この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第7章 §7.6

曲面片 $\bm{r}(u,v)$ の上の長さ・角・面積は、第一基本形式 $\mathrm I=E\,\mathrm{d} u^2+2F\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v+G\,\mathrm{d} v^2$ で測れる。これは空間の Euclid 計量を曲面に引き戻したもので、第5章の計量 $g_{ij}$ の具体例である。面積要素 $\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ は座標の取り方によらない。

曲面の曲がり方は、接平面からの高さの2次の項である第二基本形式 $\mathrm{II}=L\,\mathrm{d} u^2+2M\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v+N\,\mathrm{d} v^2$ に現れる。曲面上の曲線の曲率の法線成分は、Meusnier の定理により接線の方向だけで決まり、それが法曲率 $\mathrm{II}/\mathrm I$ である。法曲率を方向の関数とみると、最大値と最小値が主曲率 $\kappa_1,\kappa_2$ で、その間を Euler の公式がつなぐ。

主曲率は Weingarten 写像 $S=-\mathrm{d}\bm{n}$ の固有値であり、行列は $W=g^{-1}h$ である。その行列式が Gauss 曲率 $K=(LN-M^2)/(EG-F^2)$ で、跡の半分が平均曲率 $H$ である。$K$ は法線の向きによらず、Gauss 写像による面積の拡大率でもある。$H$ は法線の向きで符号を変える。

平均曲率は面積の第1変分 $-2\iint H\phi\,\mathrm{d} A$ に現れる。そのため面積が停留する曲面は $H=0$ の極小曲面で、カテノイドと螺旋面がその例である。界面の両側に圧力差があるときは、同じ変分から Young–Laplace の式 $\Delta p=2\sigma H$ が出る。輪に張った石鹸膜の限界の間隔と、液滴や泡の内部の圧力は、この2つの結果で見積もれる。

第8章では、$E,F,G$ だけで書ける量と $L,M,N$ を要する量を区別する。そこで Gauss 曲率が第一基本形式だけから決まること（驚異の定理）を示す。平均曲率はこの性質を持たず、空間への置き方に依存する。第9章の平行移動と第10章の測地線は第一基本形式だけで定義され、第15章では $\iint K\,\mathrm{d} A$ が曲面の位相で決まることを示す。