確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第5章 §5.7

1. 5.1-1 Riemann 計量ではない。ベクトル $v=(1,-1)$ を入れると、次のように負になる。

$$g(v,v)=1\cdot1+2\cdot2\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1=-2<0$$

したがって正定値でない。行列の固有値は $3$ と $-1$ で、符号の異なる固有値を持つ。行列式は $-3$ で0でないので非退化ではあり、擬 Riemann 計量にはなっている。2. 5.1-2 埋め込みのヤコビ行列の列は、次の3つである。

$$(\cos\phi,\ \sin\phi,\ 0),\qquad (-\rho\sin\phi,\ \rho\cos\phi,\ 0),\qquad (0,\ 0,\ 1)$$

列どうしの内積から

$$\mathrm{d} s^2=\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\phi^2+\mathrm{d} z^2,\qquad \sqrt g=\rho$$

を得る。体積は次のとおりである。

$$\int_0^h\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d} z=\tfrac12R^2\cdot2\pi\cdot h=\pi R^2h$$ 3. 5.1-3 角をパラメータにとると、速度の成分は $(\dot r,\dot\theta)=(\mathrm{e}^\theta,1)$ である。

$$g_{ij}\dot x^i\dot x^j=\mathrm{e}^{2\theta}+r^2\cdot1=2\mathrm{e}^{2\theta}$$

なので、長さは次のとおりである。

$$L=\int_0^{2\pi}\sqrt2\,\mathrm{e}^\theta\,\mathrm{d}\theta=\sqrt2\,(\mathrm{e}^{2\pi}-1)\approx755.9$$

速度と $\partial_r$ の内積は $g_{rr}\dot r=\mathrm{e}^\theta$ で、動径方向の基底の長さは1である。(5.5) から $\cos\varphi=\mathrm{e}^\theta/(\sqrt2\,\mathrm{e}^\theta)=1/\sqrt2$ となる。どの点でも、なす角は $45^\circ$ である。4. 5.1-4 (5.3) の行列式をとると $\det g'=(\det J)^2\det g$ である。座標変換では $J$ は正則なので、$(\det J)^2$ は正になる。したがって、2つの行列式の符号は等しい。 Minkowski 計量では $\det\eta=1\cdot(-1)^3=-1$ で、どの座標でも行列式は負である。負の数の平方根は実数にならないので、体積要素には $\sqrt{-g}=\sqrt{\left\vert g\right\vert }$ を使う。Riemann 計量では行列式が正なので、絶対値を付けても付けなくても同じである。5. 5.2-1 下げた1形式の成分は $g_{r\theta}=0$ と $g_{\theta\theta}=r^2$ である。したがって $(\partial_\theta)^\flat=r^2\,\mathrm{d}\theta$ となる。6. 5.2-2 逆計量は $g^{\theta\theta}=a^{-2}$ で、$\mathrm{d} f=-\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$ である。勾配の成分は次のとおりである。

$$(\operatorname{grad}f)^\theta=-\frac{\sin\theta}{a^2},\qquad (\operatorname{grad}f)^\varphi=0$$

長さは $\sqrt{g_{\theta\theta}}\,\left\vert (\operatorname{grad}f)^\theta\right\vert =\sin\theta/a$ になる。最大値 $1/a$ は、赤道（緯度 $0^\circ$）でとる。$\cos\theta=z/a$ は高さに比例するので、赤道で高さが最も速く変わることと合う。7. 5.2-3 計量の成分は $g_{11}=g_{22}=1,\ g_{12}=1/2$ で、上付きの成分は $v^1=v^2=1$ である。

$$v_1=g_{11}v^1+g_{12}v^2=\tfrac32,\qquad v_2=g_{21}v^1+g_{22}v^2=\tfrac32$$

縮約は $v_iv^i=\tfrac32+\tfrac32=3$ なので、長さは $\sqrt3$ である。

直交座標では $\bm{a}_1+\bm{a}_2=(1+\tfrac12,\ \tfrac{\sqrt3}{2})$ である。長さの2乗は $\tfrac94+\tfrac34=3$ で、長さ $\sqrt3$ と一致する。8. 5.2-4 逆行列の関係 (5.9) から $g^{ij}g_{jk}=\delta^i{}_k$ である。したがって $g^{ij}(g_{jk}v^k)=\delta^i{}_kv^k=v^i$ となる。内積は (5.1) から $g(v,w)=g_{ij}v^iw^j$ である。$g_{ij}v^i=v_j$ とまとめると、$g(v,w)=v_jw^j$ になる。さらに $w^j=g^{jk}w_k$ を代入すると、$g(v,w)=g^{jk}v_jw_k$ を得る。9. 5.3-1 長さは $\left\Vert \partial_\theta\right\Vert =\sqrt{g_{\theta\theta}}=r=3$ である。$\partial_\theta=r\,\hat{\bm{e}}_\theta$ なので、正規直交枠での成分は $v_{\hat\theta}=h_\theta v^\theta=3$ である。10. 5.3-2 $\sqrt g=\rho$ で、逆計量は $\mathrm{diag}(1,\rho^{-2},1)$ である。(5.13) に入れると、次の式になる。

$$\nabla^2f=\frac1\rho\frac{\partial }{\partial \rho}\Bigl(\rho\frac{\partial f}{\partial \rho}\Bigr)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$$

$f=\rho^m\cos m\phi$ では、$\rho\,\partial_\rho f=m\rho^m\cos m\phi$ である。第1項は $\rho^{-1}\partial_\rho(m\rho^m\cos m\phi)=m^2\rho^{m-2}\cos m\phi$ になる。第2項は $-m^2\rho^{m-2}\cos m\phi$ で、第3項は0である。合計は0になる。11. 5.3-3 球座標では $\sqrt g=r^2\sin\theta$ である。$V$ の成分は $V^r=1$ なので、(5.12) から

$$\operatorname{div}V=\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial }{\partial r}\bigl(r^2\sin\theta\bigr)=\frac2r$$

となる。$W$ では、$\sqrt g\,W^r=\sin\theta$ が動径によらない。したがって発散は0である。

半径 $r$ の球面を通る $W$ の流束は、(5.11) を球面で積分して次のようになる。

$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sqrt g\,W^r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=4\pi$$

流束は半径によらないので、2つの球面ではさまれた殻から出る流束の合計は0である。殻をいくら薄くしても同じなので、殻の中で発散は0である。12. 5.3-4 計量は $\mathrm{diag}(h^2,h^2)$ なので、$\sqrt g=h^2$ である。逆計量は $\mathrm{diag}(h^{-2},h^{-2})$ で、$\sqrt g\,g^{ij}$ は単位行列になる。(5.13) は

$$\Delta f=\frac{1}{h^2}\bigl(\partial_u^2f+\partial_w^2f\bigr)$$

となる。

対数極座標では $r=\mathrm{e}^u$ で、$\mathrm{d} r=\mathrm{e}^u\mathrm{d} u$ である。

$$\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2=\mathrm{e}^{2u}\bigl(\mathrm{d} u^2+\mathrm{d} w^2\bigr)$$

なので $h=\mathrm{e}^u$ となり、ラプラシアンは $\mathrm{e}^{-2u}(\partial_u^2+\partial_w^2)$ である。13. 5.4-1 $v=(1,1,0,0)$ をとると、$\eta(v,v)=1-1=0$ である。0でないベクトルで値が0になるので、計量は正定値でない。$(0,1,0,0)$ では値が $-1$ になることからも示せる。14. 5.4-2 位置とその偏微分は次のとおりである。

$$\bm{x}=(\rho\cos\phi,\ \rho\sin\phi,\ k\rho),\qquad \frac{\partial \bm{x}}{\partial \rho}=(\cos\phi,\ \sin\phi,\ k),\qquad \frac{\partial \bm{x}}{\partial \phi}=(-\rho\sin\phi,\ \rho\cos\phi,\ 0)$$

(5.16) から

$$g_{\rho\rho}=m(1+k^2),\qquad g_{\phi\phi}=m\rho^2,\qquad g_{\rho\phi}=0$$

を得る。運動エネルギーは $\tfrac12m\bigl((1+k^2)\dot\rho^2+\rho^2\dot\phi^2\bigr)$ で、$\sqrt g=m\rho\sqrt{1+k^2}$ である。15. 5.4-3 (5.18) で質量の比は $m_2/(m_1+m_2)=1/4$ なので、$\cos\varphi=\tfrac12\cos\Delta$ である。なす角が最小になるのは、余弦が最大になる $\Delta=0$ のときである。そのとき $\cos\varphi=1/2$ なので、最小値は $60^\circ$ である。 $m_2\ll m_1$ では、根号の因子 $\sqrt{m_2/(m_1+m_2)}$ が0に近づく。そのため、どの $\Delta$ でも $\cos\varphi$ は0に近い。運動エネルギーの大部分は上の質点が担い、上の質点は $\theta_1$ だけで動く。2つの座標の動きを結ぶのは軽い $m_2$ だけになるので、交差項が小さくなる。16. 5.4-4 逆に解くと $ct=(u+w)/2,\ x=(w-u)/2$ である。

$$c^2\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} x^2=\tfrac14(\mathrm{d} u+\mathrm{d} w)^2-\tfrac14(\mathrm{d} w-\mathrm{d} u)^2=\mathrm{d} u\,\mathrm{d} w$$

となる。

$\mathrm{d} u\,\mathrm{d} w$ を対称な形 $\tfrac12(\mathrm{d} u\,\mathrm{d} w+\mathrm{d} w\,\mathrm{d} u)$ に直すと、成分が読める。

$$g_{uu}=g_{ww}=0,\qquad g_{uw}=g_{wu}=\tfrac12$$

したがって2つの座標基底は、どちらも長さの2乗が0で光的である。内積は $\eta(\partial_u,\partial_w)=g_{uw}=1/2$ である。座標基底が直交しないだけでなく、長さ0のベクトルにもなり得る例である。17. 5.5-1 $q$ は長さの次元を持ち、$p$ は運動量の次元を持つので、2つの2乗を足しても物理の意味を持たない。18. 5.5-2 変換後の変位は $\Delta x'=3-2\cdot1=1\,\mathrm{m}$ と $\Delta t'=1\,\mathrm{s}$ である。紙の上の長さは、変換前が $\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ で、変換後が $\sqrt{1+1}=\sqrt2$ である。時間差は1 s のまま変わらない。定理 5.14 のとおり、不変なのは $\mathrm{d} t^2$ だけである。19. 5.5-3 2点の像は、原点と点 $(\lambda,0)$ である。したがって Euclid 距離は1から $\lambda$ になる。単位正方形の像は、$0\le Q\le\lambda,\ 0\le P\le1/\lambda$ の長方形である。その面積は $\lambda\cdot\lambda^{-1}=1$ である。ヤコビ行列 $\mathrm{diag}(\lambda,1/\lambda)$ の行列式が1なので、どんな領域の面積も保たれる。これは $\mathrm{d} P\wedge\mathrm{d} Q=\mathrm{d} p\wedge\mathrm{d} q$ の言い換えである。20. 5.5-4 新しい単位で測った値を $\tilde p=p/a,\ \tilde V=V/b$ とする。1つの曲線の傾きは $\mathrm{d}\tilde p/\mathrm{d}\tilde V=(b/a)\,\mathrm{d} p/\mathrm{d} V$ となる。どの曲線にも同じ因子が掛かるので、傾きの比は変わらない。

紙の上の傾きを $s_1,\ s_2$ とすると、2本の線のなす角 $\psi$ は次の式で決まる。

$$\tan\psi=\frac{s_1-s_2}{1+s_1s_2}$$

単位の取り替えで2つの傾きが $k=b/a$ 倍になると、右辺は次のように変わる。

$$\tan\psi\ \longrightarrow\ \frac{k(s_1-s_2)}{1+k^2s_1s_2}$$

傾きが異なり、どちらも0でなければ、$k\neq1$ でこの値は一般に元の値と異なる。