確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第8章 §8.6

8.1 内在的な量と局所等長

1. 8.1-1 (a)・(b)・(c) は命題 8.4 により必ず保たれる。(d)・(e) は保たれるとは限らない。半径 $a$ の円柱と平面は局所等長である。しかし平均曲率は円柱で $1/(2a)$、平面で 0 と異なる。円周方向の法曲率も、円柱で $1/a$、平面で 0 と異なる。
2. 8.1-2 偏微分は次のとおりである。

$$\bm{r}_s=(\sin\alpha\cos\varphi,\ \sin\alpha\sin\varphi,\ \cos\alpha),\qquad \bm{r}_\varphi=s\sin\alpha(-\sin\varphi,\ \cos\varphi,\ 0)$$

$E=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\ F=0,\ G=s^2\sin^2\alpha$ である。線素を $\mathrm{d}\ell$ と書くと（座標の $s$ と区別する）、第一基本形式は次のようになる。

$$\mathrm{d}\ell^2=\mathrm{d} s^2+s^2\sin^2\alpha\,\mathrm{d}\varphi^2$$

平面の極座標の計量は $\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\vartheta^2$ である。$\rho=s,\ \vartheta=\varphi\sin\alpha$ を入れると $\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\vartheta^2=\mathrm{d} s^2+s^2\sin^2\alpha\,\mathrm{d}\varphi^2$ となり、円錐の計量と一致する。命題 8.2 により、この写像は局所等長写像である。

経度が1周すると、$\vartheta$ は $0\le\vartheta<2\pi\sin\alpha$ を動く。したがって切り開いた扇形の中心角は $2\pi\sin\alpha$ である。3. 8.1-3 地図の上の計量は $\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2=R^2\mathrm{d}\varphi^2+R^2\mathrm{d}\psi^2$ である。東西方向（$\mathrm{d}\psi=0$）の微小な長さは、地図の上で $R\,\mathrm{d}\varphi$ である。地球の上では $R\cos\psi\,\mathrm{d}\varphi$ なので、比は $1/\cos\psi$ になる。緯度 $45^\circ$ では $\sqrt2\approx1.414$ 倍になる。緯度 $60^\circ$ では2倍になる。南北方向の倍率は1なので、小さな領域の面積の倍率は $1\times1/\cos\psi=1/\cos\psi$ である。4. 8.1-4 局所等長写像を $f$ とし、命題 8.2 の座標をとると、対応する点で $g'_{ij}=g_{ij}$ である。交わる2本の曲線の、交点での座標の速度を $\xi,\eta$ とする。この座標では、像の曲線の座標の速度も同じ $\xi,\eta$ である。なす角は命題 8.4 の証明の $\cos\vartheta$ の式で決まる。その式で $g_{ij}$ を $g'_{ij}$ に替えても値は変わらない。座標の領域 $D$ の像の面積は $\iint_D\sqrt{\det g'}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ である。$\det g'=\det g$ なので、もとの面積 $\iint_D\sqrt{\det g}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$ と等しい。

8.2 Christoffel 記号

1. 8.2-1 偏微分の順序が交換できるので $\bm{r}_{ij}=\bm{r}_{ji}$ であり、その接線成分の係数も等しいからである。直交直線座標では $g_{ij}=\delta_{ij}$ が定数なので、(8.8) によりすべての Christoffel 記号は 0 である。
2. 8.2-2 $u=r,\ v=\theta$、$E=1,\ G=r^2$ を (8.10) に入れる。$E$ は定数なので $\Gamma^r{}_{rr}=\Gamma^r{}_{r\theta}=\Gamma^\theta{}_{rr}=0$ である。$G_\theta=0$ なので $\Gamma^\theta{}_{\theta\theta}=0$ である。残りは次の2つ（と対称な成分）である。

$$\Gamma^r{}_{\theta\theta}=-\frac{G_r}{2E}=-r,\qquad \Gamma^\theta{}_{r\theta}=\Gamma^\theta{}_{\theta r}=\frac{G_r}{2G}=\frac{1}{r}$$

(8.11) の接線成分を $k=r$ と $k=\theta$ について書く。$k=\theta$ では、対称な2つの成分 $\Gamma^\theta{}_{r\theta}=\Gamma^\theta{}_{\theta r}$ が同じ寄与をする。

$$\ddot r+\Gamma^r{}_{\theta\theta}\dot\theta^2=\ddot r-r\dot\theta^2,\qquad \ddot\theta+2\Gamma^\theta{}_{r\theta}\dot r\dot\theta=\ddot\theta+\frac{2}{r}\dot r\dot\theta$$ 3. 8.2-3 計量 $E=G=1/y^2,\ F=0$ は横の座標 $x$ によらない。$E_x=G_x=0$、$E_y=G_y=-2/y^3$ を (8.10) に入れる。

$$\begin{aligned} &\Gamma^x{}_{xx}=0,\quad \Gamma^x{}_{xy}=\frac{E_y}{2E}=-\frac1y,\quad \Gamma^x{}_{yy}=-\frac{G_x}{2E}=0,\\ &\Gamma^y{}_{xx}=-\frac{E_y}{2G}=\frac1y,\quad \Gamma^y{}_{xy}=\frac{G_x}{2G}=0,\quad \Gamma^y{}_{yy}=\frac{G_y}{2G}=-\frac1y. \end{aligned}$$

対称な成分 $\Gamma^x{}_{yx}=-1/y$ も 0 でない。4. 8.2-4 (8.11) で時間 $\tau$ を弧長 $s$ に読み替えると、次の式になる。

$$\frac{\mathrm{d}^2\bm{r}}{\mathrm{d} s^2}=\bigl(u''^k+\Gamma^k{}_{ij}u'^iu'^j\bigr)\bm{r}_k+h_{ij}u'^iu'^j\,\bm{n}$$

接ベクトルは法線と直交するので、$\bm{n}$ との内積をとると法線成分は $h_{ij}u'^iu'^j$ である。

弧長で表しているので $g_{ij}u'^iu'^j=1$ が成り立つ。したがって $h_{ij}u'^iu'^j=\dfrac{h_{ij}u'^iu'^j}{g_{ij}u'^iu'^j}=\mathrm{II}/\mathrm{I}$ である。右辺は第7章の法曲率の式で、加速度の法線成分が法曲率に一致する。

8.3 Gauss の方程式と Codazzi の方程式

1. 8.3-1 Gauss の方程式は $R_{1212}=LN-M^2$ の1本である。Codazzi の方程式は $(i,j,k)=(1,2,1),(2,1,2)$ の2本で、合わせて3本である。
2. 8.3-2 (a) はなりうる。定数の計量なので Christoffel 記号はすべて 0 で、$R_{1212}=0$ である。Gauss の方程式の右辺も $LN-M^2=1\cdot0-0=0$ で成り立つ。$h_{ij}$ が定数で Christoffel 記号が 0 なので、Codazzi の方程式の各項は 0 である。具体的には、半径1の円柱 $\bm{r}(u,v)=(\cos u,\ \sin u,\ v)$ がこれに当たる。$E=1,\ F=0,\ G=1$ で、法線 $\bm{r}_u\times\bm{r}_v/\left\vert \bm{r}_u\times\bm{r}_v\right\vert =(\cos u,\ \sin u,\ 0)$ は外向きである。$\bm{r}_{uu}=-(\cos u,\sin u,0)$ なので $L=-1$ となる。法線を内向きに取り替えれば $L=1,\ M=N=0$ になる。 (b) はなりえない。計量は (a) と同じなので $R_{1212}=0$ だが、$LN-M^2=1$ で Gauss の方程式が成り立たない。
3. 8.3-3 例題 8.1 の偏微分から、外積は次のとおりである。

$$\bm{r}_u\times\bm{r}_v=\cosh v\,(\cos u,\ \sin u,\ -\sinh v),\qquad \left\vert \bm{r}_u\times\bm{r}_v\right\vert =\cosh^2v$$

よって $\bm{n}=(\cos u,\ \sin u,\ -\sinh v)/\cosh v$ である。

2階微分は次のとおりである。

$$\bm{r}_{uu}=-\cosh v(\cos u,\sin u,0),\quad \bm{r}_{uv}=\sinh v(-\sin u,\cos u,0),\quad \bm{r}_{vv}=\cosh v(\cos u,\sin u,0)$$

$\bm{n}$ との内積から $L=-1,\ M=0,\ N=1$ を得る。第一基本形式は $E=G=\cosh^2v,\ F=0$ である。

Codazzi の第1式は、左辺が $L_v=0$、右辺が $\frac{E_v}{2}\bigl(\frac{-1}{\cosh^2v}+\frac{1}{\cosh^2v}\bigr)=0$ で成り立つ。第2式は、左辺が $N_u=0$、右辺も $G_u=0$ なので 0 で成り立つ。$LN-M^2=-1$ なので $K=-1/\cosh^4v$ である。

確認テスト 8.4-4 の (8.20) に $\lambda=\cosh^2v$ を入れると、$\Delta\log\lambda=2/\cosh^2v$ である。計量から求めた $K$ も $-1/\cosh^4v$ となり、Gauss の方程式とも整合する。4. 8.3-4 Weingarten の公式 (8.7) で $h^k{}_i=g^{kl}h_{li}=0$ なので、$\bm{n}_1=\bm{n}_2=0$ である。曲面は連結なので $\bm{n}$ は定数ベクトル $\bm{n}_0$ である。関数 $\bm{r}\cdot\bm{n}_0$ を微分すると $\bm{r}_i\cdot\bm{n}_0=0$ なので、この関数も定数である。その定数を $c$ とすると、曲面は平面 $\bm{x}\cdot\bm{n}_0=c$ に含まれる。これは定理 8.9 の $k=0$ の場合でもある。

8.4 驚異の定理

1. 8.4-1 球面と円柱は局所等長になりえない。球面の Gauss 曲率は正で円柱は 0 なので、定理 8.11 に反するからである。円錐と平面は（頂点を除いて）局所等長になる。確認テスト 8.1-2 で写像を具体的に作った（どちらも $K=0$ で、定理と矛盾しない）。
2. 8.4-2 $E=1,\ G=\rho^2$ なので、$\sqrt{EG}=\rho,\ E_v=0,\ G_u=2\rho\rho'$ である。(8.18) の括弧の中は $\partial_u(2\rho\rho'/\rho)=2\rho''$ だけになる。

$$K=-\frac{1}{2\rho}\cdot2\rho''=-\frac{\rho''}{\rho}$$

$\rho=\mathrm{e}^u$ では $K=-\rho''/\rho=-1$ である。3. 8.4-3 $\theta=\pi/4+\psi/2,\ t=\tan\theta$ とおくと $y/R=\log t$ である。したがって $\cosh(y/R)=(t+1/t)/2$ であり、$t+1/t$ は次のように変形できる。

$$t+\frac1t=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{2}{\sin2\theta}$$

$\sin2\theta=\sin(\pi/2+\psi)=\cos\psi$ なので、$\cosh(y/R)=1/\cos\psi$ を得る。

長さの倍率 $1/\cos\psi$ が3倍になるのは、$\cos\psi=1/3$ のときである。すなわち緯度 $\psi\approx70.53^\circ$ である。北緯 $60^\circ$ では $y=R\log\tan75^\circ\approx6371\times1.3170\,\mathrm{km}\approx8390\,\mathrm{km}$ である。地表に沿った実際の距離は経線の弧の長さ $R\cdot\pi/3\approx6672\,\mathrm{km}$ で、地図の上の距離は約 1.26 倍になる。4. 8.4-4 $E=G=\lambda$ とおくと $\sqrt{EG}=\lambda$ である。したがって $G_u/\sqrt{EG}=\lambda_u/\lambda=\partial_u\log\lambda$ となる。同様に $E_v/\sqrt{EG}=\partial_v\log\lambda$ である。(8.18) に入れると次の式になる。

$$K=-\frac{1}{2\lambda}\bigl(\partial_u^2\log\lambda+\partial_v^2\log\lambda\bigr)=-\frac{1}{2\lambda}\,\Delta\log\lambda$$

上半平面の計量では $\lambda=1/y^2$ で、$\log\lambda=-2\log y$ である。$\Delta\log\lambda=\partial_y^2(-2\log y)=2/y^2$ となる。よって $K=-\frac{y^2}{2}\cdot\frac{2}{y^2}=-1$ で、上半平面の計量は負の定曲率 $-1$ を持つ。5. 8.4-5 中心を北極にとると、領域は北極からの角 $\theta\le r/R$ の球冠である。面積要素 $R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ を積分する。

$$A(r)=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{r/R}R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=2\pi R^2\Bigl(1-\cos\frac{r}{R}\Bigr)$$

$1-\cos x=x^2/2-x^4/24+\cdots$ を入れると、次のように展開できる。

$$A(r)=2\pi R^2\Bigl(\frac{r^2}{2R^2}-\frac{r^4}{24R^4}+\cdots\Bigr)=\pi r^2\Bigl(1-\frac{r^2}{12R^2}+\cdots\Bigr)$$

差は主要項で $\pi r^4/(12R^2)=\pi\times10^8/(12\times6371^2)\,\mathrm{km^2}\approx0.645\,\mathrm{km^2}$ である。平面の円の面積 $\pi r^2\approx31416\,\mathrm{km^2}$ に対して $2\times10^{-5}$ 程度の割合で、球面の円の方が狭い。