この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第2章 §2.5

接ベクトルは、点を通る曲線の速度として定めても、関数を微分する操作として定めても同じものになる（定理 2.5）。どちらの定義も点どうしの差を使わないので、円周・球面・状態の空間のような多様体の上でも速度が定まる。各点の接ベクトルの全体 $T_pM$ は $n$ 次元のベクトル空間で、座標基底を持つ。

座標を取り替えると、基底と成分は互いに逆の行列で変わる（定理 2.7）。この変換則から、偏微分 $\partial/\partial q^1$ が、その座標だけでなく相方の座標で決まることが従う（命題 2.8）。加速する座標の時間の偏微分 (2.11) と、熱力学の関係 (2.13) は、どちらもこの命題の例である。関数が座標に陽に依存するかどうかは、関数と座標の組の性質で、相方の選び方で変えられる（命題 2.10）。

各点に接ベクトルを置いたベクトル場からは、常微分方程式を解いて積分曲線と流れが得られる。流れは1パラメータ変換群をなし（定理 2.14）、逆に変換群からは生成子としてベクトル場が決まる。Hamilton の運動方程式は相空間の Hamilton ベクトル場の積分曲線の方程式で、その流れはエネルギーの等高線に沿う。

写像は接ベクトルを押し出し、成分ではヤコビ行列を掛ける操作になる。連鎖律は押し出しの合成則で、曲線を続けて送ることの言い換えである（定理 2.16）。微分同相写像はベクトル場と流れを運ぶ。したがって、座標を取り替えてから解いても、解いてから取り替えても同じ流れになる（命題 2.18）。

第3章では、接空間の双対として1形式を定める。接ベクトル $\partial/\partial q^i$ が座標の組全体で決まるのに対し、1形式 $\mathrm{d} q^i$ は関数1つで決まる。この非対称が、相方の座標で偏微分の値が変わることの裏側になる。

第5章の計量は接ベクトルの内積として、第13章の Lie 微分は流れに沿った変化率として、この章の対象を使って定める。第14章の Hamilton ベクトル場は、正準2形式からこの章の (2.17) を導き直す。