Christoffel 記号

物理のための微分幾何入門　第8章 §8.2　★★★ 座標基底の微分を接線と法線に分けると、接線の側の係数が計量だけで書ける。第9・10章の共変微分と測地線の材料

座標基底の微分を分解する

曲面の各点には3本のベクトル $\bm{r}_1,\bm{r}_2,\bm{n}$ がある。はじめの2本は接平面を張り、$\bm{n}$ は接平面に垂直な単位ベクトルなので、3本は空間の基底になる。これをGauss の標構と呼ぶ（図 8.2）。座標を少し動かしたとき、この基底自身がどう変わるかを調べる。

基底を微分した $\bm{r}_{ij}$ と $\bm{n}_i$ も空間のベクトルなので、同じ基底で展開できる。$\bm{r}_{ij}$ の法線成分は第7章の定義で $h_{ij}$ と名付けた量そのものである。残りの接線成分の係数に名前を付ける。

偏微分の順序は交換できるので $\bm{r}_{ij}=\bm{r}_{ji}$ であり、$\Gamma^k{}_{ij}=\Gamma^k{}_{ji}$ が成り立つ。2次元では $k$ が2通り、対称な組 $(ij)$ が3通りなので、独立な成分は6個ある。

Gauss の標構方程式

法線の微分 $\bm{n}_i$ の展開も求めておく。係数を表すために、$h_{ij}$ の添字を1つ上げた量を次のように定める。

$$h^k{}_i=g^{kl}h_{li}\tag{8.5}$$

これは第7章の Weingarten 写像を座標基底で表した行列である。

証明

第1式は定義 8.5 そのもので、法線成分が $h_{ij}$ になることは (8.4) と $\bm{n}$ の内積をとれば確かめられる。接ベクトルと法線は直交し、法線は単位ベクトルなので、内積の右辺には $h_{ij}$ だけが残るからである。

第2式を示す。単位ベクトルの条件 $\bm{n}\cdot\bm{n}=1$ を微分すると $2\bm{n}_i\cdot\bm{n}=0$ を得る。したがって $\bm{n}_i$ は接平面に入り、$\bm{n}_i=c^k{}_i\bm{r}_k$ と書ける。係数を決めるために、$\bm{n}\cdot\bm{r}_j=0$ を $u^i$ で微分する。

$$\bm{n}_i\cdot\bm{r}_j+\bm{n}\cdot\bm{r}_{ji}=0\quad\Longrightarrow\quad c^k{}_i\,g_{kj}=-h_{ij}$$

両辺に $g^{jl}$ を掛けて和をとる。$g_{kj}g^{jl}=\delta_k^l$ により $c^l{}_i=-g^{lj}h_{ji}=-h^l{}_i$ を得る。

計量からの公式

Christoffel 記号は $\bm{r}_{ij}$ という外の空間のベクトルを使って定義した。ところが次の定理により、実際には第一基本形式だけで決まる。

証明

(8.6) と $\bm{r}_l$ の内積をとると、$\bm{n}\cdot\bm{r}_l=0$ により次の式を得る。

$$\Gamma_{l,ij}\coloneqq\bm{r}_{ij}\cdot\bm{r}_l=\Gamma^k{}_{ij}\,g_{kl}\tag{8.9}$$

$\Gamma_{l,ij}$ は後ろの2つの添字について対称である。

次に $g_{jl}=\bm{r}_j\cdot\bm{r}_l$ を $u^i$ で微分する。

$$\partial_i g_{jl}=\bm{r}_{ij}\cdot\bm{r}_l+\bm{r}_j\cdot\bm{r}_{il}=\Gamma_{l,ij}+\Gamma_{j,il}$$

添字を巡回させた3つの式を作り、1つめと2つめを足して3つめを引く。

$$\begin{aligned} \partial_i g_{jl}+\partial_j g_{il}-\partial_l g_{ij} &=(\Gamma_{l,ij}+\Gamma_{j,il})+(\Gamma_{l,ji}+\Gamma_{i,jl})-(\Gamma_{j,li}+\Gamma_{i,lj})\\ &=2\,\Gamma_{l,ij}. \end{aligned}$$

2行目へは、後ろの2つの添字についての対称性 $\Gamma_{a,bc}=\Gamma_{a,cb}$ を使った。

最後に (8.9) の両辺に $g^{lm}$ を掛けて和をとると、$\Gamma^m{}_{ij}=g^{ml}\Gamma_{l,ij}$ となる。これに上の結果を入れ、$g$ の対称性で添字の順を整えると (8.8) になる。

(8.8) は第11章で一般の次元の計量に対して定義に採る式であり、相対論入門の時空の Christoffel 記号とも同じ形である。曲面の場合は、外の空間での幾何的な意味（接平面への射影の係数）を持つことがここでの要点である。

直交座標系（$F=0$）では $g^{11}=1/E,\ g^{22}=1/G$ となる。このとき公式は次の6本に簡単になる。添字の $u,v$ は偏微分を表す。

$$\begin{aligned} \Gamma^1{}_{11}&=\frac{E_u}{2E}, & \Gamma^1{}_{12}&=\frac{E_v}{2E}, & \Gamma^1{}_{22}&=-\frac{G_u}{2E},\\ \Gamma^2{}_{11}&=-\frac{E_v}{2G}, & \Gamma^2{}_{12}&=\frac{G_u}{2G}, & \Gamma^2{}_{22}&=\frac{G_v}{2G}. \end{aligned}\tag{8.10}$$

たとえば $\Gamma^1{}_{22}$ は、(8.8) で $k=l=1,\ i=j=2$ とおいた次の式から出る。

$$\Gamma^1{}_{22}=\frac12\cdot\frac1E\,(0+0-\partial_1g_{22})=-\frac{G_u}{2E}$$

物理の例：曲面に沿う運動の加速度

質点が曲面の上を動き、時刻 $\tau$ に座標 $u^i(\tau)$ にいるとする。位置は $\bm{r}(u(\tau))$ なので、速度と加速度は連鎖律で次のように書ける。

$$\dot{\bm{r}}=\dot u^i\,\bm{r}_i,\qquad \ddot{\bm{r}}=\ddot u^k\,\bm{r}_k+\dot u^i\dot u^j\,\bm{r}_{ij}$$

第2式に (8.6) を入れると、加速度は接線成分と法線成分に分かれる。

$$\ddot{\bm{r}}=\bigl(\ddot u^k+\Gamma^k{}_{ij}\,\dot u^i\dot u^j\bigr)\bm{r}_k+h_{ij}\,\dot u^i\dot u^j\,\bm{n}\tag{8.11}$$

滑らかな曲面に拘束されて、ほかに力を受けない質点を考える。面からの垂直抗力は $\bm{n}$ の向きなので、運動方程式の接線成分は $\ddot u^k+\Gamma^k{}_{ij}\dot u^i\dot u^j=0$ となる。これは第10章で扱う測地線の方程式である。法線成分は、面が質点を押し返す力 $m\,h_{ij}\dot u^i\dot u^j$ を与える。

平面の極座標 $(r,\theta)$ で見ると、Christoffel 記号の役割がよく分かる。計量 $E=1,\ G=r^2$ から、0 でない成分 $\Gamma^r{}_{\theta\theta}=-r,\ \Gamma^\theta{}_{r\theta}=1/r$ が出る（確認テスト 8.2-2）。(8.11) の接線成分は次のようになる。

$$\ddot r-r\dot\theta^2,\qquad \ddot\theta+\frac{2}{r}\dot r\dot\theta$$

第1式の $-r\dot\theta^2$ は遠心力として知られる項である。第2式に $r$ を掛けると、Coriolis 力として知られる項 $2\dot r\dot\theta$ が現れる。平面の上で Christoffel 記号が 0 にならないのは、空間が曲がっているからではなく、座標が曲がっているからである。

確認テスト

オリジナル

1. 8.2-1 $\Gamma^k{}_{ij}=\Gamma^k{}_{ji}$ となる理由を1行で述べよ。また、平面を直交直線座標で表したときの Christoffel 記号を答えよ。
2. 8.2-2 平面の極座標 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2$ の Christoffel 記号をすべて求めよ。さらに (8.11) の接線成分が $\ddot r-r\dot\theta^2$ と $\ddot\theta+2\dot r\dot\theta/r$ になることを確かめよ。
3. 8.2-3 上半平面 $y>0$ に計量 $\mathrm{d} s^2=(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2)/y^2$ を入れる。この計量の Christoffel 記号をすべて求めよ（この面は第11章で Poincaré 上半平面として扱う）。
4. 8.2-4 曲面上の曲線 $u^i(s)$ が弧長 $s$ で表されているとする。加速度 $\mathrm{d}^2\bm{r}/\mathrm{d} s^2$ の法線成分が $h_{ij}u'^iu'^j$ であることを、標構方程式から示せ。これが第7章の法曲率 $\mathrm{II}/\mathrm{I}$ と一致する理由も述べよ。