Lie 微分

物理のための微分幾何入門　第13章 §13.2　★★ 流れで引き戻して時刻0で微分する。関数・ベクトル場・形式・計量に同じ定義が使え、形式には Cartan の公式で計算できる

流れで引き戻して比べる

点 $p$ にあるベクトルと、近くの点 $q$ にあるベクトルは、別々の接空間に住むので直接は引けない。第9章ではこの問題を、計量から作る接続（平行移動）で解いた。この節では計量を使わず、ベクトル場 $X$ の流れでテンソルを運んで比べる。流れの先の点にあるテンソルを流れで元の点まで引き戻し、元の点にもとからあるテンソルと比べるのである。

引き戻しは、テンソルの型ごとに次のように定める（$\Phi_t=\Phi^X_t$ と略す）。

• 関数：$(\Phi_t^*f)(p)=f(\Phi_t(p))$。
• 1形式（一般に $k$ 形式や $(0,s)$ 型テンソル）：第12章 §12.3 の引き戻しをそのまま使う。
• ベクトル場：逆写像 $\Phi_{-t}$ で押し出す。式では $(\Phi_t^*Y)(p)=(\Phi_{-t})_*\,Y(\Phi_t(p))$ と書く。

関数については、定義からすぐに $\mathcal L_Xf=Xf$ になる。流れの合成則 (13.1) を使うと、時刻0以外での変化率も Lie 微分で書ける。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\Phi^X_t)^*T=(\Phi^X_t)^*\mathcal L_XT.\tag{13.8}$$

実際、合成則から引き戻しも $(\Phi_{t+h})^*=(\Phi_t)^*(\Phi_h)^*$ を満たす。これを $h$ で微分して $h=0$ とおけばこの式になる。

ベクトル場の Lie 微分は Lie 括弧

証明

座標で計算する。流れは時間の1次までで $\Phi_t(x)^i=x^i+tX^i(x)+\mathcal{O}(t^2)$ である。逆の流れ $\Phi_{-t}$ の Jacobi 行列は次の式になる。

$$\frac{\partial\Phi_{-t}^i}{\partial x^j}=\delta^i_j-t\,\partial_jX^i+\mathcal{O}(t^2).$$

流れの先の点での $Y$ の値は、Taylor 展開で次の式になる。

$$Y^j(\Phi_t(x))=Y^j+tX^k\partial_kY^j+\mathcal{O}(t^2).$$

押し出しは Jacobi 行列を掛けることなので（第2章 §2.4）、次の計算になる。

$$\bigl((\Phi_t)^*Y\bigr)^i=\bigl(\delta^i_j-t\,\partial_jX^i\bigr)\bigl(Y^j+tX^k\partial_kY^j\bigr)+\mathcal{O}(t^2) =Y^i+t\bigl(X^k\partial_kY^i-Y^j\partial_jX^i\bigr)+\mathcal{O}(t^2).$$

時間の1次の係数は (13.2) の $[X,Y]^i$ に等しい。

この定理を使うと、§13.1 で残した逆向きの主張が示せる。

証明

(13.8) をベクトル場 $Y$ に使い、定理 13.8 を代入する。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}(\Phi^X_s)^*Y=(\Phi^X_s)^*[X,Y]=0.$$

よってすべての時刻で $(\Phi^X_s)^*Y=Y$ となり、これは $(\Phi^X_s)_*Y=Y$ と同じである。

写像 $F=\Phi^X_s$ がこの性質を持つとする。積分曲線 $c(t)$ を写像で移した曲線の速度は、$F_*Y=Y$ により再び同じベクトル場の値になる。したがって移した曲線も $Y$ の積分曲線で、出発点は移した点である。積分曲線は出発点で決まるので、$F\circ\Phi^Y_t=\Phi^Y_t\circ F$ となる。

形式と計量の Lie 微分

1形式 $\alpha=\alpha_i\,\mathrm{d} x^i$ の引き戻しを時間の1次まで計算すると、成分の式が得られる。引き戻した1形式の成分は $\alpha_j(\Phi_t(x))\,\partial\Phi_t^j/\partial x^i$ なので、次の式になる。

$$(\mathcal L_X\alpha)_i=X^j\partial_j\alpha_i+\alpha_j\,\partial_iX^j.\tag{13.9}$$

同じ計算を $(0,2)$ 型テンソル（たとえば計量）にすると、下付きの添字ごとに成分の微分の項が1つずつつく。

$$(\mathcal L_Xg)_{ij}=X^k\partial_kg_{ij}+g_{kj}\,\partial_iX^k+g_{ik}\,\partial_jX^k.\tag{13.10}$$

引き戻しは縮約・テンソル積・ウェッジ積と両立し、外微分とも交換する（第12章 §12.3）。これを時間で微分すると、Lie 微分の次の性質が出る。

証明

(i) 引き戻しは縮約を保つので、次の式が成り立つ。

$$\Phi_t^*\bigl(\alpha(Y)\bigr)=(\Phi_t^*\alpha)(\Phi_t^*Y).$$

両辺を時刻0で微分し、右辺に積の微分を使えば (i) になる。

(ii) も $\Phi_t^*(\alpha\wedge\beta)=\Phi_t^*\alpha\wedge\Phi_t^*\beta$ を微分すれば出る。(iii) は $\Phi_t^*\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}\,\Phi_t^*\omega$ を時間で微分すれば出る。外微分は座標についての微分なので、時間の微分と順序を交換できる。

Cartan の公式

微分形式の Lie 微分は、外微分と内部積だけで書ける。この公式を使うと、流れを解かずに Lie 微分を計算できる。

証明

右辺を $P=\iota_X\mathrm{d}+\mathrm{d}\iota_X$ とおく。

手順1：$P$ は Leibniz 則を満たす。外微分と内部積は、どちらも符号つきの Leibniz 則を満たす（第12章）。$\alpha$ を $k$ 形式とすると、次の2式である。

$$\mathrm{d}(\alpha\wedge\beta)=\mathrm{d}\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge\mathrm{d}\beta,\qquad \iota_X(\alpha\wedge\beta)=\iota_X\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge\iota_X\beta.$$

これを $P(\alpha\wedge\beta)$ の2つの項に使って展開すると、符号のつく交差項が打ち消し合う。残りは $P\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge P\beta$ である（確認テスト 13.2-4 で項を書き出す）。

手順2：$P$ は外微分と交換する。$\mathrm{d}^2=0$ から $\mathrm{d} P=\mathrm{d}\iota_X\mathrm{d}=P\,\mathrm{d}$ となる。

手順3：関数と関数の微分で一致する。関数では内部積が0なので、次の式になる。

$$Pf=\iota_X\mathrm{d} f=Xf=\mathcal L_Xf.$$

1形式 $\mathrm{d} f$ では、手順2と命題 13.10 (iii) から次が成り立つ。

$$P\,\mathrm{d} f=\mathrm{d} Pf=\mathrm{d}(Xf)=\mathrm{d}\,\mathcal L_Xf=\mathcal L_X\mathrm{d} f.$$

手順4：すべての形式で一致する。局所的には、どの $k$ 形式も $f\,\mathrm{d} g_1\wedge\cdots\wedge\mathrm{d} g_k$ の形の項の和である。2つの作用素はどちらも Leibniz 則を満たし、関数と関数の微分で一致するので、こうした積でも一致する。

Cartan の公式からすぐに出る結果を2つ書く。1つ目は閉形式の場合で、$\mathrm{d}\omega=0$ なら $\mathcal L_X\omega=\mathrm{d}(\iota_X\omega)$ となる。2つ目は体積形式の場合である。平面の面積形式 $\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$ は閉形式なので、内部積の外微分を計算すればよい。

$$\mathcal L_X(\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y)=\mathrm{d}\bigl(X^x\mathrm{d} y-X^y\mathrm{d} x\bigr)=\bigl(\partial_xX^x+\partial_yX^y\bigr)\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y.\tag{13.12}$$

係数は発散 $\nabla\cdot X$ で、流れが面積を保つことと発散が0であることが同じになる。3次元でも同じ計算で、体積形式の Lie 微分は発散を係数に持つ。

$$\mathcal L_X(\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z)=(\nabla\cdot X)\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z.$$

確認テスト

オリジナル

1. 13.2-1 平面の回転 $R=x\,\partial_y-y\,\partial_x$ について、次の2つを求めよ。

$$\mathcal L_R(x^2+y^2),\qquad \mathcal L_Rx.$$

それぞれの意味も述べよ。2. 13.2-2 $X=x^2\partial_x+xy\,\partial_y$ について、$\mathcal L_X(\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y)$ を Cartan の公式で計算せよ。この流れが面積を保つ領域はあるか。3. 13.2-3 Euclid 平面の計量を $\delta=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ とする。13.2-1 の回転 $R$ と、横方向の伸び $U=x\,\partial_x$ について、計量の Lie 微分を (13.10) で計算せよ。それぞれの流れが長さをどう変えるかも述べよ。4. 13.2-4 Cartan の公式の証明の手順1を書き下せ。すなわち、$\alpha$ を $k$ 形式として次の式を示せ。

$$P(\alpha\wedge\beta)=P\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge P\beta.$$ 5. 13.2-5 Cartan の公式から $\mathcal L_X\iota_X=\iota_X\mathcal L_X$ を示せ。