確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第7章 §7.7

7.1 媒介変数表示と第一基本形式

1. 7.1-1 (7.7) で $X=\bm{r}_u,\quad Y=\bm{r}_v$ とおくと $\cos\alpha=F/\sqrt{EG}$ である。$E,G>0$ なので、直交することと $F=0$ は同値である。
2. 7.1-2 偏微分は

$$\bm{r}_\theta=R(\cos\theta\cos\phi,\cos\theta\sin\phi,-\sin\theta),\qquad \bm{r}_\phi=R(-\sin\theta\sin\phi,\sin\theta\cos\phi,0)$$

である。内積から $E=R^2,\quad F=0,\quad G=R^2\sin^2\theta$ を得る。面積要素は $R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ なので、帯の面積は

$$\int_0^{2\pi}\!\!\int_{\theta_1}^{\theta_2}R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi=2\pi R^2(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$$

である。$R(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$ は帯の高さなので、面積は帯の高さだけで決まる（Archimedes が見つけた事実）。3. 7.1-3 $\bm{r}_u=(\cos v,\sin v,0),\quad \bm{r}_v=(-u\sin v,u\cos v,c)$ なので、$E=1,\quad F=0,\quad G=u^2+c^2$ である。面積は

$$A=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\sqrt{u^2+c^2}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v=\pi\Bigl[\sqrt{1+c^2}+c^2\operatorname{arsinh}\frac1c\Bigr]$$

である。途中で不定積分 $\int\sqrt{u^2+c^2}\,\mathrm{d} u=\frac12\bigl(u\sqrt{u^2+c^2}+c^2\operatorname{arsinh}(u/c)\bigr)$ を使った。$c=1$ では $A=\pi(\sqrt2+\operatorname{arsinh}1)\simeq7.21$ である。4. 7.1-4 連鎖律から $\bm{r}_{u^i}=\tilde{\bm{r}}_{\tilde u^k}J^k{}_i$（$J^k{}_i=\partial\tilde u^k/\partial u^i$）である。内積をとると

$$g_{ij}=\bm{r}_{u^i}\cdot\bm{r}_{u^j}=J^k{}_i\,\tilde g_{kl}\,J^l{}_j$$

となり、行列で書けば $g=J^{\mathsf T}\tilde gJ$ である。行列式をとると $\det g=(\det J)^2\det\tilde g$ なので $\sqrt{\det g}=\left\vert \det J\right\vert \sqrt{\det\tilde g}$ になる。変数変換の公式 $\mathrm{d}\tilde u\,\mathrm{d}\tilde v=\left\vert \det J\right\vert \,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ と合わせると主張を得る。

7.2 第二基本形式と法曲率

1. 7.2-1 $\bm{r}=(a\cos(\tilde u/a),a\sin(\tilde u/a),\tilde v)$ と書き直すと、$\bm{r}_{\tilde u}=(-\sin(\tilde u/a),\cos(\tilde u/a),0),\quad \bm{r}_{\tilde v}=(0,0,1)$ である。どちらも長さ1で直交するので、$\mathrm I=\mathrm{d}\tilde u^2+\mathrm{d}\tilde v^2$ である。平面では $\mathrm{II}=0$ だが、円柱では例題 7.2 のとおり $L=a\neq0$ で、違いは第二基本形式にだけ現れる。
2. 7.2-2 $\bm{r}_{\theta\theta}=-\bm{r},\quad \bm{r}_{\theta\phi}=R\cos\theta(-\sin\phi,\cos\phi,0),\quad \bm{r}_{\phi\phi}=-R\sin\theta(\cos\phi,\sin\phi,0)$ である。法線 $\bm{n}=-\bm{r}/R$ との内積をとると

$$L=R,\qquad M=0,\qquad N=R\sin^2\theta$$

となる。これは $\mathrm{II}=\mathrm I/R$ を意味するので、すべての方向で $\kappa_n=1/R$ である。3. 7.2-3 緯線は半径 $R\sin\theta_0$ の円なので、曲率は $\kappa=1/(R\sin\theta_0)$ である。主法線は軸に向かう $\bm{e}=-(\cos\phi,\sin\phi,0)$ である。球面の法線 $\bm{n}=-(\sin\theta_0\cos\phi,\sin\theta_0\sin\phi,\cos\theta_0)$ との内積は $\bm{e}\cdot\bm{n}=\sin\theta_0$ になる。したがって $\kappa\cos\theta=1/R$ で、法曲率 $1/R$ に一致する。4. 7.2-4 原点では $f_x=f_y=0$ なので、$E=G=1,\ F=0,\ \bm{n}=(0,0,1)$ である。2階の偏微分は $\bm{r}_{xx}=(0,0,1),\ \bm{r}_{xy}=\bm{0},\ \bm{r}_{yy}=(0,0,-1)$ である。よって $L=1,\ M=0,\ N=-1$ で、$\mathrm{II}=\mathrm{d} x^2-\mathrm{d} y^2$ となる。方向 $(\cos\varphi,\sin\varphi)$ の法曲率は

$$\kappa_n=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi=\cos2\varphi$$

である。法曲率が0になるのは $\varphi=\pi/4,\,3\pi/4$（直線 $y=\pm x$ の方向）である。5. 7.2-5 2つの恒等式をそれぞれ $u$ と $v$ で微分すると

$$\begin{aligned}\bm{r}_{uu}\cdot\bm{n}+\bm{r}_u\cdot\bm{n}_u&=0, & \bm{r}_{uv}\cdot\bm{n}+\bm{r}_u\cdot\bm{n}_v&=0,\\ \bm{r}_{vu}\cdot\bm{n}+\bm{r}_v\cdot\bm{n}_u&=0, & \bm{r}_{vv}\cdot\bm{n}+\bm{r}_v\cdot\bm{n}_v&=0\end{aligned}$$

となる。左上と右下の式から $L$ と $N$ の式が得られる。右上と左下の式から $M$ の2つの表し方が得られる。

7.3 主曲率・Gauss 曲率・平均曲率

1. 7.3-1 法線を反転すると $L,M,N$ が符号を変え、行列 $W$ も符号を変える。主曲率と $H$ は符号を変え、$K=\det W$ は変わらない。
2. 7.3-2 グラフ $z=f(x,y)$ で $w=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$ とおく。上向きの法線は $\bm{n}=(-f_x,-f_y,1)/w$ なので

$$L=\frac{f_{xx}}{w},\qquad M=\frac{f_{xy}}{w},\qquad N=\frac{f_{yy}}{w}$$

である。$f=\frac12(x^2+y^2)$ では $f_x=x,\quad f_y=y,\quad f_{xx}=f_{yy}=1,\quad f_{xy}=0,\quad w^2=1+x^2+y^2$ となる。$EG-F^2=w^2$ なので

$$K=\frac{1/w^2}{w^2}=\frac{1}{(1+x^2+y^2)^2},\qquad H=\frac{(1+y^2)+(1+x^2)}{2w^3}=\frac{2+x^2+y^2}{2(1+x^2+y^2)^{3/2}}$$

である。3. 7.3-3 $f=xy$ の原点では $f_x=f_y=f_{xx}=f_{yy}=0,\ f_{xy}=1$ である。したがって $g$ は単位行列で、$h$ は対角成分が0、非対角成分が1の行列である。固有値は $\pm1$ なので主曲率は $\kappa_1=1,\quad \kappa_2=-1$ である。主方向は固有ベクトル $(1,1)$ と $(1,-1)$ の方向である。一般の点では $LN-M^2=-1/w^2,\quad EG-F^2=w^2$ なので

$$K=-\frac{1}{(1+x^2+y^2)^2}$$

である。4. 7.3-4 各点で $S=\lambda\,\mathrm{id}$ なので、$\bm{n}_u=-\lambda\bm{r}_u,\quad \bm{n}_v=-\lambda\bm{r}_v$ が成り立つ。1つ目を $v$ で、2つ目を $u$ で微分して引く。$\bm{n}_{uv}=\bm{n}_{vu}$ と $\bm{r}_{uv}=\bm{r}_{vu}$ を使うと

$$0=-\lambda_v\bm{r}_u+\lambda_u\bm{r}_v$$

となる。$\bm{r}_u,\bm{r}_v$ は1次独立なので $\lambda_u=\lambda_v=0$ である。曲面片は連結なので、$\lambda$ は定数である。

$\lambda=0$ なら $\bm{n}$ は定ベクトルである。このとき $(\bm{r}\cdot\bm{n})_u=\bm{r}_u\cdot\bm{n}=0$ であり、$v$ についても同じ式が成り立つ。したがって $\bm{r}\cdot\bm{n}$ は一定で、曲面は平面の一部である。

$\lambda\neq0$ なら $(\bm{r}+\bm{n}/\lambda)_u=\bm{r}_u-\bm{r}_u=0$ である。同じ式は $v$ についても成り立つ。したがって $\bm{c}=\bm{r}+\bm{n}/\lambda$ は定点である。$\left\vert \bm{r}-\bm{c}\right\vert =1/\left\vert \lambda\right\vert$ なので、曲面は点 $\bm{c}$ を中心とする球面の一部である。

7.4 面積の変分と極小曲面

1. 7.4-1 中心に向かう法線について $\kappa_1=\kappa_2=1/R$ なので、$H=1/R\neq0$ である。
2. 7.4-2 被積分関数を $\mathcal L=\sqrt{1+p^2+q^2}$（$p=f_x,\quad q=f_y$）とおく。Euler–Lagrange 方程式は $\partial_x(\partial\mathcal L/\partial p)+\partial_y(\partial\mathcal L/\partial q)=0$、すなわち

$$\partial_x\frac{f_x}{w}+\partial_y\frac{f_y}{w}=0,\qquad w=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$$

である。$\partial_x w=(f_xf_{xx}+f_yf_{xy})/w$ などを使って微分を実行し、$w^3$ を掛けると

$$f_{xx}(1+f_x^2+f_y^2)-f_x(f_xf_{xx}+f_yf_{xy})+f_{yy}(1+f_x^2+f_y^2)-f_y(f_xf_{xy}+f_yf_{yy})=0$$

となる。整理すると $(1+f_y^2)f_{xx}-2f_xf_yf_{xy}+(1+f_x^2)f_{yy}=0$ である。

一方、グラフでは $E=1+f_x^2,\quad F=f_xf_y,\quad G=1+f_y^2,\quad (L,M,N)=(f_{xx},f_{xy},f_{yy})/w$ である。これらを (7.20) に入れると

$$H=\frac{(1+f_x^2)f_{yy}-2f_xf_yf_{xy}+(1+f_y^2)f_{xx}}{2w^3}$$

となり、分子は上の方程式の左辺に等しい。したがって方程式は $H=0$ と同値である。3. 7.4-3 $f_x=\tan x,\quad f_y=-\tan y,\quad f_{xx}=\sec^2x,\quad f_{yy}=-\sec^2y,\quad f_{xy}=0$ である。左辺は

$$(1+\tan^2y)\sec^2x+(1+\tan^2x)(-\sec^2y)=\sec^2y\sec^2x-\sec^2x\sec^2y=0$$

となり、方程式を満たす。4. 7.4-4 $\cosh s/s=R/h=2$ を数値的に解くと、$s\simeq0.5894$ と 2.1268 になる。首の半径 $a=h/s$ は 0.848 と 0.235 である。面積の式 $A=\pi a(2h+a\sinh(2h/a))$ に入れると、首の太い解で 5.99、細い解で 6.85 になる。円板の $2\pi\simeq6.28$ と比べると、首の太いカテノイドだけが円板より小さい。

7.5 物理の曲面

1. 7.5-1 軸に向かう法線で $H=1/(2a)$ なので、$\Delta p=2\sigma H=\sigma/a$ である。
2. 7.5-2 シャボン玉では $\Delta p=4\sigma_s/R$ なので、半径 1 cm で 10 Pa、半径 2 cm で 5.0 Pa である。小さい玉のほうが内部の圧力が高いので、空気は小さい玉から大きい玉へ流れる。小さい玉は縮むほど圧力がさらに高くなるので、流れは小さい玉がしぼむまで続く。
3. 7.5-3 水面の半球に、空気の側（上）へ向かう法線をとると $H=1/r$ なので、水面のすぐ下の水の圧力は大気圧より $2\sigma/r$ だけ低い。管の外の水面の高さでの圧力は大気圧なので、高さ $h$ の水柱の静水圧がこの差を埋める。$\rho gh=2\sigma/r$ から $h=2\sigma/(\rho gr)$ となる。数値を入れると

$$h=\frac{2\times0.072}{1.0\times10^3\times9.8\times1.0\times10^{-4}}\ \mathrm m\simeq0.147\ \mathrm m$$

で、約 $15\ \mathrm{cm}$ である。4. 7.5-4 表面エネルギーの増加は $\sigma\,\mathrm{d}(4\pi R^2)=8\pi\sigma R\,\mathrm{d} R$ である。内部の圧力差 $\Delta p$ のする仕事は $\Delta p\cdot4\pi R^2\,\mathrm{d} R$ である。釣り合いでは2つが等しいので、$\Delta p=2\sigma/R$ を得る。5. 7.5-5 球面では $H=1/R$（法線の向きを変えても $H^2$ は同じ）なので

$$\iint\frac{k_c}{2}\cdot\frac{4}{R^2}\,\mathrm{d} A=\frac{2k_c}{R^2}\cdot4\pi R^2=8\pi k_c$$

で、$R$ によらない。