Gauss の方程式と Codazzi の方程式

物理のための微分幾何入門　第8章 §8.3　★★★ 3階微分の順序交換から、第一基本形式と第二基本形式が勝手には選べないことを示す。驚異の定理の直接の根拠

両立条件を求める

標構方程式 (8.6)・(8.7) は、$\bm{r}_1,\bm{r}_2,\bm{n}$ についての連立の偏微分方程式とみなせる。係数の $g_{ij}$ と $h_{ij}$ を勝手に与えたとき、この方程式に解があるとは限らない。解があるためには、3階の偏微分が順序によらない条件 $\partial_j\bm{r}_{ki}=\partial_k\bm{r}_{ji}$ が要る。この条件を書き下すと、2つの方程式が出る。

記述を短くするため、Christoffel 記号だけで作った次の量を導入する。

$$R^l{}_{ijk}\coloneqq\partial_j\Gamma^l{}_{ki}-\partial_k\Gamma^l{}_{ji}+\Gamma^l{}_{jm}\Gamma^m{}_{ki}-\Gamma^l{}_{km}\Gamma^m{}_{ji}\tag{8.12}$$

これは第11章で Riemann テンソルとして定義し直す量で、添字の並びと符号は虎の巻の記法（MTW・Carroll と同じ）に合わせてある。第11章の式 (11.3) で添字 $(\rho,\sigma,\mu,\nu)$ を $(l,i,j,k)$ と読み替えると、この式と項ごとに一致する。この章では、Christoffel 記号の組み合わせに付けた名前として扱う。添字を下げた量を $R_{lijk}=g_{lm}R^m{}_{ijk}$ と書く。

証明

(8.6) の $\bm{r}_{ki}=\Gamma^m{}_{ki}\bm{r}_m+h_{ki}\bm{n}$ を $u^j$ で微分する。積の微分で出る $\bm{r}_{jm}$ と $\bm{n}_j$ に、もう一度 (8.6)・(8.7) を入れる。

$$\begin{aligned} \partial_j\bm{r}_{ki} &=\partial_j\Gamma^m{}_{ki}\,\bm{r}_m+\Gamma^m{}_{ki}\bigl(\Gamma^l{}_{jm}\bm{r}_l+h_{jm}\bm{n}\bigr)+\partial_jh_{ki}\,\bm{n}-h_{ki}\,h^l{}_j\,\bm{r}_l\\ &=\bigl(\partial_j\Gamma^l{}_{ki}+\Gamma^l{}_{jm}\Gamma^m{}_{ki}-h_{ki}h^l{}_j\bigr)\bm{r}_l+\bigl(\partial_jh_{ki}+\Gamma^m{}_{ki}h_{jm}\bigr)\bm{n}. \end{aligned}$$

2行目では第1項の和の添字 $m$ を $l$ に付け替えた。

$\partial_k\bm{r}_{ji}$ の展開は、上の式の $j\leftrightarrow k$ の入れ替えで得られる。両者は等しく、$\bm{r}_1,\bm{r}_2,\bm{n}$ は1次独立なので、各成分の差が 0 になる。$\bm{r}_l$ の成分の差は次のとおりである。

$$\partial_j\Gamma^l{}_{ki}-\partial_k\Gamma^l{}_{ji}+\Gamma^l{}_{jm}\Gamma^m{}_{ki}-\Gamma^l{}_{km}\Gamma^m{}_{ji}-h_{ki}h^l{}_j+h_{ji}h^l{}_k=0$$

左の4項は (8.12) の $R^l{}_{ijk}$ なので、これは (8.13) である。$\bm{n}$ の成分の差を書けば (8.14) がそのまま出る。

2次元での形

2次元では $R_{lijk}$ の独立な成分は1個しかない。$R_{lijk}$ は前の2つの添字についても後ろの2つの添字についても反対称であることが第11章 §11.2 の定理 11.6 で示される。2次元で反対称な組は $(12)$ だけなので、0 でない成分はすべて $\pm R_{1212}$ になる。

(8.13) の添字を $g_{lm}$ で下げると、$R_{lijk}=h_{lj}h_{ki}-h_{lk}h_{ji}$ となる。$(l,i,j,k)=(1,2,1,2)$ とおけば次の形を得る。

$$R_{1212}=h_{11}h_{22}-h_{12}^2=LN-M^2\tag{8.15}$$

Codazzi の方程式で独立なのは $(i,j,k)=(1,2,1)$ と $(2,1,2)$ の2本である。とくに直交座標系（$F=0$）が曲率線の方向にそろっている（$M=0$）場合には、(8.10) を使って次の形になる。

$$L_v=\frac{E_v}{2}\Bigl(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\Bigr),\qquad N_u=\frac{G_u}{2}\Bigl(\frac{L}{E}+\frac{N}{G}\Bigr)\tag{8.16}$$

導出を1本示す。$(i,j,k)=(1,2,1)$ の式は次のとおりである。

$$\partial_2h_{11}-\partial_1h_{21}+\Gamma^m{}_{11}h_{2m}-\Gamma^m{}_{21}h_{1m}=0$$

$M=0$ なら、これは $L_v+\Gamma^2{}_{11}N-\Gamma^1{}_{21}L=0$ となる。$\Gamma^2{}_{11}=-E_v/(2G)$ と $\Gamma^1{}_{21}=E_v/(2E)$ を入れれば第1式になる。

Codazzi の方程式の帰結：臍点だけの曲面

Codazzi の方程式の使い方を1つ示す。どの方向の法曲率も等しい点を臍点という。臍点では Weingarten 写像が恒等写像の定数倍になり、$h_{ij}=k\,g_{ij}$ と書ける。

証明

仮定から各点で $h_{ij}=k\,g_{ij}$ となる関数 $k(u,v)$ がある。Codazzi の方程式 (8.14) に代入する。

$$k\bigl(\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ji}+\Gamma^m{}_{ki}g_{jm}-\Gamma^m{}_{ji}g_{km}\bigr)+k_j\,g_{ki}-k_k\,g_{ji}=0$$

括弧の中は、(8.9) の記号で $\Gamma^m{}_{ki}g_{jm}=\Gamma_{j,ki}$ と書けば、次のように 0 になる。

$$(\Gamma_{i,jk}+\Gamma_{k,ji})-(\Gamma_{i,kj}+\Gamma_{j,ki})+\Gamma_{j,ki}-\Gamma_{k,ji}=0$$

したがって $k_j g_{ki}=k_k g_{ji}$ がすべての添字で成り立つ。$(i,j,k)=(1,2,1)$ と $(2,2,1)$ を選ぶと、次の連立方程式になる。

$$g_{11}\,k_2-g_{21}\,k_1=0,\qquad g_{12}\,k_2-g_{22}\,k_1=0$$

未知数 $(k_1,k_2)$ の係数行列の行列式は $-g_{21}g_{12}+g_{11}g_{22}=g>0$ である。行列式が 0 でないので、$k_1=k_2=0$ となる。曲面は連結なので $k$ は定数になる。

Weingarten の公式 (8.7) は $\bm{n}_i=-k\,\delta^l_i\,\bm{r}_l=-k\,\bm{r}_i$ となる。

$k=0$ なら $\bm{n}$ は定数である。さらに $(\bm{r}\cdot\bm{n})_i=\bm{r}_i\cdot\bm{n}=0$ より内積 $\bm{r}\cdot\bm{n}$ も定数なので、曲面は平面の一部である。

$k\ne0$ なら $(\bm{r}+\bm{n}/k)_i=\bm{r}_i-\bm{r}_i=0$ である。したがって点 $\bm{c}=\bm{r}+\bm{n}/k$ は定数である。$\left\vert \bm{r}-\bm{c}\right\vert =\left\vert \bm{n}\right\vert /\left\vert k\right\vert =1/\left\vert k\right\vert$ となるので、曲面は点 $\bm{c}$ を中心とする球面の一部である。

曲面論の基本定理

Gauss の方程式と Codazzi の方程式は、曲面が存在するための必要条件である。実はこれで十分でもあることを、主張と証明の筋だけ書いておく。第6章 §6.3 の曲線論の基本定理（曲率と捩率から曲線が剛体運動を除いて決まる）の曲面版に当たる。

証明の筋は次のとおりである。標構方程式は、9成分の未知関数 $(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\bm{n})$ についての1階の線形偏微分方程式系である。このような系が任意の初期値から解けるための条件は、Frobenius の定理（第13章 §13.5 で主張を述べる）により、偏微分の順序交換の条件と一致する。その条件が Gauss の方程式と Codazzi の方程式なので、初期の標構を1つ選べば解が決まる。

解が求まると、初期の標構の内積がそろっていれば、$\bm{r}_i\cdot\bm{r}_j=g_{ij}$ などの関係は全領域で保たれる。そのうえで $\bm{r}$ を $\bm{r}_i$ の積分として作る。初期の標構の選び方の自由度が回転、積分定数が平行移動であり、合わせて剛体運動の自由度になる。完全な証明は微分幾何の教科書（曲面論の章）に譲る。

確認テスト

オリジナル

1. 8.3-1 2次元の曲面で、Gauss の方程式と Codazzi の方程式はそれぞれ独立な式が何本あるか答えよ。
2. 8.3-2 次の2組の関数（すべて定数）のうち、ある曲面の第一・第二基本形式になりうるのはどちらか。なりうるものは具体的な曲面を挙げ、なりえないものは理由を述べよ。(a) $(E,F,G,L,M,N)=(1,0,1,1,0,0)$、(b) $(E,F,G,L,M,N)=(1,0,1,1,0,1)$。
3. 8.3-3 懸垂面 $\bm{r}(u,v)=(\cosh v\cos u,\ \cosh v\sin u,\ v)$ の第二基本形式を、法線 $\bm{r}_u\times\bm{r}_v/\left\vert \bm{r}_u\times\bm{r}_v\right\vert$ について求めよ。そのうえで Codazzi の方程式 (8.16) を確かめ、$LN-M^2$ を求めよ。第一基本形式は例題 8.1 の結果を使ってよい。
4. 8.3-4 連結な曲面で、すべての点で $h_{ij}=0$ なら、曲面は平面の一部であることを示せ。