ベクトル場と積分曲線

物理のための微分幾何入門　第2章 §2.3　★★★ ベクトル場・積分曲線・流れの3つを結び、相空間の時間発展を流れとして読む

ベクトル場

各点に1つずつ接ベクトルを置いたものがベクトル場である。流体の各点の速度や、相空間の各点での状態の変化の速さが典型例である。

変換則 (2.8) は点ごとに成り立つ。したがって、ベクトル場の成分は各点で $X'^j=\sum_i(\partial q'^j/\partial q^i)X^i$ と変わる。1つのチャートで成分が滑らかなら、重なりの上で別のチャートの成分も滑らかである。

積分曲線と流れ

積分曲線を求めることは、1階の常微分方程式の連立系 (2.15) を解くことと同じである。解の存在と一意性は、常微分方程式の基本定理が保証する。

証明の筋

座標で書くと (2.15) は、ユークリッド空間の常微分方程式 $\dot q=X(q)$ である。成分は滑らかなので、初期点の近くで Lipschitz 条件を満たす。

$$\left\vert X(q)-X(\tilde q)\right\vert \le K\left\vert q-\tilde q\right\vert .$$

積分方程式 $q(t)=a+\int_0^tX(q(\tau))\,\mathrm{d}\tau$ の右辺を、曲線から曲線への写像とみる。十分短い時間の区間では、この写像は縮小写像になる。縮小写像の不動点として、解が1つだけ得られる（Picard の逐次近似）。

一意性は、2つの解の差に Gronwall の不等式を使うと示せる。初期点への滑らかな依存も、同じ枠組みで示せる。完全な証明は常微分方程式の本に譲る。

点 $p$ を通る積分曲線の、時刻 $t$ での点を考える。この点を $\Phi_t(p)$ と書き、写像 $\Phi_t$ をベクトル場の流れと呼ぶ。流れを生むベクトル場 $X$ を明示したいときは $\Phi^X_t$ と書く。すべての時刻とすべての点で流れが定まるとき、ベクトル場は完備であるという。

証明

式 $\Phi_0(p)=p$ は定義そのものである。時刻 $s$ と点 $p$ を固定し、次の2本の曲線を比べる。

$$\alpha(t)=\Phi_{t+s}(p),\qquad \beta(t)=\Phi_t\bigl(\Phi_s(p)\bigr).$$

前者は、点 $p$ を通る積分曲線を時刻 $s$ だけずらしたものである。したがって、各時刻で $\dot\alpha(t)=X_{\alpha(t)}$ を満たす。後者は、点 $\Phi_s(p)$ を通る積分曲線である。

時刻 $0$ では、2本はともに点 $\Phi_s(p)$ にある。2本は同じ時刻に同じ点を通る積分曲線である。定理 2.13 の一意性から、すべての時刻で2本は一致し、これが (2.16) である。時刻を $s=-t$ とおけば $\Phi_t\circ\Phi_{-t}=\mathrm{id}$ となり、逆写像が得られる。

逆に、(2.16) を満たす滑らかな写像の族 $\Phi_t$（1パラメータ変換群）からは、ベクトル場が1つ決まる。各点で、次のように置けばよい。

$$X_p=\frac{d }{d t}\Phi_t(p)\Big|_{t=0}.$$

群の性質から $\Phi_{t+h}(p)=\Phi_h(\Phi_t(p))$ が成り立つ。これを小さな時刻 $h$ で微分すると、曲線 $t\mapsto\Phi_t(p)$ の各時刻の速度が、その点でのベクトル場の値に等しいことが分かる。

したがって、この曲線はこのベクトル場の積分曲線である。このベクトル場を、変換群の生成子と呼ぶ。

物理の流れ：流体の速度場と相空間の流れ

定常な流体の速度場 $\bm{u}(\bm{x})$ は、空間の上のベクトル場である。その積分曲線は流体の粒子の軌跡で、流線と呼ぶ。流れ $\Phi_t$ は「はじめにある位置にあった粒子を、時刻 $t$ の位置へ送る写像」である。

時間に依る速度場 $\bm{u}(\bm{x},t)$ は、空間の上の1つのベクトル場ではない。§2.2 のように時刻も座標に含めると、時空の上のベクトル場として扱える。

$$\frac{\partial }{\partial t}+\sum_iu^i\,\frac{\partial }{\partial x^i}.$$

このベクトル場の積分曲線は、粒子の世界線である。

1自由度の力学系の状態は、座標 $q$ と運動量 $p$ の組で決まる。Hamilton の運動方程式は、$\dot q=\partial H/\partial p$ と $\dot p=-\partial H/\partial q$ である。これは、相空間の次のベクトル場の積分曲線の方程式である。

$$X_H=\frac{\partial H}{\partial p}\,\frac{\partial }{\partial q}-\frac{\partial H}{\partial q}\,\frac{\partial }{\partial p}.\tag{2.17}$$

このベクトル場を Hamilton ベクトル場と呼ぶ。正準2形式を使った定義と符号の確認は第14章 §14.2 で行う。

Hamilton ベクトル場をハミルトニアン自身に作用させると、次のように $0$ になる。

$$X_HH=\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}-\frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}=0.$$

したがって積分曲線の上でハミルトニアンは一定で、相空間の流れはエネルギーの等高線に沿う。

確認テスト

オリジナル

1. 2.3-1 平面のベクトル場 $X=x\,\partial_x-y\,\partial_y$ を考える。点 $(x_0,y_0)$ を通る積分曲線を求めよ。関数 $xy$ がその曲線の上で一定であることを、ベクトル場をこの関数に作用させて確かめよ。
2. 2.3-2 直線上のベクトル場 $X=x^2\,\partial_x$ の流れは、次の式で与えられる。

$$\Phi_t(x)=\frac{x}{1-tx}.$$

これが積分曲線の方程式を満たすことを確かめよ。群の性質 (2.16) が、定まる範囲で成り立つことも確かめよ。3. 2.3-3 せん断流 $\bm{u}=\gamma y\,\partial_x$ の流れを求めよ（$\gamma$ は定数）。流れの写像のヤコビ行列式を計算し、流体の面積が保たれることを確かめよ。4. 2.3-4 1自由度の Hamilton ベクトル場 (2.17) を、平面のベクトル場とみる。その発散 $\partial_qX^q+\partial_pX^p$ が恒等的に $0$ であることを示せ。