面積の変分と極小曲面

物理のための微分幾何入門　第7章 §7.4　★★ 面積の第1変分は $-2\int H\phi\,\mathrm{d} A$。面積が停留する曲面は $H=0$ で、針金の枠に張った石鹸膜の形になる

面積の第1変分

針金の枠に石鹸膜を張ると、膜は表面張力でできるだけ面積を小さくする形に落ち着く。膜の両側はどちらも大気圧なので、膜の形を決める条件は面積の停留だけである。この節では、面積が停留する条件を曲率で書く。

曲面片 $\bm{r}(u,v)$ と滑らかな関数 $\phi(u,v)$ をとり、法線の向きにずらした曲面の族

$$\bm{r}_t(u,v)=\bm{r}(u,v)+t\,\phi(u,v)\,\bm{n}(u,v)\tag{7.22}$$

を考える。枠を固定する場合には、領域の境界で $\phi=0$ とする。

証明

偏微分は

$$(\bm{r}_t)_u=\bm{r}_u+t(\phi_u\bm{n}+\phi\,\bm{n}_u),\qquad (\bm{r}_t)_v=\bm{r}_v+t(\phi_v\bm{n}+\phi\,\bm{n}_v)$$

である。法線は $\bm{r}_u,\bm{r}_v$ と直交する。そのため内積をとると、$t$ の1次の項には $\bm{r}_u\cdot\bm{n}_u=-L$ の形の項だけが残る。

(7.12) を使うと

$$E_t=E-2t\phi L+\mathcal{O}(t^2),\qquad F_t=F-2t\phi M+\mathcal{O}(t^2),\qquad G_t=G-2t\phi N+\mathcal{O}(t^2)$$

となる。行列式を展開すると

$$E_tG_t-F_t^2=EG-F^2-2t\phi\,(EN-2FM+GL)+\mathcal{O}(t^2)=(EG-F^2)(1-4t\phi H)+\mathcal{O}(t^2)$$

である。最後の等号には (7.20) の $H$ の式を使った。

平方根をとると $\sqrt{E_tG_t-F_t^2}=\sqrt{EG-F^2}\,(1-2t\phi H)+\mathcal{O}(t^2)$ になる。これを $\Omega$ の上で積分し、$t$ で微分してから0とおけば (7.23) を得る。

証明

$H\equiv0$ なら (7.23) の右辺は0である。逆に、ある内点で $H\neq0$ とすると、連続性からその近くで $H$ は符号を変えない。その近くだけで正になり境界で0となる $\phi$ をとれば、右辺は0でない。

名前は「極小」だが、条件は面積の停留であって、面積が最小であることまでは言っていない。停留する曲面が実際に最小かどうかは面積の第2変分で決まり、後で見るように同じ枠に停留曲面が2つある場合もある。

カテノイドと螺旋面

回転面 $\bm{r}=(r(z)\cos v,\,r(z)\sin v,\,z)$ の平均曲率を計算する。法線を軸に向かう向き $\bm{n}=(-\cos v,-\sin v,r')/\sqrt{1+r'^2}$ にとる。2階の偏微分と法線の内積をとると

$$L=\frac{-r''}{\sqrt{1+r'^2}},\qquad M=0,\qquad N=\frac{r}{\sqrt{1+r'^2}}$$

となる。$E=1+r'^2,\quad F=0,\quad G=r^2$ と合わせると、主曲率は経線方向と緯線方向の

$$\kappa_1=\frac{-r''}{(1+r'^2)^{3/2}},\qquad \kappa_2=\frac{1}{r\sqrt{1+r'^2}}\tag{7.24}$$

である。

$H=0$ は $\kappa_1+\kappa_2=0$ のことで、分母を払うと

$$r\,r''=1+r'^2\tag{7.25}$$

となる。この方程式の解を求める。両辺に $r'/\{r(1+r'^2)\}$ を掛けると

$$\frac{r'r''}{1+r'^2}=\frac{r'}{r}$$

となる。両辺を積分すると $\tfrac12\ln(1+r'^2)=\ln r-\ln a$ を得る。すなわち $r/\sqrt{1+r'^2}=a$（$a>0$ は定数）である。

この1階の方程式で $r=a\cosh w$ とおくと、$1+r'^2=\cosh^2w$ になる。よって $r'=\pm\sinh w$ である。一方 $r'=a\sinh w\cdot w'$ なので $w'=\pm1/a$ となる。したがって解は

$$r(z)=a\cosh\frac{z-z_0}{a}\tag{7.26}$$

である。懸垂線 $r=a\cosh(z/a)$ を $z$ 軸のまわりに回した曲面をカテノイドと呼ぶ。平面を除くと、カテノイドは回転面の極小曲面のすべてである。

同じ式は面積の汎関数からも出る。回転面の面積は $A=2\pi\int r\sqrt{1+r'^2}\,\mathrm{d} z$ で、被積分関数が $z$ を陽に含まない。そのため Euler–Lagrange 方程式は1回積分でき、$r/\sqrt{1+r'^2}=a$ が第一積分として得られる。この変分の計算と、停留曲線が2本または0本になることの解析は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第1部第4章にある。

2つの輪に張った石鹸膜

半径 $R$ の2つの輪を、共通の軸に垂直に間隔 $2h$ だけ離して置く。輪の間に張った石鹸膜は回転対称なカテノイド (7.26) になり、対称性から $z_0=0$ である。境界条件は $a\cosh(h/a)=R$ である。$s=h/a$ とおくと、この条件は

$$\frac{\cosh s}{s}=\frac Rh\tag{7.27}$$

と書ける。

左辺の関数 $\cosh s/s$ は、$s$ が0に近づくときも無限大に向かうときも無限大になる。導関数 $(s\sinh s-\cosh s)/s^2$ が0になるのは $s\tanh s=1$ のときである。その解は $s_*\simeq1.1997$ で、最小値は $\cosh s_*/s_*\simeq1.5089$ になる。

したがって (7.27) の解は、$R/h>1.5089$ なら2つ、$R/h<1.5089$ なら無い。

解が2つあるとき、$s$ の小さい解は首の太いカテノイド、大きい解は首の細いカテノイドである。面積の第2変分を調べると、首の太いほうだけが安定であることが知られている。間隔を広げて $2h/R>2/1.5089\simeq1.3255$ になると停留するカテノイドが無くなり、膜はちぎれて2枚の円板になる。

確認テスト

オリジナル

1. 7.4-1 半径 $R$ の球面は極小曲面ではない。その理由を平均曲率で1行で述べよ。
2. 7.4-2 グラフ $z=f(x,y)$ の面積 $\iint\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y$ の Euler–Lagrange 方程式が

$$(1+f_y^2)f_{xx}-2f_xf_yf_{xy}+(1+f_x^2)f_{yy}=0$$

であることを導け。また、これがグラフの $H=0$ と同値であることを示せ。グラフの $L,M,N$ は、2階の偏導関数を $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$ で割ったものである。3. 7.4-3 Scherk の曲面 $z=\ln\cos y-\ln\cos x$（$\left\vert x\right\vert ,\left\vert y\right\vert <\pi/2$）が 7.4-2 の方程式を満たすことを確かめよ。4. 7.4-4 半径1の2つの輪を間隔1で置く（$R=1,\ h=0.5$）。2つのカテノイドの首の半径と面積を求め、2枚の円板の面積 $2\pi$ と比べよ。