物理のための微分幾何入門 第2章 §2.4 ★★★ 写像が接ベクトルを運ぶ規則（押し出し）を定め、連鎖律がその合成則であることを示す
押し出しの定義
多様体の間の滑らかな写像 f : M → N f:M\to N f : M → N
定義 2.15（押し出し）
滑らかな写像 f : M → N f:M\to N f : M → N v ∈ T p M v\in T_pM v ∈ T p M f ∗ v f_*v f ∗ v
( f ∗ v ) ( g ) = v ( g ∘ f ) ( g ∈ C ∞ ( N ) ) . (2.18) (f_*v)(g)=v(g\circ f)\qquad(g\in C^\infty(N)).\tag{2.18} ( f ∗ v ) ( g ) = v ( g ∘ f ) ( g ∈ C ∞ ( N )) . ( 2.18 )
これで定まる線形写像 f ∗ : T p M → T f ( p ) N f_*:T_pM\to T_{f(p)}N f ∗ : T p M → T f ( p ) N d f p \mathrm{d} f_p d f p
押し出した f ∗ v f_*v f ∗ v g ↦ g ∘ f g\mapsto g\circ f g ↦ g ∘ f
( f ∗ v ) ( g h ) = v ( ( g ∘ f ) ( h ∘ f ) ) = g ( f ( p ) ) ( f ∗ v ) ( h ) + h ( f ( p ) ) ( f ∗ v ) ( g ) (f_*v)(gh)=v\bigl((g\circ f)(h\circ f)\bigr)=g(f(p))\,(f_*v)(h)+h(f(p))\,(f_*v)(g) ( f ∗ v ) ( g h ) = v ( ( g ∘ f ) ( h ∘ f ) ) = g ( f ( p )) ( f ∗ v ) ( h ) + h ( f ( p )) ( f ∗ v ) ( g )
となる。
曲線の見方では、押し出しは曲線を写像で送ることに当たる。接ベクトルが曲線の同値類 [ γ ] [\gamma] [ γ ] (2.3) から
( f ∗ v ) ( g ) = d d t g ( f ( γ ( t ) ) ) ∣ t = 0 = v f ∘ γ ( g ) (f_*v)(g)=\frac{d }{d t}g\bigl(f(\gamma(t))\bigr)\Big|_{t=0}=v_{f\circ\gamma}(g) ( f ∗ v ) ( g ) = d t d g ( f ( γ ( t )) ) t = 0 = v f ∘ γ ( g )
となる。したがって f ∗ [ γ ] = [ f ∘ γ ] f_*[\gamma]=[f\circ\gamma] f ∗ [ γ ] = [ f ∘ γ ]
ヤコビ行列と連鎖律の幾何
始めの多様体の座標を x i x^i x i m m m y a y^a y a n n n y a = f a ( x ) y^a=f^a(x) y a = f a ( x ) g g g
( f ∗ ∂ ∂ x i ) ( g ) = ∂ ( g ∘ f ) ∂ x i = ∑ a = 1 n ∂ f a ∂ x i ∂ g ∂ y a \Bigl(f_*\frac{\partial }{\partial x^i}\Bigr)(g)=\frac{\partial (g\circ f)}{\partial x^i}=\sum_{a=1}^n\frac{\partial f^a}{\partial x^i}\,\frac{\partial g}{\partial y^a} ( f ∗ ∂ x i ∂ ) ( g ) = ∂ x i ∂ ( g ∘ f ) = a = 1 ∑ n ∂ x i ∂ f a ∂ y a ∂ g
となる。したがって
f ∗ ∂ ∂ x i = ∑ a = 1 n ∂ f a ∂ x i ∂ ∂ y a , ( f ∗ v ) a = ∑ i = 1 m ∂ f a ∂ x i v i . (2.19) f_*\frac{\partial }{\partial x^i}=\sum_{a=1}^n\frac{\partial f^a}{\partial x^i}\,\frac{\partial }{\partial y^a},\qquad (f_*v)^a=\sum_{i=1}^m\frac{\partial f^a}{\partial x^i}\,v^i.\tag{2.19} f ∗ ∂ x i ∂ = a = 1 ∑ n ∂ x i ∂ f a ∂ y a ∂ , ( f ∗ v ) a = i = 1 ∑ m ∂ x i ∂ f a v i . ( 2.19 )
成分で見ると、押し出しはヤコビ行列 D f = ( ∂ f a / ∂ x i ) Df=(\partial f^a/\partial x^i) D f = ( ∂ f a / ∂ x i ) (2.8) は、(2.19) で写像を座標の取り替えとしたものに当たる。ただし、2つは見方が違う。座標の取り替えでは点を動かさずに名前を付け替え、押し出しでは点そのものを送る。
定理 2.16（連鎖律）
滑らかな写像 f : M → N f:M\to N f : M → N h : N → P h:N\to P h : N → P
( h ∘ f ) ∗ = h ∗ ∘ f ∗ . (2.20) (h\circ f)_*=h_*\circ f_*.\tag{2.20} ( h ∘ f ) ∗ = h ∗ ∘ f ∗ . ( 2.20 )
座標で書くと、合成のヤコビ行列はヤコビ行列の積 D h ⋅ D f Dh\cdot Df D h ⋅ D f
証明 接ベクトル v ∈ T p M v\in T_pM v ∈ T p M k k k (2.18) を2回使うと
( h ∗ ( f ∗ v ) ) ( k ) = ( f ∗ v ) ( k ∘ h ) = v ( k ∘ h ∘ f ) = ( ( h ∘ f ) ∗ v ) ( k ) \bigl(h_*(f_*v)\bigr)(k)=(f_*v)(k\circ h)=v(k\circ h\circ f)=\bigl((h\circ f)_*v\bigr)(k) ( h ∗ ( f ∗ v ) ) ( k ) = ( f ∗ v ) ( k ∘ h ) = v ( k ∘ h ∘ f ) = ( ( h ∘ f ) ∗ v ) ( k )
となる。これが (2.20) である。成分の式は、(2.19) を2回使えば行列の積として出る。恒等写像では g ∘ i d = g g\circ\mathrm{id}=g g ∘ id = g
連鎖律の幾何の意味は、「曲線を2回続けて送ることと、合成写像で1回で送ることは同じ」である。曲線の見方では、これは結合則 ( h ∘ f ) ∘ γ = h ∘ ( f ∘ γ ) (h\circ f)\circ\gamma=h\circ(f\circ\gamma) ( h ∘ f ) ∘ γ = h ∘ ( f ∘ γ )
系 2.17（微分同相写像の押し出し）
写像 f f f f ∗ f_* f ∗ ( f − 1 ) ∗ (f^{-1})_* ( f − 1 ) ∗
証明 2つの恒等式 f − 1 ∘ f = i d f^{-1}\circ f=\mathrm{id} f − 1 ∘ f = id f ∘ f − 1 = i d f\circ f^{-1}=\mathrm{id} f ∘ f − 1 = id
図 2.6 極座標の写像 F ( r , θ ) = ( r cos θ , r sin θ ) F(r,\theta)=(r\cos\theta,\ r\sin\theta) F ( r , θ ) = ( r cos θ , r sin θ ) ( r , θ ) = ( 1.5 , π / 4 ) (r,\theta)=(1.5,\pi/4) ( r , θ ) = ( 1.5 , π /4 ) ∂ r \partial_r ∂ r ∂ θ \partial_\theta ∂ θ r = 1.5 r=1.5 r = 1.5
ベクトル場の押し出しと流れの対応
接ベクトルは点ごとに押し出せるが、ベクトル場はいつも押し出せるとは限らない。写像が単射でないと、行き先の1点に、始めの2点から別々の接ベクトルが届くことがある。写像が全射でないと、行き先の点の一部にはベクトルが届かない。写像が微分同相なら、行き先の各点 y y y f ∗ X f_*X f ∗ X
( f ∗ X ) y = f ∗ ( X f − 1 ( y ) ) . (f_*X)_y=f_*\bigl(X_{f^{-1}(y)}\bigr). ( f ∗ X ) y = f ∗ ( X f − 1 ( y ) ) .
命題 2.18（押し出したベクトル場の流れ）
写像 f : M → N f:M\to N f : M → N X X X Φ t \Phi_t Φ t γ \gamma γ f ∘ γ f\circ\gamma f ∘ γ f ∘ Φ t ∘ f − 1 f\circ\Phi_t\circ f^{-1} f ∘ Φ t ∘ f − 1
証明 各時刻で、規則 f ∗ [ γ ] = [ f ∘ γ ] f_*[\gamma]=[f\circ\gamma] f ∗ [ γ ] = [ f ∘ γ ] f ∗ γ ˙ ( t ) f_*\dot\gamma(t) f ∗ γ ˙ ( t ) γ ˙ ( t ) = X γ ( t ) \dot\gamma(t)=X_{\gamma(t)} γ ˙ ( t ) = X γ ( t )
行き先の点 y y y f − 1 ( y ) f^{-1}(y) f − 1 ( y ) Φ t ( f − 1 ( y ) ) \Phi_t(f^{-1}(y)) Φ t ( f − 1 ( y )) f ( Φ t ( f − 1 ( y ) ) ) f(\Phi_t(f^{-1}(y))) f ( Φ t ( f − 1 ( y ))) f ∘ Φ t ∘ f − 1 f\circ\Phi_t\circ f^{-1} f ∘ Φ t ∘ f − 1
この命題は、「座標を取り替えてから微分方程式を解いても、解いてから取り替えても同じ」を保証する。回転のベクトル場を極座標で書くと ∂ θ \partial_\theta ∂ θ θ ↦ θ + t \theta\mapsto\theta+t θ ↦ θ + t 2.18 により、この簡単な流れを直交座標に戻したものが回転の流れになる。ベクトル場を座標基底の1つに直す座標の作り方は、第13章 §13.5 で一般に扱う。
例題 2.5 極座標の写像と平面運動の速度 ★★
オリジナル 極座標の写像 F ( r , θ ) = ( r cos θ , r sin θ ) F(r,\theta)=(r\cos\theta,\ r\sin\theta) F ( r , θ ) = ( r cos θ , r sin θ )
ヤコビ行列を書き、2つの座標基底 ∂ r \partial_r ∂ r ∂ θ \partial_\theta ∂ θ
平面運動の速度 r ˙ ∂ r + θ ˙ ∂ θ \dot r\,\partial_r+\dot\theta\,\partial_\theta r ˙ ∂ r + θ ˙ ∂ θ r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 \dot r^2+r^2\dot\theta^2 r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2
動径が r = 2.0 m r=2.0\,\mathrm{m} r = 2.0 m r ˙ = 1.0 m / s \dot r=1.0\,\mathrm{m/s} r ˙ = 1.0 m/s θ ˙ = 0.50 r a d / s \dot\theta=0.50\,\mathrm{rad/s} θ ˙ = 0.50 rad/s
解答
ヤコビ行列は次の行列である。
D F = ( ∂ x / ∂ r ∂ x / ∂ θ ∂ y / ∂ r ∂ y / ∂ θ ) = ( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ) . DF=\begin{pmatrix}\partial x/\partial r&\partial x/\partial\theta\\ \partial y/\partial r&\partial y/\partial\theta\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}. D F = ( ∂ x / ∂ r ∂ y / ∂ r ∂ x / ∂ θ ∂ y / ∂ θ ) = ( cos θ sin θ − r sin θ r cos θ ) .
(2.19) から、その列が押し出しの成分になる。
F ∗ ∂ r = cos θ ∂ x + sin θ ∂ y , F ∗ ∂ θ = − r sin θ ∂ x + r cos θ ∂ y . F_*\partial_r=\cos\theta\,\partial_x+\sin\theta\,\partial_y,\qquad F_*\partial_\theta=-r\sin\theta\,\partial_x+r\cos\theta\,\partial_y. F ∗ ∂ r = cos θ ∂ x + sin θ ∂ y , F ∗ ∂ θ = − r sin θ ∂ x + r cos θ ∂ y .
F ∗ ( r ˙ ∂ r + θ ˙ ∂ θ ) = ( r ˙ cos θ − r θ ˙ sin θ ) ∂ x + ( r ˙ sin θ + r θ ˙ cos θ ) ∂ y . F_*(\dot r\,\partial_r+\dot\theta\,\partial_\theta)=(\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta)\,\partial_x+(\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta)\,\partial_y. F ∗ ( r ˙ ∂ r + θ ˙ ∂ θ ) = ( r ˙ cos θ − r θ ˙ sin θ ) ∂ x + ( r ˙ sin θ + r θ ˙ cos θ ) ∂ y .
成分の2乗の和をとると、交差項 ± 2 r r ˙ θ ˙ sin θ cos θ \pm2r\dot r\dot\theta\sin\theta\cos\theta ± 2 r r ˙ θ ˙ sin θ cos θ
( r ˙ cos θ − r θ ˙ sin θ ) 2 + ( r ˙ sin θ + r θ ˙ cos θ ) 2 = r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 . (\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta)^2+(\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta)^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2. ( r ˙ cos θ − r θ ˙ sin θ ) 2 + ( r ˙ sin θ + r θ ˙ cos θ ) 2 = r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 .
1.0 2 + 2.0 2 × 0.50 2 m / s = 2 m / s ≈ 1.4 m / s . \sqrt{1.0^2+2.0^2\times0.50^2}\,\mathrm{m/s}=\sqrt2\,\mathrm{m/s}\approx1.4\,\mathrm{m/s}. 1. 0 2 + 2. 0 2 × 0.5 0 2 m/s = 2 m/s ≈ 1.4 m/s .
質量を掛けて2で割れば運動エネルギー T = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) T=\frac12m(\dot r^2+r^2\dot\theta^2) T = 2 1 m ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) 5.4 の計量になる。
確認テスト
オリジナル
2.4-1 例題 2.5 の写像を考える。点 ( r , θ ) = ( 2 , π / 2 ) (r,\theta)=(2,\pi/2) ( r , θ ) = ( 2 , π /2 ) F ∗ ∂ θ F_*\partial_\theta F ∗ ∂ θ 2.4-2 写像 F ( u , v ) = ( u + v , u v ) F(u,v)=(u+v,\ uv) F ( u , v ) = ( u + v , uv ) G ( x , y ) = x 2 − 2 y G(x,y)=x^2-2y G ( x , y ) = x 2 − 2 y ( u , v ) = ( 1 , 2 ) (u,v)=(1,2) ( u , v ) = ( 1 , 2 ) D G ⋅ D F DG\cdot DF D G ⋅ D F 2.4-3 長さ ℓ \ell ℓ q q q
ι ( q ) = ( ℓ sin q , − ℓ cos q ) . \iota(q)=(\ell\sin q,\ -\ell\cos q). ι ( q ) = ( ℓ sin q , − ℓ cos q ) .
振り子の速度 q ˙ ∂ q \dot q\,\partial_q q ˙ ∂ q ℓ ∣ q ˙ ∣ \ell\left\vert \dot q\right\vert ℓ ∣ q ˙ ∣ m m m 2.4-4 直線上のベクトル場 X = ∂ x X=\partial_x X = ∂ x f ( x ) = e x f(x)=\mathrm{e}^x f ( x ) = e x f ∗ X f_*X f ∗ X y = e x y=\mathrm{e}^x y = e x Φ t ( x ) = x + t \Phi_t(x)=x+t Φ t ( x ) = x + t f ∘ Φ t ∘ f − 1 f\circ\Phi_t\circ f^{-1} f ∘ Φ t ∘ f − 1
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
