この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第6章 §6.5

曲線の曲がり方は、単位接ベクトルが弧長あたりどれだけ回るかで測られ、その量が曲率である。平面では、回る向きまで区別した符号つき曲率 $\kappa_{\mathrm s}=\mathrm{d}\theta/\mathrm{d} s$ を使う。これは媒介変数表示の公式 (6.2) で計算することができる。各点で曲線に2次まで接する円が接触円で、その半径が曲率半径である。

空間曲線では、Frenet 標構の動きが Frenet–Serret の式 (6.6) で表される。新しく現れる捩率は接触平面の回る速さで、捩率がつねに 0 であることは曲線が平面に収まることと同値である。標構全体は、Darboux ベクトル $\tau\bm{T}+\kappa\bm{B}$ を角速度とする剛体のように回る。

曲線論の基本定理によって、曲率と捩率は剛体運動を除いて曲線を完全に決める。存在は、反対称な係数をもつ線形常微分方程式の解として示した。一意性は、2つの標構の内積の和が保存されることから示した。

物理では、加速度の法線成分 $v^2\kappa$ と一様磁場中の螺旋運動の曲率・捩率を、この枠組みで読んだ。コイルばねと道路の緩和曲線も、曲率と捩率の言葉で説明することができる。

次の第7章では、曲面の上にある曲線の曲率ベクトル $\kappa\bm{N}$ を、曲面の法線方向の成分と接平面内の成分に分ける。法線方向の成分から第二基本形式と法曲率が定まり、Meusnier の定理はこの分解から従う。接平面内の成分が測地的曲率で、それが 0 の曲線が第10章の測地線である。