引き戻しと座標変換

物理のための微分幾何入門　第12章 §12.3　★★★ 形式は写像に沿って後ろ向きに運べ、外積と外微分はその運び方と両立する。積分の変数変換のヤコビアンはこの運び方の係数である

引き戻しの定義

第2章 §2.4 では、写像 $f\colon M\to N$ が接ベクトルを運ぶことを見た。これが押し出し $f_*$ である。形式はベクトルを受け取る量なので、向きが逆になる。$N$ の上の形式に $M$ のベクトルを渡すには、ベクトルを先に押し出しで運べばよい。

ベクトル場は一般には押し出せない。写像が単射でなければ、$M$ の複数の点のベクトルが $N$ の同じ点へ運ばれ、そこでの値が1つに決まらないからである。これに対して、形式の引き戻しはどんな滑らかな写像についても定まる。曲線や曲面の上へ形式を制限できるのは、この性質による。

座標で書くため、$M$ の座標を $x^i$ とする。$N$ の座標を $y^a$ とする。写像は $y^a=y^a(x)$ と書ける。押し出しはヤコビ行列で成分を運ぶので、基底の引き戻しは次のようになる。

$$f^*(\mathrm{d} y^a)=\frac{\partial y^a}{\partial x^i}\,\mathrm{d} x^i=\mathrm{d}(y^a\circ f)\tag{12.19}$$

実際の計算では、$N$ の座標に $x$ の関数を代入し、その微分を連鎖律で展開すればよい。

引き戻しの性質

証明

(i) (12.3) の右辺の各ベクトル $v$ を $f_*v$ に置き換えたものが左辺である。それは右辺の外積の定義そのものである。

(ii) まず関数 $g$ について示す。接ベクトル $v$ に対し、$f^*(\mathrm{d} g)(v)=\mathrm{d} g(f_*v)$ は、押し出したベクトルの方向の方向微分である。押し出しの定義から、これは $v$ 方向の $g\circ f$ の方向微分に等しい。したがって $f^*\mathrm{d} g=\mathrm{d}(f^*g)$ である。

一般の形式は、線形性から $\omega=g\,\mathrm{d} y^{a_1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d} y^{a_k}$ で示せば足りる。(i) と関数の場合から、引き戻しは次の形になる。

$$f^*\omega=(g\circ f)\,\mathrm{d}(y^{a_1}\circ f)\wedge\dots\wedge\mathrm{d}(y^{a_k}\circ f)$$

これに $\mathrm{d}$ を当てる。Leibniz 則と $\mathrm{d}^2=0$ から、$\mathrm{d}(g\circ f)$ が前に付く項だけが残る。その結果は、(i) から $f^*(\mathrm{d} g\wedge\mathrm{d} y^{a_1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d} y^{a_k})=f^*\mathrm{d}\omega$ に等しい。

(iii) 押し出しについては、連鎖律 $(g\circ f)_*=g_*\circ f_*$ が成り立つ（第2章 §2.4）。これを (12.18) に入れればよい。

証明

2つの座標 $x$ と $y$ の取り替えを、恒等写像を座標で書いたものとみなす。$y$ 座標で書いた形式を $x$ 座標へ書き直す操作は、この写像による引き戻しである。(12.20) から、書き直してから $\mathrm{d}$ をとっても、$\mathrm{d}$ をとってから書き直しても同じ結果になる。

最高次の形式とヤコビアン

2つの多様体がともに $n$ 次元のとき、(12.19) と定理 12.5 を組み合わせる。基底の引き戻しの係数行列はヤコビ行列なので、次の式が出る。

$$f^*(\mathrm{d} y^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} y^n)=\det\Bigl(\frac{\partial y^a}{\partial x^i}\Bigr)\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n\tag{12.21}$$

第1章で見たヤコビ行列式は、最高次の形式の引き戻しの係数である。

形式の積分と変数変換

向きの入った $n$ 次元の領域 $U$ の上の、最高次の形式を考える。それを $\omega=h(x)\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n$ と書き、積分を普通の重積分で定める。

$$\int_U\omega=\int_Uh(x)\,\mathrm{d} x^1\cdots\mathrm{d} x^n\tag{12.22}$$

ここで $(x^1,\dots,x^n)$ は正の向きの座標とする。

証明

$\omega=h(y)\,\mathrm{d} y^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} y^n$ とする。(12.21) から、引き戻しは次の形になる。

$$\varphi^*\omega=h(\varphi(x))\,\det D\varphi(x)\,\mathrm{d} x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d} x^n$$

重積分の変数変換の公式は、絶対値のついたヤコビ行列式を含む。

$$\int_Vh\,\mathrm{d}^ny=\int_Uh(\varphi(x))\,\left\vert \det D\varphi\right\vert \,\mathrm{d}^nx$$

向きを保つときは $\left\vert \det D\varphi\right\vert =\det D\varphi$ なので、両辺は一致する。向きを逆にするときは $\left\vert \det D\varphi\right\vert =-\det D\varphi$ なので、負号が付く。

重積分の公式は絶対値のついたヤコビ行列式を含み、形式の積分の公式は符号つきの行列式を含む。この違いが「向き」である。(12.23) から、向きの入った多様体の上の最高次の形式の積分は、どの正の向きの座標で計算しても同じ値になる。

$k$ 次元の曲線や曲面の上の積分も、同じ考え方で定める。面が、媒介変数の写像 $c\colon D\to M$ で表されているとする。このとき $\int_S\omega=\int_Dc^*\omega$ と定める。曲線 $\gamma\colon[a,b]\to M$ の上では、1形式の積分は次の線積分になる。

$$\int_\gamma\omega=\int_a^b\gamma^*\omega=\int_a^b\omega_i(\gamma(t))\,\dot\gamma^i(t)\,\mathrm{d} t\tag{12.24}$$

3次元の曲面 $\bm{r}(u,v)$ の上では、流束の形の引き戻しは次のようになる。

$$c^*\Phi_{\bm{b}}=\bm{b}(\bm{r}(u,v))\cdot(\bm{r}_u\times\bm{r}_v)\,\mathrm{d} u\wedge\mathrm{d} v\tag{12.25}$$

これは、(12.9) の流束の形の性質を、引き戻しの定義 (12.18) に当てたものである。$\bm{r}_u\times\bm{r}_v=\bm{n}\,\left\vert \bm{r}_u\times\bm{r}_v\right\vert$ と書ける。すると、流束の形の積分はベクトル解析の面積分 $\int_S\bm{b}\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} S$ に等しい。

確認テスト

オリジナル

1. 12.3-1 2つの1形式と滑らかな写像 $f$ を考える。定義 (12.18) と (12.4) から直接、$f^*(\alpha\wedge\beta)=f^*\alpha\wedge f^*\beta$ を示せ。
2. 12.3-2 平面の1形式 $\omega=-y\,\mathrm{d} x+x\,\mathrm{d} y$ を極座標へ引き戻せ。その結果を使って、半径 $a$ の円を反時計回りに1周する積分を求めよ。
3. 12.3-3 球座標のヤコビ行列式を計算し、次の式を示せ。

$$\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} z=r^2\sin\theta\,\mathrm{d} r\wedge\mathrm{d}\theta\wedge\mathrm{d}\varphi$$ 4. 12.3-4 曲線 $\gamma\colon[a,b]\to M$ と、狭義単調な滑らかな関数 $h\colon[c,d]\to[a,b]$ を考える。$h$ が増加なら $\int_{\gamma\circ h}\omega=\int_\gamma\omega$ となることを、(12.24) から示せ。$h$ が減少なら符号が反転することも示せ。