媒介変数表示と第一基本形式

物理のための微分幾何入門　第7章 §7.1　★★★ 曲面の上の長さ・角・面積はすべて $E,F,G$ の3つの関数で測れる。第8章以降の内在的な幾何の出発点

第6章では、空間の中の曲線の曲がり方を曲率 $\kappa$ と捩率 $\tau$ で測った。この章では、1次元の曲線を2次元の曲面に取り替えて、同じ問いを立てる。曲面の上の長さと角はどう測るか、曲面は各点でどう曲がっているか、という問いである。

前者の答えは第一基本形式で、第5章で導入した計量 $g_{ij}$ の具体例になっている。後者の答えは第二基本形式で、こちらは曲面が空間の中にどう置かれているかで決まる。2つを組み合わせると、各点に主曲率 $\kappa_1,\kappa_2$ が定まる。その積が Gauss 曲率 $K$、平均が平均曲率 $H$ である。

物理では、平均曲率は表面張力と結びつく。面積を最小にする石鹸膜は $H=0$ の曲面になり、液滴の内外の圧力差は $2\sigma H$ になる。Gauss 曲率のほうは、第8章で第一基本形式だけから決まる量であることを示す（驚異の定理）。第15章の Gauss–Bonnet の定理では、その積分が曲面の位相を表すことを見る。

前の章から借りる結果を式の形で書いておく。曲線 $\bm{\gamma}(s)$ を弧長 $s$ で表す。単位接ベクトルを $\bm{t}=\mathrm{d}\bm{\gamma}/\mathrm{d} s$ とすると、第6章 §6.1・§6.2 の曲率と主法線は

$$\frac{d \bm{t}}{d s}=\kappa\,\bm{e},\qquad \kappa\ge0,\quad \left\vert \bm{e}\right\vert =1\tag{7.1}$$

で定まる。この章では、曲面の法線 $\bm{n}$ と区別するために、曲線の主法線を $\bm{e}$ と書く。第5章 §5.1 からは、計量 $g_{ij}$ による線素と面積要素

$$\mathrm{d} s^2=g_{ij}\,\mathrm{d} u^i\mathrm{d} u^j,\qquad \mathrm{d} A=\sqrt{\det g}\,\mathrm{d} u^1\mathrm{d} u^2$$

を借りる。

正則な曲面片と接平面

平面の領域 $D$ の各点に、空間の点 $\bm{r}(u,v)\in\mathbb{R}^3$ を対応させる。この対応は滑らかであるとする。偏微分を $\bm{r}_u=\partial\bm{r}/\partial u,\quad \bm{r}_v=\partial\bm{r}/\partial v$ と書く。

正則性の条件は、2つのベクトル $\bm{r}_u,\bm{r}_v$ が1次独立であることと同じである。第1章の言葉で言えば、写像 $(u,v)\mapsto\bm{r}$ のヤコビ行列の階数が2であることを要求している。この条件のもとで、第1章 §1.4 の議論により、像は各点の近くで滑らかな2次元の部分多様体になる。

曲面の上の曲線 $\bm{\gamma}(t)=\bm{r}(u(t),v(t))$ の速度は、連鎖律により

$$\dot{\bm{\gamma}}=\dot u\,\bm{r}_u+\dot v\,\bm{r}_v$$

となる。したがって曲面の上の曲線の速度はすべて接平面に入る。逆に接平面の任意のベクトル $a\bm{r}_u+b\bm{r}_v$ は、曲線 $(u_0+at,\,v_0+bt)$ の速度として実現できる。第2章で曲線の速度として定義した接空間は、曲面の場合にはこの接平面そのものである。

単位法線の向きは、座標 $u,v$ を入れ替えると反転する。この章のどの結果も、法線の向きを1つ決めてから述べる。向きを反転したときに符号が変わる量と変わらない量の区別は §7.3 で整理する。

第一基本形式

接平面のベクトル $X=a\bm{r}_u+b\bm{r}_v$ の長さの2乗は、空間の内積で計算すると

$$\left\vert X\right\vert ^2=a^2\,\bm{r}_u\cdot\bm{r}_u+2ab\,\bm{r}_u\cdot\bm{r}_v+b^2\,\bm{r}_v\cdot\bm{r}_v$$

となる。係数の3つの関数に名前をつける。

第5章の記法で $u^1=u,\quad u^2=v$ と書けば、第一基本形式は計量

$$(g_{ij})=\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix},\qquad \mathrm I=g_{ij}\,\mathrm{d} u^i\mathrm{d} u^j\tag{7.5}$$

そのものである。これは空間の Euclid 計量 $\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2$ を写像 $\bm{r}$ で曲面へ引き戻したもので、誘導計量とも呼ぶ。正則性から $X\neq0$ なら $\mathrm I(X,X)>0$ なので、この計量は正定値である。

証明

長さは $\left\vert \dot{\bm{\gamma}}\right\vert$ の積分で、$\dot{\bm{\gamma}}=\dot u\bm{r}_u+\dot v\bm{r}_v$ を代入して展開すると根号の中身になる。角は空間の内積の定義 $X\cdot Y=\left\vert X\right\vert \left\vert Y\right\vert \cos\alpha$ を第一基本形式で書き直しただけである。

面積については、座標の小さな長方形 $[u,u+\Delta u]\times[v,v+\Delta v]$ の像を考える。これは1次の近似で、2辺が $\bm{r}_u\Delta u$ と $\bm{r}_v\Delta v$ の平行四辺形になる。その面積は $\left\vert \bm{r}_u\times\bm{r}_v\right\vert \Delta u\Delta v$ なので、Riemann 和の極限として最初の等号を得る。2つ目の等号は、空間の2つのベクトルについての Lagrange の恒等式

$$\left\vert \bm{a}\times\bm{b}\right\vert ^2=\left\vert \bm{a}\right\vert ^2\left\vert \bm{b}\right\vert ^2-(\bm{a}\cdot\bm{b})^2$$

に $\bm{a}=\bm{r}_u,\ \bm{b}=\bm{r}_v$ を入れると、右辺が $EG-F^2$ になることから従う。恒等式そのものは、成分で両辺を展開すると一致することで確かめられる。

$EG-F^2$ は行列 (7.5) の行列式なので、(7.8) の面積要素は第5章 §5.1 の $\sqrt{\det g}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ と同じものである。角の式 (7.7) で $X=\bm{r}_u,\quad Y=\bm{r}_v$ とおくと、座標曲線どうしのなす角が得られる。特に、座標曲線が各点で直交することは $F=0$ と同値である。

証明

連鎖律により $\bm{r}_u=\tilde{\bm{r}}_{\tilde u}\,\partial\tilde u/\partial u+\tilde{\bm{r}}_{\tilde v}\,\partial\tilde v/\partial u$ であり、$\bm{r}_v$ も同様に書ける。外積の双線形性と $\tilde{\bm{r}}_{\tilde u}\times\tilde{\bm{r}}_{\tilde u}=0$ を使って展開すると

$$\bm{r}_u\times\bm{r}_v=\det J\;\tilde{\bm{r}}_{\tilde u}\times\tilde{\bm{r}}_{\tilde v},\qquad J=\frac{\partial(\tilde u,\tilde v)}{\partial(u,v)}$$

となる。両辺の大きさをとり、重積分の変数変換の公式 $\mathrm{d}\tilde u\,\mathrm{d}\tilde v=\left\vert \det J\right\vert \,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ を使えば、2つの積分は一致する。

確認テスト

オリジナル

1. 7.1-1 第一基本形式で $F=0$ となることは、座標曲線が直交することと同値である。その理由を (7.7) から1行で述べよ。
2. 7.1-2 半径 $R$ の球面 $\bm{r}=R(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ の第一基本形式を求めよ。さらに、$\theta_1\le\theta\le\theta_2$ の帯の面積が $2\pi R(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$ であることを示せ。
3. 7.1-3 $c>0$ を定数とする。螺旋面 $\bm{r}(u,v)=(u\cos v,\,u\sin v,\,cv)$ の $E,F,G$ を求めよ。また $0\le u\le1,\ 0\le v\le2\pi$ の部分の面積を求めよ。$c=1$ のときの数値を小数第2位まで答えよ。
4. 7.1-4 座標変換 $(u,v)\mapsto(\tilde u,\tilde v)$ のヤコビ行列を $J$ とする。第一基本形式の係数行列が $g=J^{\mathsf T}\tilde gJ$ と変わることを示せ。そこから $\sqrt{\det g}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v=\sqrt{\det\tilde g}\,\mathrm{d}\tilde u\,\mathrm{d}\tilde v$ を導け。