1と歩けば、出発点に戻るのと同じである。ところが、流れの速さが場所によって違うと、同じ操作で元の点に戻らなくなる。この戻らなさを測る量が Lie 括弧である。

まず記号を決める。ベクトル場 $X$ の流れを、第2章 §2.3 と同じく $\Phi^X_t$ と書く。流れ $\Phi^X_t$ は、各点をその点から出る積分曲線に沿って時間 $t$ だけ運ぶ写像である。第2章 §2.3 のとおり、流れは次の2つの性質を持つ。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi^X_t(p)=X\bigl(\Phi^X_t(p)\bigr),\qquad \Phi^X_s\circ\Phi^X_t=\Phi^X_{s+t}.\tag{13.1}$$

ベクトル場は関数に方向微分として作用する（第2章 §2.1）。座標 $x^i$ での成分を $X^i$ とすると、関数への作用は次の式になる。

$$Xf=X^i\frac{\partial f}{\partial x^i}.$$

Lie 括弧の定義と成分

2つのベクトル場を続けて関数に作用させる。$X(Yf)$ も $Y(Xf)$ も関数の2階微分を含むので、それぞれ単独ではベクトル場にならない。ところが差をとると2階微分が打ち消し、1階微分だけが残る。

証明

$Yf=Y^i\partial_if$ に $X=X^j\partial_j$ を作用させ、積の微分を使う。

$$X(Yf)=X^j(\partial_jY^i)\,\partial_if+X^jY^i\,\partial_j\partial_if.$$

2つのベクトル場を入れ替えた式を引く。

$$[X,Y]f=\bigl(X^j\partial_jY^i-Y^j\partial_jX^i\bigr)\partial_if+\bigl(X^jY^i-Y^jX^i\bigr)\partial_j\partial_if.$$

最後の項は、添字について反対称な係数と対称な2階微分の和なので0になる。残りは1階微分の線形結合で、係数が (13.2) である。したがって $[X,Y]$ は方向微分、つまりベクトル場である。

定義から次の性質がすぐに出る。

証明

(i) と (ii) は定義の式から明らかである。(iii) は確認テスト 13.1-1 で示す。

(iv) を示す。作用素として次のように展開できる。

$$\begin{aligned}[X,[Y,Z]]&=XYZ-XZY-YZX+ZYX,\\ [Y,[Z,X]]&=YZX-YXZ-ZXY+XZY,\\ [Z,[X,Y]]&=ZXY-ZYX-XYZ+YXZ.\end{aligned}$$

3つを足すと、12個の項が2つずつ符号を反対にして現れ、和は0になる。

座標基底は可換になる

座標基底 $\partial_i=\partial/\partial x^i$ の成分は定数 $\delta^k_i$ である。(13.2) の微分がすべて0になるので、次の式が成り立つ。

$$[\partial_i,\partial_j]=0.\tag{13.3}$$

関数の言葉で言えば、偏微分の順序が交換できることにあたる。逆に、可換でない2つのベクトル場は、どんな座標を取っても2本の座標基底にはならない。この事実は §13.5 で座標を作るときの条件になる。

流れの可換性と Lie 括弧

Lie 括弧は、冒頭の「交互にたどると閉じない」ずれと次のように結び付く。

証明

写像 $F$ による関数の引き戻しを $F^*f=f\circ F$ と書く。(13.1) を2回使うと、次の2式が成り立つ。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}f(\Phi^X_t(q))=(Xf)(\Phi^X_t(q)),\qquad \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2}f(\Phi^X_t(q))=(XXf)(\Phi^X_t(q)).$$

したがって作用素として、時間について2次まで次の展開が成り立つ。

$$(\Phi^X_t)^*=1+tX+\tfrac{t^2}{2}X^2+\mathcal{O}(t^3).$$

合成写像の引き戻しは順序が逆になる（$(F\circ G)^*=G^*F^*$）。

$$\psi_t^*=(\Phi^X_t)^*(\Phi^Y_t)^*(\Phi^X_{-t})^*(\Phi^Y_{-t})^*.$$

4つの因子を2次まで展開して掛ける。1次の項は $X+Y-X-Y=0$ で消える。

2次の項は、各因子の2次の項と、異なる2つの因子の1次の項の積とに分かれる。各因子の2次の項の和は次のとおりである。

$$\tfrac12X^2+\tfrac12Y^2+\tfrac12X^2+\tfrac12Y^2=X^2+Y^2.$$

異なる2因子の1次の項の積は、左の因子を左に置いて6通りある。

$$XY-X^2-XY-YX-Y^2+XY=XY-YX-X^2-Y^2.$$

2つを足すと $XY-YX$ が残る。これを関数に作用させて点 $p$ で評価すれば (13.4) になる。

証明

流れが可換なら、$\psi_t=\Phi^Y_{-t}\circ\Phi^Y_t\circ\Phi^X_{-t}\circ\Phi^X_t$ は恒等写像になる。(13.4) の2次の係数が0なので、すべての関数とすべての点で $[X,Y]f=0$ となる。

逆向きの主張「$[X,Y]=0$ なら流れは可換」も成り立つ。その証明には Lie 微分が要るので、§13.2 の定理 13.9 で示す。

回転の生成子の括弧

3次元空間の座標軸まわりの回転を、反時計回りを正として生成するベクトル場を次のように書く。

$$R_x=y\,\partial_z-z\,\partial_y,\qquad R_y=z\,\partial_x-x\,\partial_z,\qquad R_z=x\,\partial_y-y\,\partial_x.\tag{13.5}$$

たとえば $R_z$ の流れは、鉛直の軸まわりに角 $t$ だけ回す回転である。極座標で書くと $R_z=\partial_\theta$ になる（確認テスト 13.1-3）。(13.2) で括弧を計算すると、次の関係が出る（確認テスト 13.1-3）。

$$[R_x,R_y]=-R_z,\qquad [R_y,R_z]=-R_x,\qquad [R_z,R_x]=-R_y.\tag{13.6}$$

右辺に負号がつく理由は、線形なベクトル場の一般の性質にある。

証明

(13.2) に代入する。$\partial_j(B_{ik}x^k)=B_{ij}$ を使う。

$$[X_A,X_B]^i=A_{jk}x^k\,B_{ij}-B_{jk}x^k\,A_{ij}=(BA-AB)_{ik}x^k.$$

右辺は行列 $BA-AB=-[A,B]$ の作るベクトル場の成分である。

$R_z$ は次の行列 $A_z$ の作るベクトル場である。

$$A_z=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

流れは行列の指数関数 $\mathrm{e}^{tA_z}$ で与えられる。回転行列の生成子は $[A_x,A_y]=A_z$ を満たすので、命題 13.6 から (13.6) の負号が出る。量子力学の角運動量演算子は $\hat L_i=-\mathrm{i}\hbar R_i$ で、これを使うと (13.6) は次の形になる。

$$[\hat L_x,\hat L_y]=(-\mathrm{i}\hbar)^2[R_x,R_y]=\hbar^2R_z=\mathrm{i}\hbar\hat L_z.$$

量子力学でおなじみの交換関係は、回転の流れが可換でないこと（定理 13.4）を作用素の言葉で書いたものである。

確認テスト

オリジナル

1. 13.1-1 Leibniz 則 $[X,fY]=f[X,Y]+(Xf)Y$ を、関数 $g$ に作用させて示せ。
2. 13.1-2 平面の拡大 $D=x\,\partial_x+y\,\partial_y$ と回転 $R=x\,\partial_y-y\,\partial_x$ の括弧を計算せよ。また2つの流れを具体的に書き、結果が流れの性質と合うことを確かめよ。
3. 13.1-3 (13.5) の $R_y,R_z$ について $[R_y,R_z]=-R_x$ を成分で計算せよ。また、水平な平面の上で $R_z$ を極座標に書き直すと $\partial_\theta$ になることを示せ。
4. 13.1-4 $X=\partial_x$ と $Y=\mathrm{e}^x\partial_y$ を考える。原点から定理 13.4 の順に流れをたどった到着点を、時間の式で正確に求めよ。その縦の座標を時間で展開し、(13.4) と合うことを確かめよ。