主曲率・Gauss 曲率・平均曲率

2026年10月22日11分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第7章曲面の幾何

Weingarten 写像
Gauss 曲率と平均曲率
Gauss 写像と面積比
確認テスト
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

物理のための微分幾何入門　第7章 §7.3　★★★ Weingarten 写像の行列式が Gauss 曲率、跡の半分が平均曲率。Gauss 曲率は法線の像の面積比でもある

Weingarten 写像

Euler の公式の証明に出てきた写像 $S$ は、法線の微分で直接書ける。単位法線は長さ1なので、 $\bm{n}\cdot\bm{n}=1$ を微分すると $\bm{n}_u\cdot\bm{n}=\bm{n}_v\cdot\bm{n}=0$ になる。つまり $\bm{n}_u$ と $\bm{n}_v$ は接平面に入る。

定義 7.11（Weingarten 写像）

接平面のベクトル $X=a\bm{r}_u+b\bm{r}_v$ に対して

$S(X)=-(a\,\bm{n}_u+b\,\bm{n}_v)\tag{7.17}$

と定める。 $S$ は $X$ の方向に動いたときの法線の変化に負号をつけたもので、接平面から接平面への線形写像である。これをWeingarten 写像（形作用素）と呼ぶ。

命題 7.12（Weingarten 写像の行列）

すべての接ベクトル $X,Y$ について $\mathrm I(S X,Y)=\mathrm{II}(X,Y)$ が成り立つ。座標基底 $\bm{r}_u,\bm{r}_v$ に関する Weingarten 写像の行列を $W$ とすると

$W=g^{-1}h=\frac{1}{EG-F^2}\begin{pmatrix}G&-F\\-F&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}\tag{7.18}$

である。

証明

(7.12) により

$\mathrm I(S\bm{r}_u,\bm{r}_u)=-\bm{n}_u\cdot\bm{r}_u=L,\qquad \mathrm I(S\bm{r}_u,\bm{r}_v)=-\bm{n}_u\cdot\bm{r}_v=M$

であり、 $S\bm{r}_v$ についても同様に $M,N$ が出る。両辺とも $X,Y$ について双線形なので、基底で一致すればすべての $X,Y$ で一致する。

次に $S\bm{r}_i=W^k{}_i\bm{r}_k$ と書く（ $\bm{r}_1=\bm{r}_u,\quad \bm{r}_2=\bm{r}_v$ ）。 $\bm{r}_j$ との内積をとると、いま示した式から

$W^k{}_i\,g_{kj}=h_{ij}$

となる。行列で書けば $gW=h$ であり、両辺に左から $g^{-1}$ を掛けて (7.18) を得る。

命題により、 $S$ は Euler の公式の証明に使った写像と同じものである。したがって $S$ の固有値が主曲率 $\kappa_1,\kappa_2$ 、固有ベクトルが主方向になる。 $S$ は内積 $\mathrm I$ について対称なので、固有値は実数で、主曲率が異なれば主方向は直交する。

Gauss 曲率と平均曲率

定義 7.13（Gauss 曲率と平均曲率）

Weingarten 写像の行列式と跡の半分を

$K=\det S=\kappa_1\kappa_2,\qquad H=\tfrac12\operatorname{tr}S=\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)\tag{7.19}$

と書き、 $K$ をGauss 曲率、 $H$ を平均曲率と呼ぶ。

命題 7.14（基本形式の係数による表示）

$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},\qquad H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}.\tag{7.20}$

主曲率は2次方程式 $\kappa^2-2H\kappa+K=0$ の2解で、 $\kappa_{1,2}=H\pm\sqrt{H^2-K}$ である。

証明

(7.18) から $\det W=\det h/\det g=(LN-M^2)/(EG-F^2)$ である。行列の積の対角成分は $GL-FM$ と $EN-FM$ である。跡はこの和を $EG-F^2$ で割ったものになる。主曲率は $W$ の固有値なので、特性多項式 $\kappa^2-(\operatorname{tr}W)\kappa+\det W$ の根である。

法線を反転すると $h$ の符号が変わるので、行列 $W$ も符号を変える。2次の行列では $\det(-W)=\det W$ なので、 $K$ は法線の向きによらない。一方 $H$ と主曲率は符号を変える。§7.5 で $H$ を圧力差と結びつけるときは、法線の向きをはっきり決めてから使う。

命題 7.15（ $H^2\ge K$ ）

各点で $H^2\ge K$ が成り立ち、等号はその点が臍点であるときに限る。

証明

(7.19) から

$H^2-K=\tfrac14(\kappa_1+\kappa_2)^2-\kappa_1\kappa_2=\tfrac14(\kappa_1-\kappa_2)^2\ge0$

であり、等号は $\kappa_1=\kappa_2$ のときに限る。

Gauss 曲率の符号で、点の近くの曲面の形が分かれる。(7.16) を見ると、 $K>0$ なら曲面は接平面の片側にあり、 $K<0$ なら接平面をはさんで両側に出る。前者を楕円点、後者を双曲点と呼ぶ。 $K=0$ で $\kappa_1,\kappa_2$ の一方だけが0の点を放物点と呼び、円柱の点がその例である。

図 7.4　原点での接平面（青）と曲面の位置関係。左は $z=0.4(x^2+y^2)$ で、曲面は接平面の上側にある。右は $z=0.4(x^2-y^2)$ で、曲面は接平面の上下に出る。

Gauss 写像と面積比

各点にその単位法線を対応させると、曲面から単位球面への写像ができる。これを Gauss 写像と呼ぶ。Gauss 曲率は、Gauss 写像が面積を何倍にするかという量でもある。

定理 7.16（Gauss 曲率は面積比 ★★）

曲面片の各点で

$\bm{n}_u\times\bm{n}_v=K\;\bm{r}_u\times\bm{r}_v\tag{7.21}$

が成り立つ。点 $p$ を含む小さな領域 $U$ を縮めていくと、面積比はその点の Gauss 曲率に近づく。ここで面積比とは、法線の像 $\bm{n}(U)$ の向きつき面積を $U$ の面積で割ったものである。

証明

$W$ の成分を使うと、Weingarten 写像の定義から

$\bm{n}_u=-(W^1{}_1\bm{r}_u+W^2{}_1\bm{r}_v),\qquad \bm{n}_v=-(W^1{}_2\bm{r}_u+W^2{}_2\bm{r}_v)$

である。外積を展開すると、 $\bm{r}_u\times\bm{r}_u=\bm{r}_v\times\bm{r}_v=0$ により

$\bm{n}_u\times\bm{n}_v=(W^1{}_1W^2{}_2-W^2{}_1W^1{}_2)\,\bm{r}_u\times\bm{r}_v=\det W\;\bm{r}_u\times\bm{r}_v$

が残る。 $\det W=K$ なので (7.21) を得る。

$\bm{n}(U)$ の向きつき面積は $\iint_U(\bm{n}_u\times\bm{n}_v)\cdot\bm{n}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ である。(7.21) を代入すると $\iint_UK\left\vert \bm{r}_u\times\bm{r}_v\right\vert \,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ になる。Gauss 曲率は連続なので、 $U$ を縮めると、この積分を面積で割ったものは $K(p)$ に収束する。

$K>0$ の点の近くでは Gauss 写像は向きを保ち、 $K<0$ の点の近くでは向きを反転する。例えば半径 $R$ の球面では法線の像は単位球面そのもので、面積は $1/R^2$ 倍になる。これは $K=1/R^2$ と一致する。

例題 7.3　トーラスの曲率と Gauss 写像 ★★★

オリジナル例題 7.1 のトーラスについて答えよ。

単位法線と第二基本形式を求め、主曲率・Gauss 曲率・平均曲率を求めよ。
$K$ の符号で、楕円点・双曲点・放物点の位置を答えよ。
トーラス全体での $\iint K\,\mathrm{d} A$ と $\iint\left\vert K\right\vert \,\mathrm{d} A$ を求め、Gauss 写像で読め。

解答

(1) $\rho=R+r\cos u$ とおく。外積は

$\bm{r}_u\times\bm{r}_v=-r\rho\,(\cos u\cos v,\;\cos u\sin v,\;\sin u)$

なので、単位法線は $\bm{n}=-(\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u)$ で、管の中心線に向かう。2階の偏微分は

$\begin{gathered} \bm{r}_{uu}=-r(\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u),\\ \bm{r}_{uv}=r\sin u\,(\sin v,-\cos v,0),\qquad \bm{r}_{vv}=-\rho(\cos v,\sin v,0) \end{gathered}$

である。法線との内積をとると $L=r,\quad M=0,\quad N=\rho\cos u$ になる。

$F=M=0$ なので、 $W=\mathrm{diag}(L/E,\,N/G)$ である。主方向は座標曲線の方向になる。主曲率は

$\kappa_1=\frac{L}{E}=\frac1r,\qquad \kappa_2=\frac{N}{G}=\frac{\cos u}{R+r\cos u}$

で、

$K=\frac{\cos u}{r(R+r\cos u)},\qquad H=\frac{R+2r\cos u}{2r(R+r\cos u)}$

となる。

(2) $\rho>0$ なので、Gauss 曲率の符号は $\cos u$ の符号に等しい。外側の半分 $\left\vert u\right\vert <\pi/2$ は楕円点、内側の半分 $\pi/2<u<3\pi/2$ は双曲点である。 $u=\pm\pi/2$ の上下の2つの円は放物点で、そこでは接平面が水平になる。

(3) 面積要素は $\mathrm{d} A=r\rho\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ なので $K\,\mathrm{d} A=\cos u\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ である。1周の積分で $\iint K\,\mathrm{d} A=2\pi\int_0^{2\pi}\cos u\,\mathrm{d} u=0,\quad \iint\left\vert K\right\vert \,\mathrm{d} A=2\pi\int_0^{2\pi}\left\vert \cos u\right\vert \,\mathrm{d} u=8\pi$ となる。外側の楕円点の部分は Gauss 写像で単位球面（面積 $4\pi$ ）を向きを保って1回覆う。内側の双曲点の部分は向きを反転して1回覆うので、向きつきの合計は0になる。

確認テスト

オリジナル

7.3-1 法線の向きを反転したとき、主曲率・ $K$ ・ $H$ がそれぞれどう変わるかを答えよ。
7.3-2 放物面 $z=\frac12(x^2+y^2)$ を $(x,y)$ で表し、法線を上向きにとる。一般の点での $K$ と $H$ を求めよ。
7.3-3 曲面 $z=xy$ について、原点での主曲率と主方向を求めよ。さらに一般の点での Gauss 曲率を求めよ。
7.3-4 臍点だけからなる連結な曲面片は、平面か球面の一部であることを示せ（ヒント： $\bm{n}_u=-\lambda\bm{r}_u,\quad \bm{n}_v=-\lambda\bm{r}_v$ から $\lambda$ が定数であることを示す）。

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