驚異の定理

物理のための微分幾何入門　第8章 §8.4　★★★ Gauss 曲率は住人が自分の面の中だけで測れる。地図が必ず歪むこと、薄い板の曲がり方、一般相対論の出発点がここから出る

定理と証明

ここまでの準備で、驚異の定理はほとんど1行で示せる。

証明

(8.1) の定義と Gauss の方程式の2次元の形 (8.15) から次の式を得る。

$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}=\frac{R_{1212}}{EG-F^2}$$

$R_{1212}=g_{1m}R^m{}_{212}$ は、(8.12) により Christoffel 記号とその1階導関数で書ける。Christoffel 記号は定理 8.7 により $g_{ij}$ とその1階導関数で書ける。したがって $R_{1212}$ は、$g_{ij}$ とその2階までの導関数で書ける。最後の主張は、内在的な量が局所等長写像で保たれること（§8.1）による。

定理の意外さは定義を見比べると分かる。$K=\kappa_1\kappa_2$ の因子 $\kappa_1,\kappa_2$ は、それぞれ単独では内在的でない。円柱の $\kappa_1=1/a$ は、平面の対応する主曲率 0 と違うからである。

ところが積をとると、法線の向きに依存する部分が消えて、計量だけで決まる量が残る。平均曲率 $H=(\kappa_1+\kappa_2)/2$ にはこれが起きない。

直交座標系での公式

実際の計算には、直交座標系（$F=0$）での明示的な式が便利である。(8.12) で $(l,i,j,k)=(1,2,1,2)$ とし、(8.10) を入れて展開する。

$$\begin{aligned} R^1{}_{212} &=\partial_u\Gamma^1{}_{22}-\partial_v\Gamma^1{}_{12}+\Gamma^1{}_{11}\Gamma^1{}_{22}+\Gamma^1{}_{12}\Gamma^2{}_{22}-\Gamma^1{}_{21}\Gamma^1{}_{12}-\Gamma^1{}_{22}\Gamma^2{}_{12}\\ &=-\frac{G_{uu}}{2E}+\frac{E_uG_u}{2E^2}-\frac{E_{vv}}{2E}+\frac{E_v^2}{2E^2}-\frac{E_uG_u}{4E^2}+\frac{E_vG_v}{4EG}-\frac{E_v^2}{4E^2}+\frac{G_u^2}{4EG}\\ &=-\frac{E_{vv}+G_{uu}}{2E}+\frac{E_uG_u+E_v^2}{4E^2}+\frac{E_vG_v+G_u^2}{4EG}. \end{aligned}$$

2行目の各項は、1行目の6項を順に計算したもので、はじめの2項は商の微分から2項ずつ出る。

直交座標系では $R_{1212}=E\,R^1{}_{212}$ と $g=EG$ が成り立つ。したがって $K=R^1{}_{212}/G$ となる。これを整理すると、次の見通しのよい形にまとまる（展開して上の式と一致することは verify で確かめてある）。

$$K=-\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left[\frac{\partial}{\partial u}\Bigl(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\Bigr)+\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\Bigr)\right]\tag{8.18}$$

よく使う2つの特別な場合を挙げる。$E=1,\ G=\rho(u)^2$ の回転面型の計量では、$\sqrt{EG}=\rho,\ G_u/\sqrt{EG}=2\rho'$ なので次の式になる。

$$K=-\frac{\rho''}{\rho}\tag{8.19}$$

$E=G=\lambda(u,v)$ の等角な計量では $\sqrt{EG}=\lambda$ である。平面の Laplace 作用素 $\Delta=\partial_u^2+\partial_v^2$ を使うと、次のように書ける（確認テスト 8.4-4）。

$$K=-\frac{1}{2\lambda}\,\Delta\log\lambda\tag{8.20}$$

地球の平面地図は必ず歪む

証明

球面の Gauss 曲率は $1/R^2$ で、平面の Gauss 曲率は 0 である。局所等長写像があれば定理 8.11 により両者は等しくなるので、矛盾する。

長さを $c$ 倍する写像は、計量を $c^2g_{ij}$ に取り替えた球面からの局所等長写像である。(8.8) の右辺は $g_{ij}$ を定数倍しても変わらないので、Christoffel 記号は変わらない。

そのため $R_{1212}=g_{1m}R^m{}_{212}$ は $c^2$ 倍になる。行列式 $g$ は $c^4$ 倍になる。したがって Gauss 曲率は $1/(c^2R^2)\ne0$ となり、やはり平面と一致しない。

この系により、地図を作る人は何かを諦めなければならない。角を保つ地図（等角図法）、面積を保つ地図（正積図法）、ある1点からの距離を保つ地図（正距方位図法）はそれぞれ作れる。しかし長さを全部保つ地図は作れない。

Mercator 図法の計量

航海用の地図として 1569 年に G. Mercator が発表した図法は、角を保つ地図の代表である。角が保たれると、羅針盤で一定の方位を保って進む航路（等角航路）が地図の上で直線になる。この性質が航海で重宝された理由である。

(8.3) から出発する。経度方向は $x=R\varphi$ とする。緯度方向の座標 $y$ は、計量が $\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ の関数倍になるように選ぶ。(8.3) を $\cos^2\psi$ でくくると、次のように書ける。

$$\mathrm{d} s^2=\cos^2\psi\Bigl(\frac{R^2\,\mathrm{d}\psi^2}{\cos^2\psi}+R^2\,\mathrm{d}\varphi^2\Bigr)$$

したがって $\mathrm{d} y=R\,\mathrm{d}\psi/\cos\psi$ とおけばよい。

これを $\psi=0$ で $y=0$ として積分する。

$$y=R\int_0^\psi\frac{\mathrm{d}\psi'}{\cos\psi'}=R\log\tan\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{\psi}{2}\Bigr),\qquad \mathrm{d} s^2=\cos^2\psi\,(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2)\tag{8.21}$$

$\cosh(y/R)=1/\cos\psi$ が成り立つ（確認テスト 8.4-3 の解答で示す）。したがって係数 $\lambda=\cos^2\psi=1/\cosh^2(y/R)$ は、$y$ だけの関数である。

Mercator 図法は角を保つので、小さな円は円のまま写る（図 8.3）。しかし (8.21) の係数 $\cos^2\psi$ が場所によって変わるので、縮尺は一定でない。系 8.12 により、これはどんな工夫をしても避けられない。

物理の例：ピザを折ると垂れない

切り分けたピザを手で持つと、先端が垂れ下がる。ところが、外側の縁（耳）を指で押して横向きに丸めると、先端は垂れずにまっすぐ伸びる（図 8.4）。これは驚異の定理の帰結として説明できる。

生地を薄い板とみなし、伸び縮みせずに曲がるだけと仮定する。伸び縮みしない変形は局所等長写像なので、驚異の定理により各点の $K$ は平らなときの値 0 のまま保たれる。耳を横に丸めると、横方向の主曲率 $\kappa_1$ が 0 でなくなる。$K=\kappa_1\kappa_2=0$ を保つには、もう一方の主曲率 $\kappa_2$ が 0 でなければならず、先端へ向かう方向には曲がれない。

物理の例：住人による曲率の測定

驚異の定理は、住人が曲率を測る手順も示唆する。曲面上の点 $p$ から曲面に沿った距離が $r$ の点の集まりを、測地円という。住人はその周の長さ $C(r)$ を測ればよい。半径 $R$ の球面では、測地円は北極を中心とする緯線に当たり、次の式になる。

$$C(r)=2\pi R\sin\frac{r}{R}=2\pi r\Bigl(1-\frac{r^2}{6R^2}+\cdots\Bigr)\tag{8.22}$$

北極から曲面に沿って距離 $r$ の緯線は、軸からの距離が $R\sin(r/R)$ だからである。

(8.22) の補正項に現れる $1/R^2$ は Gauss 曲率そのものである。一般の曲面でも、点 $p$ の Gauss 曲率を $K$ として次の式が成り立つ（Bertrand–Diguet–Puiseux の定理）。

$$C(r)=2\pi r\Bigl(1-\frac{K}{6}r^2+O(r^3)\Bigr)$$

証明には測地線を座標線にとる測地極座標が要るが、この巻では証明を省いて結果だけを使う。周の長さは住人が自分で測れる量なので、この式は驚異の定理の別の表れになっている。

一般相対論へ

驚異の定理の考え方は、外の空間を持たない時空に引き継がれる。4次元の時空を入れる5次元の「外」は物理的に存在しないので、時空の曲がりは計量だけから定義するしかない。(8.8) と (8.12) は、そのまま時空の Christoffel 記号と Riemann テンソルの定義になる。曲面の Gauss 曲率に当たる時空の曲がりが重力を表すことは、相対論入門 第8〜10章で扱う。

確認テスト

オリジナル

1. 8.4-1 球面の一部と円柱の一部は局所等長になりうるか。円錐の一部と平面の一部はどうか。理由を1行で述べよ。
2. 8.4-2 計量 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} u^2+\rho(u)^2\mathrm{d} v^2$ の Gauss 曲率が $-\rho''/\rho$ になることを、(8.18) から導け。また、$\rho=\mathrm{e}^{u}$ のときの $K$ を求めよ。
3. 8.4-3 Mercator 図法 (8.21) で $\cosh(y/R)=1/\cos\psi$ を示せ。長さの倍率が3倍になる緯度を求めよ。地球の半径を $R=6371\,\mathrm{km}$ とする。赤道から北緯 $60^\circ$ の緯線までの地図上の距離 $y$（縮尺を考えない値）と、地表に沿った実際の距離を比べよ。
4. 8.4-4 (8.18) で $E=G=\lambda$ とおいて (8.20) を導け。それを使って、確認テスト 8.2-3 の上半平面の計量の Gauss 曲率を求めよ。
5. 8.4-5 半径 $R$ の球面を考える。1点から曲面に沿った距離が $r$ 以下の領域の面積 $A(r)$ を求め、次の式を示せ。

$$A(r)=\pi r^2\Bigl(1-\frac{r^2}{12R^2}+\cdots\Bigr)$$

$R=6371\,\mathrm{km},\ r=100\,\mathrm{km}$ のとき、平面の円の面積 $\pi r^2$ との差を求めよ。