この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第8章 §8.5

この章では、曲面の性質を、住人が自分の面の中だけで測れるものと、外の空間から見て初めて分かるものに分けた。前者を内在的な量と呼び、第一基本形式 $g_{ij}$ とその導関数で決まるものと定義した。内在的な量は局所等長写像で保たれ、長さ・角・面積がその基本の例である。円柱と平面の比較から、平均曲率と法曲率は内在的でないことが分かった。

次に、Gauss の標構 $(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\bm{n})$ の微分を展開し、接線成分の係数として Christoffel 記号を導入した。外の空間のベクトルで定義したにもかかわらず、Christoffel 記号は公式 (8.8) により計量だけで書ける。曲面に沿う質点の加速度 (8.11) では、Christoffel 記号の項が遠心力や Coriolis 力の形で現れた。

標構方程式の両立条件として、Gauss の方程式 (8.13) と Codazzi の方程式 (8.14) を導いた。2次元の Gauss の方程式 $R_{1212}=LN-M^2$ の左辺は計量だけで決まり、右辺は第二基本形式で書かれている。この1本の式から驚異の定理 $K=R_{1212}/g$ が出た。Codazzi の方程式からは、臍点だけの曲面が平面か球面に限ることが出た。

驚異の定理の帰結として、地球の縮尺一定の平面地図が作れないこと、Mercator 図法の縮尺の倍率 $1/\cos\psi$、ピザを横に丸めると先端が垂れないことを導いた。測地円の周の不足 (8.22) は、住人が曲率を測る具体的な手順になる。

第9章では、この章の Christoffel 記号を使って、接ベクトル場を曲面の中で微分する共変微分を定義する。(8.11) の接線成分は、速度ベクトルの共変微分にほかならない。第10章では、その接線成分を 0 とおいた測地線の方程式を調べ、第11章では (8.12) の $R^l{}_{ijk}$ を一般の次元の Riemann テンソルとして扱う。第15章の Gauss–Bonnet の定理は、この章の Gauss 曲率を曲面全体で積分すると位相で決まる数になることを示す。