測地線の方程式

速度を新しい未知関数 $v^k=\dot x^k$ とおくと、(10.3) は $2n$ 個の未知関数についての1階の連立方程式になる。

$$\dot x^k=v^k,\qquad \dot v^k=-\Gamma^k{}_{ij}(x)\,v^iv^j$$

右辺は $(x,v)$ の滑らかな関数なので、局所的に Lipschitz 連続である。常微分方程式の Picard–Lindelöf の定理により、初期値 $(p,v)$ を通る解が短い時間のあいだただ1つ存在する。

Levi-Civita 接続は計量と両立する（第9章 §9.2）。曲線に沿う2つのベクトル場 $Y,Z$ について、次の Leibniz 則が成り立つ。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\,g(Y,Z)=g\!\left(\frac{DY}{\mathrm{d} t},Z\right)+g\!\left(Y,\frac{DZ}{\mathrm{d} t}\right)$$

$Y=Z=\dot x$ とおくと、測地線では $D\dot x/\mathrm{d} t=0$ なので右辺は0になる。したがって $w=g(\dot x,\dot x)$ は一定である。

連鎖律から $y'=\phi'\dot x$ である。もう1回微分すると、次の式を得る。

$$y''=\phi''\dot x+\phi'^2\ddot x$$

これらを左辺に入れると、$\phi'^2$ の項は測地線の方程式によって消える。

$$y''^k+\Gamma^k{}_{ij}y'^iy'^j=\phi''\dot x^k+\phi'^2\left(\ddot x^k+\Gamma^k{}_{ij}\dot x^i\dot x^j\right)=\phi''\dot x^k=\frac{\phi''}{\phi'}\,y'^k$$

$y'\ne0$ なので、右辺が0になるのは $\phi''=0$ のときに限る。

被積分関数 $\mathcal E=\frac12g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j$ の Euler–Lagrange 方程式を書く。必要な偏微分は次の2つである。

$$\frac{\partial\mathcal E}{\partial\dot x^k}=g_{kj}\dot x^j,\qquad \frac{\partial\mathcal E}{\partial x^k}=\frac12\,\partial_kg_{ij}\,\dot x^i\dot x^j$$

1つめを時刻で微分する。係数 $g_{kj}$ も曲線 $x(t)$ を通して時刻に依存するので、次の2つの項が出る。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(g_{kj}\dot x^j\right)=g_{kj}\ddot x^j+\partial_ig_{kj}\,\dot x^i\dot x^j$$

第2項の $\dot x^i\dot x^j$ は2つの添字について対称である。そこで係数を対称化し、$\frac12(\partial_ig_{kj}+\partial_jg_{ki})$ に置き換えてよい。したがって Euler–Lagrange 方程式は次のようになる。

$$g_{kj}\ddot x^j+\frac12\left(\partial_ig_{kj}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij}\right)\dot x^i\dot x^j=0$$

両辺に $g^{lk}$ を掛けて和をとると、括弧の部分は (10.1) の $\Gamma^l{}_{ij}$ になる。こうして $\ddot x^l+\Gamma^l{}_{ij}\dot x^i\dot x^j=0$ を得る。式変形はすべて同値変形なので、逆も成り立つ。

被積分関数 $\sqrt w$ の偏微分は、次のとおり定理 10.5 の場合を $\sqrt w$ で割ったものになる。

$$\frac{\partial\sqrt w}{\partial\dot x^k}=\frac{g_{kj}\dot x^j}{\sqrt w},\qquad \frac{\partial\sqrt w}{\partial x^k}=\frac{\partial_kg_{ij}\dot x^i\dot x^j}{2\sqrt w}$$

1つめを時刻で微分すると、分母の $\sqrt w$ を微分した項が1つ増える。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{g_{kj}\dot x^j}{\sqrt w}=\frac{1}{\sqrt w}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(g_{kj}\dot x^j)-\frac{\dot w}{2w}\,g_{kj}\dot x^j\right)$$

残りは定理 10.5 の証明と同じ計算である。Euler–Lagrange 方程式を $\sqrt w$ 倍し、$g^{lk}$ で添字を上げると (10.6) を得る。右辺は $\dot x$ に比例するので、命題 10.4 と比べると、この曲線は測地線を径数 $\phi$ で走り直したものになる。

関数 $1$ と $\sqrt w$ に Cauchy–Schwarz の不等式を使う。

$$\left(\int_a^b1\cdot\sqrt w\,\mathrm{d} t\right)^2\le\int_a^b1^2\,\mathrm{d} t\int_a^b w\,\mathrm{d} t=(b-a)\cdot2E[x]$$

等号は $\sqrt w$ が定数のときに限る。次に、エネルギー汎関数を最小にする曲線を $\gamma$ とし、比べる相手の任意の曲線を $c$ とする。$c$ を速さ一定に走り直した曲線を $\tilde c$ とする。長さは変わらず、等号の場合から次の式が成り立つ。

$$E[\tilde c]=\frac{L[c]^2}{2(b-a)}$$

これを使うと、次の不等式を得る。

$$L[\gamma]^2\le2(b-a)E[\gamma]\le2(b-a)E[\tilde c]=L[c]^2$$

よって $L[\gamma]\le L[c]$ となる。さらに $\gamma$ では途中の不等号がすべて等号になり得るので、$\gamma$ の速さは一定である。