曲線論の基本定理

$Q$ は長さを保つので、$\tilde{\bm{r}}'=Q\bm{r}'$ は単位ベクトルである。したがって $s$ は写した曲線の弧長でもある。$\tilde{\bm{T}}=Q\bm{T}$ を微分すると $\tilde{\bm{T}}'=\kappa\,Q\bm{N}$ となる。$Q\bm{N}$ は単位ベクトルなので、曲率は変わらず、主法線は $Q\bm{N}$ である。

従法線は上の恒等式から次になる。

$$\tilde{\bm{B}}=Q\bm{T}\times Q\bm{N}=(\det Q)\,Q\bm{B}.$$

これを微分すると、次の式を得る。

$$\tilde{\bm{B}}'=(\det Q)\,Q\bm{B}'=-(\det Q)\,\tau\,Q\bm{N}=-(\det Q)\,\tau\,\tilde{\bm{N}}.$$

第3式 $\tilde{\bm{B}}'=-\tilde\tau\tilde{\bm{N}}$ と比べて、$\tilde\tau=(\det Q)\,\tau$ を得る。

2つの曲線 $\bm{r},\tilde{\bm{r}}$ が同じ曲率と捩率をもつとし、点 $s_0\in I$ を1つ選ぶ。$s_0$ での2つの Frenet 標構は、どちらも右手系の正規直交基底である。したがって一方を他方へ写す回転 $Q$ がある。

写した曲線の位置が $s_0$ で一致するように、平行移動 $\bm{c}$ を選ぶ。

$$\bm{c}=\bm{r}(s_0)-Q\tilde{\bm{r}}(s_0).$$

$\tilde{\bm{r}}$ を $Q\tilde{\bm{r}}+\bm{c}$ に置き換えても、命題 6.16 により曲率と捩率は変わらない。置き換えたあとは、$s_0$ で位置と標構が一致する。

次の関数を考える。

$$f(s)=\bm{T}\cdot\tilde{\bm{T}}+\bm{N}\cdot\tilde{\bm{N}}+\bm{B}\cdot\tilde{\bm{B}}.$$

両方の曲線に (6.6) を使って微分すると、次になる。

$$\begin{aligned}f'&=\kappa\bm{N}\cdot\tilde{\bm{T}}+\kappa\bm{T}\cdot\tilde{\bm{N}} +(-\kappa\bm{T}+\tau\bm{B})\cdot\tilde{\bm{N}}+\bm{N}\cdot(-\kappa\tilde{\bm{T}}+\tau\tilde{\bm{B}}) -\tau\bm{N}\cdot\tilde{\bm{B}}-\tau\bm{B}\cdot\tilde{\bm{N}}\\ &=0.\end{aligned}$$

6つの項は2つずつ打ち消し合う。

したがって $f$ は定数で、$s_0$ での値は3である。

単位ベクトルどうしの内積は1以下で、等号はベクトルが一致するときに限る。3つの内積の和が3なので、すべての $s$ で2つの標構は一致する。とくに $\bm{T}=\tilde{\bm{T}}$ なので、$\bm{r}-\tilde{\bm{r}}$ は定数である。点 $s_0$ で一致しているので、2つの曲線は等しい。

点 $s_0\in I$ を選ぶ。行列値の未知関数 $E(s)$ について、次の初期値問題を考える。

$$E'(s)=K(s)\,E(s),\qquad E(s_0)=I,\qquad K=\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix}.\tag{6.11}$$

係数が区間上で連続な線形常微分方程式の解は、その区間全体でただ1つ存在する（線形常微分方程式の存在と一意性の定理）。$E$ の3つの行を、$\bm{T}(s),\bm{N}(s),\bm{B}(s)$ と名付ける。

手順1（正規直交性が保たれること）。

行列 $G=EE^{\mathsf T}$ の成分は、3本の行ベクトルどうしの内積である。これを微分すると次になる。

$$G'=E'E^{\mathsf T}+E\,E'^{\mathsf T}=KG+GK^{\mathsf T}=KG-GK.$$

最後の等号で、$K$ が反対称であることを使った。

定数行列 $G\equiv I$ は方程式 $G'=KG-GK$ を満たし、初期値も同じである。これも線形方程式なので、解は1つしかない。

したがってすべての $s$ で $G(s)=I$ であり、3本のベクトルはつねに正規直交である。さらに $\det E$ は $\pm1$ の値をとる連続関数で、初期点で1なので、つねに1である。つまり3本は右手系をなす。

手順2（曲線を作る）。

曲線を次のように定める。

$$\bm{r}(s)=\int_{s_0}^{s}\bm{T}(u)\,\mathrm{d} u.$$

$\bm{r}'=\bm{T}$ は単位ベクトルなので、$s$ は弧長である。$\bm{T}$ はこの曲線の単位接ベクトルである。

手順3（曲率と捩率を確かめる）。

(6.11) の第1行から、$\bm{r}''=\kappa\bm{N}$ である。係数は正で $\bm{N}$ は単位ベクトルなので、曲率は $\kappa$ で、主法線は第2行のベクトルである。右手系なので、$\bm{B}=\bm{T}\times\bm{N}$ が従法線である。第3行 $\bm{B}'=-\tau\bm{N}$ から、捩率は $\tau$ である。