Frenet–Serret の式

第1式は $\bm{N}$ の定義そのものである。

第3式を示す。従法線は単位ベクトルなので、$\bm{B}\cdot\bm{B}=1$ の微分から $\bm{B}'\perp\bm{B}$ を得る。一方、$\bm{B}=\bm{T}\times\bm{N}$ を積の微分で微分すると次になる。

$$\bm{B}'=\bm{T}'\times\bm{N}+\bm{T}\times\bm{N}'=\kappa\,\bm{N}\times\bm{N}+\bm{T}\times\bm{N}'=\bm{T}\times\bm{N}'.$$

右辺の外積は接線と直交するので、$\bm{B}'$ は接線 $\bm{T}$ とも直交する。

接線と従法線の両方に直交するベクトルは、残る主法線 $\bm{N}$ の向きを向く。そこで $\bm{B}'=-\tau\bm{N}$ となる関数がただ1つ決まり、それは $\tau=-\bm{B}'\cdot\bm{N}$ である。

第2式を示す。右手系の正規直交基底では $\bm{N}=\bm{B}\times\bm{T}$ なので、これを微分する。

$$\bm{N}'=\bm{B}'\times\bm{T}+\bm{B}\times\bm{T}'=-\tau\,\bm{N}\times\bm{T}+\kappa\,\bm{B}\times\bm{N}.$$

右手系の関係から、$\bm{N}\times\bm{T}=-\bm{B}$ と $\bm{B}\times\bm{N}=-\bm{T}$ が成り立つ。これを代入すれば第2式 $\bm{N}'=-\kappa\bm{T}+\tau\bm{B}$ を得る。

捩率がつねに 0 だとする。第3式から $\bm{B}'$ は零ベクトルなので、従法線は一定のベクトル $\bm{B}_0$ である。このとき次が成り立つ。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}(\bm{r}\cdot\bm{B}_0)=\bm{T}\cdot\bm{B}_0=0.$$

したがって $\bm{r}\cdot\bm{B}_0$ は定数 $d$ になる。曲線は平面 $\bm{x}\cdot\bm{B}_0=d$ に含まれる。

逆に、曲線が単位法線 $\bm{n}$ の平面に含まれるとする。

$\bm{r}\cdot\bm{n}$ が一定なので、微分すると $\bm{T}\cdot\bm{n}=0$ を得る。もう1回微分して $\kappa\,\bm{N}\cdot\bm{n}=0$ となり、曲率が正なので $\bm{N}\cdot\bm{n}=0$ である。したがって $\bm{B}=\pm\bm{n}$ であり、$\bm{B}$ は連続なので符号は区間全体で一定である。$\bm{B}$ が一定なので、第3式から捩率は 0 である。

速さを $v=\left\vert \bm{r}'\right\vert =\mathrm{d} s/\mathrm{d} t$ と書く。弧長での微分は $t$ での微分を $v$ で割ったものである。したがって $t$ で微分すると、Frenet–Serret の式の右辺に $v$ が掛かる。

$$\frac{\mathrm{d}\bm{T}}{\mathrm{d} t}=v\kappa\bm{N},\qquad \frac{\mathrm{d}\bm{N}}{\mathrm{d} t}=v(-\kappa\bm{T}+\tau\bm{B}).$$

これを使って $\bm{r}'=v\bm{T}$ を2回微分する。

$$\begin{aligned}\bm{r}''&=v'\bm{T}+v^2\kappa\bm{N},\\ \bm{r}'''&=\bigl(v''-v^3\kappa^2\bigr)\bm{T}+\bigl(3vv'\kappa+v^2\kappa_t\bigr)\bm{N}+v^3\kappa\tau\,\bm{B}.\end{aligned}$$

ここで $\kappa_t=\mathrm{d}\kappa/\mathrm{d} t$ である。

外積をとると、$\bm{T}\times\bm{T}$ は消え、$\bm{T}\times\bm{N}=\bm{B}$ が残る。

$$\bm{r}'\times\bm{r}''=v^3\kappa\,\bm{B},\qquad \left\vert \bm{r}'\times\bm{r}''\right\vert =v^3\kappa.$$

これを $v^3$ で割れば、曲率の式を得る。

外積 $\bm{r}'\times\bm{r}''$ は従法線の向きなので、$\bm{r}'''$ との内積には従法線成分だけが残る。

$$(\bm{r}'\times\bm{r}'')\cdot\bm{r}'''=v^3\kappa\cdot v^3\kappa\tau=v^6\kappa^2\tau.$$

これを $\left\vert \bm{r}'\times\bm{r}''\right\vert ^2=v^6\kappa^2$ で割れば、捩率の式になる。

右手系の関係を使って、右辺を1つずつ計算する。

$$\begin{aligned}\bm{\omega}\times\bm{T}&=\kappa\,\bm{B}\times\bm{T}=\kappa\bm{N},\\ \bm{\omega}\times\bm{N}&=\tau\,\bm{T}\times\bm{N}+\kappa\,\bm{B}\times\bm{N}=\tau\bm{B}-\kappa\bm{T},\\ \bm{\omega}\times\bm{B}&=\tau\,\bm{T}\times\bm{B}=-\tau\bm{N}.\end{aligned}$$

これは (6.6) の3式と一致する。