第二基本形式と法曲率

物理のための微分幾何入門　第7章 §7.2　★★ 曲面の曲がりは接平面からの高さの2次の項に現れる。曲面上の曲線の法曲率はその接線方向だけで決まる

接平面からの離れ方

第一基本形式は曲面の上の長さを測るが、曲面がどう曲がっているかは測らない。平面と円柱は、どちらも適当な座標で $\mathrm I=\mathrm{d} u^2+\mathrm{d} v^2$ となる（確認テスト 7.2-1）。それでも円柱は曲がって見えるので、曲がりを測る別の量が要る。

点 $\bm{r}(u,v)$ から少し動いた点 $\bm{r}(u+\mathrm{d} u,v+\mathrm{d} v)$ が接平面からどれだけ離れるかを調べる。Taylor 展開すると

$$\bm{r}(u+\mathrm{d} u,v+\mathrm{d} v)-\bm{r}(u,v)=\bm{r}_u\mathrm{d} u+\bm{r}_v\mathrm{d} v+\tfrac12\bigl(\bm{r}_{uu}\mathrm{d} u^2+2\bm{r}_{uv}\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v+\bm{r}_{vv}\mathrm{d} v^2\bigr)+\cdots$$

となる。1次の項は接平面に入るので、単位法線との内積をとると2次の項だけが残る。

この定義により、接平面から法線の向きに測った高さは

$$\bigl(\bm{r}(u+\mathrm{d} u,v+\mathrm{d} v)-\bm{r}(u,v)\bigr)\cdot\bm{n}=\tfrac12\,\mathrm{II}+\mathcal{O}(\left\vert \mathrm{d} u\right\vert ^3+\left\vert \mathrm{d} v\right\vert ^3)\tag{7.11}$$

となる。平面では $\bm{r}$ が1次式なので $\mathrm{II}=0$ である。円柱では、後の例題で見るように $\mathrm{II}\neq0$ になる。

係数には法線の微分を使う表し方もある。恒等式 $\bm{r}_u\cdot\bm{n}=0$ を $u$ で微分すると

$$\bm{r}_{uu}\cdot\bm{n}+\bm{r}_u\cdot\bm{n}_u=0$$

になる。同じ操作を繰り返すと

$$L=-\bm{r}_u\cdot\bm{n}_u,\qquad M=-\bm{r}_u\cdot\bm{n}_v=-\bm{r}_v\cdot\bm{n}_u,\qquad N=-\bm{r}_v\cdot\bm{n}_v\tag{7.12}$$

を得る。$M$ の2つの表し方が等しいことは、$\bm{r}_{uv}=\bm{r}_{vu}$ から従う。

法線の向きを反転すると $L,M,N$ はすべて符号を変える。第一基本形式は法線によらないので、2つの基本形式は性格の違う量である。

法曲率と Meusnier の定理

曲面の上の曲線 $\bm{\gamma}(s)$ を弧長で表し、単位接ベクトルを $\bm{t}$ とする。曲線は曲面から離れないので、$\bm{t}$ は常に接平面に入る。その結果、曲線の加速度 $\kappa\bm{e}$ の法線成分は曲面の形で決まる。

証明

曲線を $\bm{\gamma}(s)=\bm{r}(u(s),v(s))$ と書き、曲線に沿った法線を $\bm{n}(s)=\bm{n}(u(s),v(s))$ とする。$\bm{t}\cdot\bm{n}=0$ が曲線に沿って恒等的に成り立つので、$s$ で微分すると

$$\frac{d \bm{t}}{d s}\cdot\bm{n}+\bm{t}\cdot\frac{d \bm{n}}{d s}=0$$

である。第1項は (7.1) により $\kappa\,\bm{e}\cdot\bm{n}$ に等しい。

第2項を計算する。$'$ で $\mathrm{d}/\mathrm{d} s$ を表す。$\bm{t}=u'\bm{r}_u+v'\bm{r}_v$ と $\mathrm{d}\bm{n}/\mathrm{d} s=u'\bm{n}_u+v'\bm{n}_v$ を代入すると

$$\bm{t}\cdot\frac{d \bm{n}}{d s}=u'^2\,\bm{r}_u\cdot\bm{n}_u+u'v'(\bm{r}_u\cdot\bm{n}_v+\bm{r}_v\cdot\bm{n}_u)+v'^2\,\bm{r}_v\cdot\bm{n}_v =-(Lu'^2+2Mu'v'+Nv'^2)$$

となる。最後の等号には (7.12) を使った。弧長で表しているので $\mathrm I(\bm{t},\bm{t})=1$ であり、右辺の括弧は $\kappa_n(\bm{t})$ に等しい。2つを合わせると (7.14) が得られる。

接線 $\bm{t}$ と法線 $\bm{n}$ を含む平面で曲面を切った切り口を法断面と呼ぶ。法断面では主法線 $\bm{e}$ が $\pm\bm{n}$ に一致する。そのため法断面の曲率は $\kappa=\left\vert \kappa_n(\bm{t})\right\vert$ である。すなわち法曲率は、法断面の曲率に、曲面が $\bm{n}$ の側へ曲がるか反対側へ曲がるかの符号をつけたものである。

同じ接線を持つ斜めの切り口では、$\cos\theta$ が小さいほど曲率 $\kappa$ が大きい。曲率半径で言い換えると $1/\kappa=\cos\theta/\left\vert \kappa_n\right\vert$ なので、斜めの切り口の曲率中心は、法断面の曲率中心と点 $p$ を直径の両端とする円の上に並ぶ。これは Thales の定理で直径に対する円周角が直角になることと同じである。図 7.2 にこの配置を示す。

主方向と Euler の公式

法曲率 (7.13) は、2つの対称な2次形式の比である。分母の $\mathrm I$ は正定値なので、線形代数の同時対角化が使える。

証明

接平面の内積 $\mathrm I$ を使い、第二基本形式に対応する線形写像 $S$ を

$$\mathrm I(SX,Y)=\mathrm{II}(X,Y)\qquad(\text{すべての }Y)$$

で定める。内積 $\mathrm I$ が非退化なので、$S$ はただ1つに決まる。$\mathrm{II}$ の対称性から $\mathrm I(SX,Y)=\mathrm I(X,SY)$ が成り立つ。すなわち $S$ は内積 $\mathrm I$ について対称な写像である。

内積空間の対称写像は正規直交な固有基底を持つ（スペクトル定理）。その固有基底を $\bm{e}_1,\bm{e}_2$、固有値を $\kappa_1\ge\kappa_2$ とすれば

$$\mathrm{II}(\bm{e}_i,\bm{e}_j)=\mathrm I(S\bm{e}_i,\bm{e}_j)=\kappa_i\,\delta_{ij}$$

となる。単位ベクトル $X=\cos\varphi\,\bm{e}_1+\sin\varphi\,\bm{e}_2$ では $\mathrm I(X,X)=1$ である。したがって $\mathrm{II}(X,X)$ を展開すると (7.15) が得られる。

(7.15) は $\kappa_2+(\kappa_1-\kappa_2)\cos^2\varphi$ と書き直せる。$\cos^2\varphi$ の係数は0以上である。したがって法曲率は $\varphi=0$ で最大値 $\kappa_1$ をとる。同様に、$\varphi=\pi/2$ で最小値 $\kappa_2$ をとる。

主方向を座標軸にとると、高さの式 (7.11) は

$$z\simeq\tfrac12\bigl(\kappa_1x^2+\kappa_2y^2\bigr)\tag{7.16}$$

となる。ここで $x,y$ は接平面の正規直交座標、$z$ は法線方向の高さである。したがって曲面は、点の近くでは2つの主曲率を持つ2次曲面で近似される。

確認テスト

オリジナル

1. 7.2-1 円柱の座標を $\tilde u=au,\ \tilde v=v$ に取り替える。このとき $\mathrm I=\mathrm{d}\tilde u^2+\mathrm{d}\tilde v^2$ になることを確かめよ。平面と円柱の違いが第二基本形式に現れることを、例題 7.2 の結果を使って1行で述べよ。
2. 7.2-2 半径 $R$ の球面を $\bm{r}=R(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ で表し、法線を中心に向かう向きにとる。$L,M,N$ を求め、すべての方向の法曲率が $1/R$ であること（全点が臍点であること）を示せ。
3. 7.2-3 7.2-2 の球面の緯線 $\theta=\theta_0$（$0<\theta_0<\pi$）を考える。緯線の曲率と、その主法線が球面の法線となす角を求め、Meusnier の定理を確かめよ。
4. 7.2-4 曲面 $z=\frac12(x^2-y^2)$ を $(u,v)=(x,y)$ で表し、法線を上向きにとる。原点での第二基本形式を求めよ。$x$ 軸から角 $\varphi$ の方向の法曲率を求め、法曲率が0になる方向をすべて答えよ。
5. 7.2-5 恒等式 $\bm{r}_u\cdot\bm{n}=0,\quad \bm{r}_v\cdot\bm{n}=0$ から (7.12) を導け。