内在的な量と局所等長

物理のための微分幾何入門　第8章 §8.1　★★★ 第一基本形式だけで決まる量を「内在的」と呼び、それを保つ写像として局所等長を定める。章全体の問いの立て方

第7章では、曲面を3次元空間の中に置いた姿のまま調べた。第一基本形式は曲面の上で長さを測り、第二基本形式は曲面が法線の方向へどう曲がるかを測る。この2つを組み合わせて、主曲率・Gauss 曲率・平均曲率を作った。

この章で問うのは、曲面の上に住む2次元の住人が、外の空間を見ずに何を測れるかである。住人は曲面上の曲線の長さと、2本の曲線のなす角を測れる。つまり住人が知っているのは第一基本形式だけである。第二基本形式は外向きの法線を使って定義したので、住人には直接は見えない。

結論は C. F. Gauss が 1827 年に発表した驚異の定理（Theorema Egregium）である。Gauss 曲率は第二基本形式から定義したにもかかわらず、第一基本形式とその2階までの導関数だけで決まる。したがって住人は、自分の住む面が平らか曲がっているかを、外へ出ずに判定できる。

道筋は次のとおりである。§8.1 で「内在的な量」と「局所等長」を定義し、円柱と平面、地図の歪みを例に取る。§8.2 で座標基底の微分を分解して Christoffel 記号を導入し、それが計量だけで書けることを示す。§8.3 で2階微分の順序交換から Gauss の方程式と Codazzi の方程式を導き、§8.4 で驚異の定理を証明して物理と地図に応用する。

この章の結果は、あとの章でそのまま使う。Christoffel 記号は第9章の共変微分と第10章の測地線の方程式に入り、§8.3 の Gauss の方程式の左辺は第11章で Riemann テンソルとして一般の次元へ広げる。外の空間を持たない時空の曲がりを論じる一般相対論（相対論入門 第8〜10章）も、この章の考え方の上に立つ。

第7章から借りる記号を1回まとめて書いておく。曲面は $\bm{r}(u^1,u^2)$ と媒介変数で表し、$(u^1,u^2)=(u,v)$ とも書く。添字の付いた $\bm{r}_i$ は偏微分、2つ付いた $\bm{r}_{ij}$ は2階の偏微分を表す。和は第3章 §3.1 の総和規約で書く（添字は1と2を走る）。

$$\begin{gathered} g_{ij}=\bm{r}_i\cdot\bm{r}_j,\quad (E,F,G)=(g_{11},g_{12},g_{22}),\quad g=\det(g_{ij})=EG-F^2,\\ \bm{n}=\frac{\bm{r}_1\times\bm{r}_2}{\left\vert \bm{r}_1\times\bm{r}_2\right\vert },\quad h_{ij}=\bm{r}_{ij}\cdot\bm{n},\quad (L,M,N)=(h_{11},h_{12},h_{22}),\\ K=\frac{\det(h_{ij})}{\det(g_{ij})}=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},\qquad H=\frac12 g^{ij}h_{ij}=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}. \end{gathered}\tag{8.1}$$

逆行列の成分は $g^{ij}$ と上付きで書く。法線 $\bm{n}$ の向きを反転すると、$h_{ij}$ と平均曲率は符号を変える。Gauss 曲率 $K$ は変わらない。

紙を丸めても長さは変わらない

長方形の紙を丸めて円柱にすることを考える。紙は伸び縮みしないので、紙に描いた線の長さも、2本の線のなす角も、囲んだ面積も変わらない。一方、3次元の中での形は大きく変わり、平らだった紙が円柱の側面になる。

この操作を式で書く。平面を $\bm{r}(u,v)=(u,v,0)$ と表すと $E=1,\ F=0,\ G=1$ である。半径 $a$ の円柱を

$$\bm{r}(u,v)=\Bigl(a\cos\frac{u}{a},\ a\sin\frac{u}{a},\ v\Bigr)\tag{8.2}$$

と表すと、偏微分は $\bm{r}_u=(-\sin(u/a),\cos(u/a),0)$ と $\bm{r}_v=(0,0,1)$ である。したがって円柱でも $E=1,\ F=0,\ G=1$ になる。同じ $(u,v)$ の点どうしを対応させると、平面と円柱は第一基本形式がまったく同じになる（図 8.1）。

局所等長と内在的な量

この観察を定義にする。2つの曲面の間の写像が曲線の長さを保つとき、2つの曲面は住人から見て区別できない。

座標で書くと、この条件は第一基本形式の一致になる。$S$ の座標 $(u,v)$ を使う。像の点 $f(\bm{r}(u,v))$ を、同じ座標の値で $\bm{r}'(u,v)$ と書く。これは $S'$ の上に「対応する点に同じ座標の値を振った」座標を入れることに当たる（第2章 §2.4 の押し出しで言えば、$f_*$ が座標基底を座標基底へ送る座標を選ぶことである）。

証明

曲線 $t\mapsto(u(t),v(t))$（$t_0\le t\le t_1$）をとる。その長さと像の長さは次のとおりである。

$$\ell=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{g_{ij}\dot u^i\dot u^j}\,\mathrm{d} t,\qquad \ell'=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{g'_{ij}\dot u^i\dot u^j}\,\mathrm{d} t$$

である。$g'_{ij}=g_{ij}$ なら被積分関数が等しいので $\ell'=\ell$ になる。

逆に、すべての曲線で長さが等しいとする。点 $u_0$ と任意の向き $\xi$ をとる。座標の直線 $u^i=u_0^i+t\xi^i$（$0\le t\le\varepsilon$）の長さを比べる。両辺を $\varepsilon$ で割って $\varepsilon \to0$ とすると、被積分関数の始点での値が一致する。

$$g'_{ij}\xi^i\xi^j=g_{ij}\xi^i\xi^j$$

対称行列の2次形式がすべての $\xi$ で一致するので、行列も一致する。実際、$\xi=(1,0),(0,1),(1,1)$ を代入すれば $g'_{11}=g_{11},\ g'_{22}=g_{22},\ g'_{12}=g_{12}$ が順に出る。

命題 8.2 から、内在的な量は局所等長写像で保たれる。対応する点の座標で $g'_{ij}$ と $g_{ij}$ が関数として一致するので、その導関数も一致するからである。

証明

長さは命題 8.2 の証明の式 $\ell=\int\sqrt{g_{ij}\dot u^i\dot u^j}\,\mathrm{d} t$ で $g_{ij}$ だけから計算できる。交点での2本の曲線の速度を $\bm{r}_i\xi^i$ と $\bm{r}_j\eta^j$ とすると、なす角は次の式で決まる。

$$\cos\vartheta=\frac{g_{ij}\xi^i\eta^j}{\sqrt{g_{ij}\xi^i\xi^j}\sqrt{g_{kl}\eta^k\eta^l}}$$

座標の領域 $D$ に対応する曲面の部分の面積は、第7章の面積要素を使って次のように書ける。

$$A=\iint_D\left\vert \bm{r}_u\times\bm{r}_v\right\vert \,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v=\iint_D\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$$

2つめの等号は Lagrange の恒等式 $\left\vert \bm{a}\times\bm{b}\right\vert ^2=\left\vert \bm{a}\right\vert ^2\left\vert \bm{b}\right\vert ^2-(\bm{a}\cdot\bm{b})^2$ による。どの式にも $g_{ij}$ しか現れない。

内在的でない量

平均曲率は内在的でない。円柱 (8.2) の主曲率は、円周の方向で $1/a$、母線の方向で $0$ である（法線の向きは内向きにとる）。したがって $H=1/(2a)$ だが、局所等長な平面では $H=0$ である。第一基本形式が同じでも平均曲率が違うので、平均曲率は $g_{ij}$ だけからは決まらない。

法曲率も同じ理由で内在的でない。円柱の円周方向の法曲率は $1/a$ だが、対応する平面の方向の法曲率は $0$ である。一方、Gauss 曲率は円柱でも $K=(1/a)\cdot0=0$ で平面と一致する。これが偶然でないことを §8.4 で示す。

地図の歪み

地図を作ることは、地球の表面（半径 $R$ の球面の一部）から平面への写像を選ぶことである。緯度を $\psi$、経度を $\varphi$ とすると、球面の第一基本形式は次のようになる。

$$\mathrm{d} s^2=R^2\,\mathrm{d}\psi^2+R^2\cos^2\psi\,\mathrm{d}\varphi^2\tag{8.3}$$

理想の地図は縮尺が一定の地図であり、それは球面から平面への局所等長写像を定数倍したものである。

もっとも素朴な地図は、経度と緯度をそのまま平面の座標にする正距円筒図法 $x=R\varphi,\ y=R\psi$ である。平面の第一基本形式は $\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2=R^2\,\mathrm{d}\varphi^2+R^2\,\mathrm{d}\psi^2$ になる。(8.3) と比べると、南北の長さは正しいが、東西の長さが $1/\cos\psi$ 倍に引き伸ばされる。極に近づくほど歪みは大きくなる。

別の写像を選べばこの歪みを消せるか、という問いが自然に出る。答えは「どう選んでも消せない」で、その証明が §8.4 の驚異の定理である。平面と円柱の場合と違い、球面と平面では Gauss 曲率が異なるからである。

確認テスト

オリジナル

1. 8.1-1 局所等長写像で必ず保たれるものを次から選べ。(a) 曲線の長さ、(b) 2曲線のなす角、(c) 領域の面積、(d) 平均曲率、(e) 法曲率。
2. 8.1-2 頂点の半角が $\alpha$（$0<\alpha<\pi/2$）の円錐を考える。

$$\bm{r}(s,\varphi)=(s\sin\alpha\cos\varphi,\ s\sin\alpha\sin\varphi,\ s\cos\alpha),\qquad s>0$$

この円錐の第一基本形式を求めよ。また、平面の極座標 $(\rho,\vartheta)$ への写像 $\rho=s,\ \vartheta=\varphi\sin\alpha$ が局所等長写像であることを示せ。円錐を切り開いた扇形の中心角を求めよ。3. 8.1-3 正距円筒図法 $x=R\varphi,\ y=R\psi$ について、緯度 $\psi$ の点で東西方向の長さが地図の上で何倍になるかを求めよ。緯度 $45^\circ$ と $60^\circ$ での値を出せ。小さな領域の面積は何倍になるか。4. 8.1-4 局所等長写像が、交わる2本の曲線のなす角と、座標の小さな領域の面積を保つことを、命題 8.2 を使って示せ。