確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第6章 §6.6

1. 6.1-1 向きを逆にしても、曲線の像と各点での接線の回る速さは変わらない。したがって曲率 $\kappa=\left\vert \bm{T}'\right\vert$ は変わらない。

符号つき曲率は符号が反転する。$\tilde{\bm{r}}(t)=\bm{r}(-t)$ とおくと、導関数は次のようになる。

$$\tilde{\bm{r}}'(t)=-\bm{r}'(-t),\qquad \tilde{\bm{r}}''(t)=\bm{r}''(-t).$$

(6.2) の分子は1階微分と2階微分の積なので符号が反転し、分母は変わらない。したがって $\tilde\kappa_{\mathrm s}(t)=-\kappa_{\mathrm s}(-t)$ となる。2. 6.1-2 導関数は次のとおりである。

$$x'=a(1-\cos t),\quad y'=a\sin t,\quad x''=a\sin t,\quad y''=a\cos t.$$

速さの2乗は $a^2(2-2\cos t)=4a^2\sin^2(t/2)$ である。アーチの上では $\sin(t/2)\ge0$ なので、速さはその平方根 $2a\sin(t/2)$ である。

$$\int_0^{2\pi}2a\sin\frac t2\,\mathrm{d} t=\Bigl[-4a\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi}=8a.$$

曲率の分子は次のようになる。

$$x'y''-x''y'=a^2\bigl[(1-\cos t)\cos t-\sin^2t\bigr]=a^2(\cos t-1)=-2a^2\sin^2\frac t2.$$

分母は速さの3乗 $8a^3\sin^3(t/2)$ なので、次を得る。

$$\kappa_{\mathrm s}(t)=-\frac{2a^2\sin^2(t/2)}{8a^3\sin^3(t/2)}=-\frac{1}{4a\sin(t/2)}.$$

負号は、アーチを $t$ の増える向きにたどると右へ曲がることを表す。頂上では符号つき曲率が $-1/(4a)$ なので、曲率半径は $4a$ である。3. 6.1-3 $f(x)=\cosh x$ とすると、導関数は $f'=\sinh x,\ f''=\cosh x$ である。恒等式 $1+\sinh^2x=\cosh^2x$ と系 6.7 から、次を得る。

$$\kappa_{\mathrm s}=\frac{\cosh x}{\cosh^3x}=\frac{1}{\cosh^2x}.$$

$x=0$ での点は $(0,1)$ である。そこでの単位接ベクトルは $(1,0)$ で、それを直角だけ回したベクトルは $(0,1)$ である。符号つき曲率は1なので、(6.4) から中心は $(0,2)$、半径は1である。4. 6.1-4 (a) 符号つき曲率 $\theta'$ がつねに 0 なら、接線の角は定数 $\theta_0$ である。単位接ベクトルが一定なので、曲線は次の形になり、線分である。

$$\bm{r}(s)=\bm{r}(s_0)+(s-s_0)(\cos\theta_0,\sin\theta_0).$$

(b) 符号つき曲率が定数 $c$ のとき、点 $\bm{c}(s)=\bm{r}(s)+\bm{N}_{\mathrm s}(s)/c$ を考える。$\bm{N}_{\mathrm s}=(-\sin\theta,\cos\theta)$ を微分すると、$\bm{N}_{\mathrm s}'=-\theta'\bm{T}=-c\bm{T}$ である。

$$\bm{c}'=\bm{T}+\frac1c(-c\bm{T})=\bm{0}.$$

したがって曲率中心 $\bm{c}$ は動かない。曲線の各点と $\bm{c}$ の距離は $\left\vert \bm{N}_{\mathrm s}\right\vert /\left\vert c\right\vert =1/\left\vert c\right\vert$ である。したがって曲線は、中心 $\bm{c}$、半径 $1/\left\vert c\right\vert$ の円に含まれる。5. 6.2-1 例題 6.2 の結果を $\bm{\omega}=\tau\bm{T}+\kappa\bm{B}$ に代入する。

$$\bm{\omega}=\frac{b}{c^3}(-a\sin t,\,a\cos t,\,b)+\frac{a}{c^3}(b\sin t,\,-b\cos t,\,a)=\frac{1}{c^3}(0,\,0,\,a^2+b^2)=\frac{1}{c}\,\hat{\bm{z}}.$$

このベクトルはパラメータによらず $z$ 軸の向きを向き、大きさは $1/c=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$ である。螺旋の標構は、軸のまわりに弧長あたり一定の角速度 $1/c$ で回るだけである。6. 6.2-2 導関数は次のとおりである。

$$\bm{r}'=(1,2t,3t^2),\qquad \bm{r}''=(0,2,6t),\qquad \bm{r}'''=(0,0,6).$$

外積は次になる。

$$\bm{r}'\times\bm{r}''=(2t\cdot6t-3t^2\cdot2,\;3t^2\cdot0-1\cdot6t,\;1\cdot2-2t\cdot0)=(6t^2,\,-6t,\,2).$$

その長さの2乗は $4(9t^4+9t^2+1)$ である。

(6.9) から次を得る。

$$\kappa(t)=\frac{2\sqrt{9t^4+9t^2+1}}{\left(1+4t^2+9t^4\right)^{3/2}},\qquad \tau(t)=\frac{(6t^2,-6t,2)\cdot(0,0,6)}{4(9t^4+9t^2+1)}=\frac{3}{9t^4+9t^2+1}.$$

$t=0$ では曲率が2、捩率が3である。7. 6.2-3 1階導関数は次のとおりで、その長さの2乗は $3\mathrm{e}^{2t}$ である。

$$\bm{r}'=\mathrm{e}^t(\cos t-\sin t,\,\sin t+\cos t,\,1).$$

2階と3階の導関数は次のとおりである。

$$\bm{r}''=\mathrm{e}^t(-2\sin t,\,2\cos t,\,1),\qquad \bm{r}'''=\mathrm{e}^t(-2\sin t-2\cos t,\,2\cos t-2\sin t,\,1).$$

外積は次になり、その長さの2乗は $6\mathrm{e}^{4t}$ である。

$$\bm{r}'\times\bm{r}''=\mathrm{e}^{2t}(\sin t-\cos t,\,-\sin t-\cos t,\,2).$$

$\bm{r}'''$ との内積を成分ごとに計算する。第1成分どうしと第2成分どうしの積の和は、次のように打ち消す。

$$-2(\sin t-\cos t)(\sin t+\cos t)-2(\sin t+\cos t)(\cos t-\sin t)=0.$$

第3成分の積は2なので、内積は $(\bm{r}'\times\bm{r}'')\cdot\bm{r}'''=2\mathrm{e}^{3t}$ である。

(6.9) から次を得る。

$$\kappa=\frac{\sqrt6\,\mathrm{e}^{2t}}{3\sqrt3\,\mathrm{e}^{3t}}=\frac{\sqrt2}{3}\mathrm{e}^{-t},\qquad \tau=\frac{2\mathrm{e}^{3t}}{6\mathrm{e}^{4t}}=\frac13\mathrm{e}^{-t}.$$

比は $\tau/\kappa=1/\sqrt2$ で一定である。これは 6.3-4 で示す性質の例になっている。8. 6.2-4 仮定から、各 $s$ で次の式を満たす関数 $\lambda(s)$ がある。

$$\bm{r}(s)+\lambda(s)\bm{N}(s)=\bm{c}.$$

$\lambda=(\bm{c}-\bm{r})\cdot\bm{N}$ と書けるので、$\lambda$ は滑らかである。両辺を $s$ で微分し、(6.6) を使う。

$$\bm{T}+\lambda'\bm{N}+\lambda(-\kappa\bm{T}+\tau\bm{B})=\bm{0}.$$

3本の基底ベクトルの係数をそれぞれ 0 とおくと、次の3式を得る。

$$1-\lambda\kappa=0,\qquad \lambda'=0,\qquad \lambda\tau=0.$$

第1式から $\lambda=1/\kappa$ は 0 でない。第2式から $\lambda$ は定数なので、曲率も定数である。第3式から捩率は 0 なので、定理 6.12 により曲線は平面に含まれる。曲率が一定の平面曲線は、6.1-4(b) により円弧である。9. 6.3-1 鏡映の行列は $Q=\mathrm{diag}(1,1,-1)$ で、その行列式は $-1$ である。命題 6.16 から、曲率は変わらず、捩率は符号が反転する。螺旋で確かめる。写した曲線は $(a\cos t,\,a\sin t,\,-bt)$ である。これは例題 6.2 で $b$ を $-b$ に替えたものである。例題の結果から、曲率は $a/c^2$ のまま、捩率は $-b/c^2$ となり、一致する。10. 6.3-2 接線の角は $\theta(s)=\int_1^s\mathrm{d} u/u=\ln s$ である。したがって単位接ベクトルは $(\cos\ln s,\,\sin\ln s)$ である。次の原始関数が得られる。

$$\int\cos(\ln s)\,\mathrm{d} s=\frac s2\bigl(\cos\ln s+\sin\ln s\bigr),\qquad \int\sin(\ln s)\,\mathrm{d} s=\frac s2\bigl(\sin\ln s-\cos\ln s\bigr).$$

たとえば1つ目の右辺を微分すると、次のように被積分関数に戻る。

$$\frac12(\cos\ln s+\sin\ln s)+\frac12(-\sin\ln s+\cos\ln s)=\cos\ln s.$$

積分定数を 0 に選ぶと、原点からの距離の2乗は $s^2/2$ になり、条件を満たす。極座標で書くと、偏角は $\varphi=\ln s-\pi/4$、動径は $r=s/\sqrt2$ である。$s=\mathrm{e}^{\varphi+\pi/4}$ を代入すると次になる。

$$r=\frac{\mathrm{e}^{\pi/4}}{\sqrt2}\,\mathrm{e}^{\varphi}.$$

これは対数螺旋である。動径と接線のなす角は $\theta-\varphi=\pi/4$ で一定である。11. 6.3-3 曲率と捩率の2乗の和は $(16+9)/625=1/25$ である。§6.3 の式から次を得る。

$$a=\frac{\kappa}{\kappa^2+\tau^2}=\frac{4}{25}\times25=4,\qquad b=\frac{\tau}{\kappa^2+\tau^2}=3.$$

曲線は剛体運動を除いて $\bm{r}(t)=(4\cos t,\,4\sin t,\,3t)$ であり、弧長は $s=5t$ である。半径は4、ピッチは $2\pi b=6\pi$ である。捩率が正なので、右巻きである。12. 6.3-4 $c$ は定数なので、Frenet–Serret の式から次が成り立つ。

$$\bm{u}'=c\bm{T}'+\bm{B}'=c\kappa\bm{N}-\tau\bm{N}=(c\kappa-\tau)\bm{N}=\bm{0}.$$

最後の等号で、仮定 $\tau=c\kappa$ を使った。したがって $\bm{u}$ は一定のベクトルで、その長さは $\sqrt{c^2+1}$ である。内積 $\bm{T}\cdot\bm{u}=c$ も一定である。なす角 $\alpha$ は次の式で決まり、一定である。

$$\cos\alpha=\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}.$$ 13. 6.4-1 一定の速さなので、接線成分は 0 である。法線成分は (6.14) から $v^2\kappa=20^2/50\,\mathrm{m/s^2}=8.0\,\mathrm{m/s^2}$ で、カーブの中心を向く。14. 6.4-2 螺旋の定数は $a=1.0\,\mathrm{cm}$ と $b=p/(2\pi)=0.0796\,\mathrm{cm}$ である。1巻きの長さは次のとおりで、10巻きでは $63.0\,\mathrm{cm}$ である。

$$\sqrt{(2\pi R)^2+p^2}=\sqrt{6.283^2+0.50^2}\,\mathrm{cm}=6.30\,\mathrm{cm}.$$

$a^2+b^2=1.00634\,\mathrm{cm^2}$ なので、例題 6.2 の式から次を得る。

$$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2}=0.994\,\mathrm{cm^{-1}},\qquad \tau=\frac{b}{a^2+b^2}=0.0791\,\mathrm{cm^{-1}}.$$

ピッチが半径より小さいので、曲率は円の値 $1/R$ に近く、捩率は小さい。15. 6.4-3 投げた点では、速さが $v_0=20\,\mathrm{m/s}$ である。重力加速度のうち速度に垂直な成分が法線成分で、$a_N=g\cos45^\circ=6.93\,\mathrm{m/s^2}$ である。(6.15) から、曲率半径は $400/6.93\,\mathrm m=57.7\,\mathrm m$ となる。最高点では速度が水平で、速さは $v_0\cos45^\circ=14.1\,\mathrm{m/s}$ である。重力はちょうど速度に垂直なので、法線成分は $g$ そのものである。したがって曲率半径は $200/9.8\,\mathrm m=20.4\,\mathrm m$ となる。16. 6.4-4 命題 6.18 の式をもう1回 $t$ で微分する。標構の時間微分は次のとおりである。

$$\frac{\mathrm{d}\bm{T}}{\mathrm{d} t}=v\kappa\bm{N},\qquad \frac{\mathrm{d}\bm{N}}{\mathrm{d} t}=v(-\kappa\bm{T}+\tau\bm{B}).$$

これを使うと、加加速度は次になる。

$$\dddot{\bm{r}}=\ddot v\,\bm{T}+\dot v\,v\kappa\,\bm{N}+\frac{\mathrm{d}(v^2\kappa)}{\mathrm{d} t}\bm{N}+v^2\kappa\cdot v(-\kappa\bm{T}+\tau\bm{B}).$$

従法線を含む項は最後の1つだけなので、$\dddot{\bm{r}}\cdot\bm{B}=v^3\kappa\tau$ である。

一方、速度と加速度の外積は次になる。

$$\dot{\bm{r}}\times\ddot{\bm{r}}=v\bm{T}\times(\dot v\bm{T}+v^2\kappa\bm{N})=v^3\kappa\,\bm{B}.$$

したがって次が成り立つ。

$$(\dot{\bm{r}}\times\ddot{\bm{r}})\cdot\dddot{\bm{r}}=v^3\kappa\cdot v^3\kappa\tau=v^6\kappa^2\tau,\qquad \left\vert \dot{\bm{r}}\times\ddot{\bm{r}}\right\vert ^2=v^6\kappa^2.$$

割り算をすれば求める式になる。これは (6.9) を時刻で書いたものである。