弧長と曲率

物理のための微分幾何入門　第6章 §6.1　★★★ 弧長で測った向きの変化率が曲率。媒介変数表示の公式と接触円はあとの全節で使う

この章では、平面や空間の中の曲線がどれだけ曲がり、どれだけねじれているかを測る量を作る。曲がり方は曲率 $\kappa$、ねじれ方は捩率 $\tau$ という弧長の関数で表される。さらに、この2つの関数を与えると曲線の形が位置と向きの違いを除いて1つに決まる（曲線論の基本定理）。

使う道具は2つある。1つは第1章 §1.1 の逆関数定理で、弧長を新しいパラメータに取り替えるときに使う。もう1つは第5章 §5.1 の線素で、ここでは $\mathbb{R}^3$ の Euclid 計量 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2$ だけを使う。

この章の結果は、あとの章で次のように使われる。第7章 §7.2 では、曲面の上の曲線の曲率ベクトル $\kappa\bm{N}$ を、曲面の法線方向と接平面の方向に分けて法曲率を定める。接平面の方向の成分は測地的曲率と呼ばれ、それが 0 の曲線が第10章の測地線である。最後の §6.4 では、質点の加速度・一様磁場中の荷電粒子・コイルばね・道路の緩和曲線を、曲率と捩率の言葉で読む。

正則曲線と弧長

正則という条件は、曲線の上を動く点が途中で止まらないことを表す。止まる点では進む向きが定まらないので、向きの変化率である曲率も定義することができない。たとえば $\bm{r}(t)=(t^2,t^3)$ は $t=0$ で速度が零ベクトルになり、像は原点で尖っている。この章の曲線は、断らない限りすべて正則とする。

被積分関数 $\left\vert \bm{r}'\right\vert$ は速さである。短い時間 $\mathrm{d} t$ に進む距離は、速さに $\mathrm{d} t$ を掛けたものになる。第5章 §5.1 の線素で書けば $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d}\bm{r}\cdot\mathrm{d}\bm{r}$ であり、(6.1) はこの $\mathrm{d} s$ を足し合わせたものである。

パラメータを $t=h(u)$（ただし $h'>0$）と取り替えても、置換積分により弧長は変わらない。したがって弧長は、曲線の像とたどる向きだけで決まる量である。

証明

微分積分学の基本定理から $s'(t)=\left\vert \bm{r}'(t)\right\vert$ であり、正則性によってこれは正である。したがって $s$ は狭義単調増加で、その導関数は 0 にならない。

第1章 §1.1 の逆関数定理（1変数の場合）から、逆関数 $t=t(s)$ が存在して滑らかである。その導関数は $\mathrm{d} t/\mathrm{d} s=1/\left\vert \bm{r}'\right\vert$ である。連鎖律によって次を得る。

$$\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d} s}=\bm{r}'(t)\,\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} s}=\frac{\bm{r}'(t)}{\left\vert \bm{r}'(t)\right\vert }.$$

右辺は長さ1のベクトルである。

弧長で表した曲線では、$\mathrm{d}\bm{r}/\mathrm{d} s$ を単位接ベクトルと呼び、$\bm{T}$ と書く。§6.1 から §6.3 では、弧長 $s$ による微分をプライムで書く（$\bm{T}'$ など）。それ以外のパラメータ $t$ で微分するときは、そのつど断る。§6.4 の物理の節では、時刻 $t$ による微分をドットで書く。

曲率

$\bm{T}$ は長さが1なので、変わりうるのは向きだけである。$\bm{T}\cdot\bm{T}=1$ を $s$ で微分すると次になる。

$$2\,\bm{T}\cdot\bm{T}'=0.$$

したがって $\bm{T}'$ はつねに $\bm{T}$ と直交する。$\bm{T}'$ は「単位長さ進むあいだに向きがどれだけ回るか」を表すので、次の定義が自然である。

直線 $\bm{r}(s)=\bm{a}+s\bm{u}$ では、単位ベクトル $\bm{u}$ が一定なので曲率は 0 である。半径 $R$ の円は、弧長を使って次のように表される。

$$\bm{r}(s)=R\Bigl(\cos\frac sR,\,\sin\frac sR\Bigr),\qquad \bm{T}=\Bigl(-\sin\frac sR,\,\cos\frac sR\Bigr).$$

もう1回微分すると $\left\vert \bm{T}'\right\vert =1/R$ を得る。小さい円ほど同じ距離で向きが大きく回るので、曲率が大きい。

平面曲線の符号つき曲率

平面曲線では、曲がる向きが左か右かも区別することができる。$\bm{T}$ を反時計回りに直角だけ回したベクトルを $\bm{N}_{\mathrm s}$ と書く。

$$\bm{T}=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \bm{N}_{\mathrm s}=(-\sin\theta,\cos\theta).$$

ここで $\theta(s)$ は、単位接ベクトルが $x$ 軸となす角である。この角は、$2\pi$ の整数倍の違いを除いて $s$ の連続関数に選ぶことができる。

$\bm{T}$ を微分すると次になる。

$$\bm{T}'=\theta'(-\sin\theta,\cos\theta)=\theta'\,\bm{N}_{\mathrm s}.$$

係数 $\theta'$ は、進む向きの角度が弧長あたりどれだけ増えるかを表す。

$\kappa_{\mathrm s}>0$ は進行方向の左へ曲がること、$\kappa_{\mathrm s}<0$ は右へ曲がることを表す。反時計回りの半径 $R$ の円では $\kappa_{\mathrm s}=1/R$ である。時計回りにたどると、符号が反転して $-1/R$ になる。

一般に曲線をたどる向きを逆にすると、$\bm{T}$ と $\bm{N}_{\mathrm s}$ がともに反転する。したがって符号つき曲率の符号も反転する。

媒介変数表示の公式

実際の曲線は弧長以外のパラメータで与えられることが多い。弧長に取り直さずに曲率を計算する公式を導いておく。

証明

速さを $v=\sqrt{x'^2+y'^2}$ と書く。$\bm{T}=\bm{r}'/v$ から次が成り立つ。

$$\cos\theta=\frac{x'}{v},\qquad \sin\theta=\frac{y'}{v}.$$

$x'\neq0$ の点では $\tan\theta=y'/x'$ である。角を $t$ で微分したものを $\theta_t$ と書く。両辺を $t$ で微分すると、次の2式を得る。

$$\frac{\theta_t}{\cos^2\theta}=\frac{v^2}{x'^2}\,\theta_t,\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{y'}{x'}=\frac{x'y''-x''y'}{x'^2}.$$

左の式と右の式が等しいので、$\theta_t=(x'y''-x''y')/v^2$ を得る。

$x'=0$ の点では $y'\neq0$ である。そこでは $\cot\theta=x'/y'$ を同じように微分すれば、同じ式を得る。最後に連鎖律 $\kappa_{\mathrm s}=\theta_t/v$ を使えば (6.2) になる。

証明

グラフを $\bm{r}(x)=(x,f(x))$ と表す。(6.2) で $x'=1$ と $x''=0$ を代入すればよい。

接線が水平な点では $f'=0$ なので、曲率は2階導関数 $f''$ に等しい。傾きがある点では、分母があるので曲率は $f''$ より小さい。グラフの $x$ 方向に進む量より、曲線に沿って進む量のほうが長いことがこの差の理由である。

接触円

曲線にある点で一番よく接する円を考える。接線が一致する円は無数にあるが、曲がり方まで一致させると1つに決まる。

証明

関係式 $\bm{r}'=\bm{T},\ \bm{T}'=\kappa_{\mathrm s}\bm{N}_{\mathrm s}$ を使って、$F$ を2回微分する。

$$F'=2(\bm{r}-\bm{c})\cdot\bm{T},\qquad F''=2\bm{T}\cdot\bm{T}+2\kappa_{\mathrm s}(\bm{r}-\bm{c})\cdot\bm{N}_{\mathrm s}=2+2\kappa_{\mathrm s}(\bm{r}-\bm{c})\cdot\bm{N}_{\mathrm s}.$$

条件 $F'(s_0)=0$ は、ベクトル $\bm{c}-\bm{r}(s_0)$ が接線と直交することを表す。つまり、ある実数 $\lambda$ を使って次のように表される。

$$\bm{c}=\bm{r}(s_0)+\lambda\,\bm{N}_{\mathrm s}(s_0).$$

これを $F''(s_0)=0$ に入れると、$2-2\kappa_{\mathrm s}\lambda=0$ となる。したがって $\lambda=1/\kappa_{\mathrm s}(s_0)$ に決まる。

最後に、条件 $F(s_0)=0$ から半径は $\rho=\left\vert \lambda\right\vert$ である。3つの条件で中心の2成分と半径が1通りに決まり、それは (6.4) の接触円である。Taylor 展開で 0 次から2次までの係数が消えるので、$F$ は $(s-s_0)^3$ の大きさである。

接触円の半径は曲率半径そのものであり、曲率中心は曲がる側にある。図 6.1 は、放物線 $y=x^2/2$ の2点で接触円を描いたものである。頂点では曲率も接触円の半径も1である。もう1つの点では曲率が $2^{-3/2}$ なので、半径は $2\sqrt2$ になる。

確認テスト

オリジナル

1. 6.1-1 平面曲線をたどる向きを逆にする（$t\mapsto-t$）。曲率 $\kappa$ と符号つき曲率はそれぞれどう変わるか。

2. 6.1-2 サイクロイド $\bm{r}(t)=a(t-\sin t,\,1-\cos t)$ を考える（$a>0$）。1つのアーチ $0\le t\le2\pi$ の弧長を求めよ。さらに $0<t<2\pi$ での符号つき曲率を求め、アーチの頂上 $t=\pi$ での曲率半径を求めよ。

3. 6.1-3 懸垂線 $y=\cosh x$ の符号つき曲率を $x$ の関数で求めよ。また $x=0$ の点での接触円の中心と半径を求めよ。

4. 6.1-4 弧長で表した平面曲線について、次の2つを示せ。

   1. 区間上で $\kappa_{\mathrm s}\equiv0$ なら、曲線は線分である。
   2. 区間上で符号つき曲率が 0 でない定数 $c$ に等しいなら、曲線は半径 $1/\left\vert c\right\vert$ の円弧である。