対称性と Bianchi 恒等式

接続の成分は座標の取り替え $x\to y$ で次のように変わる（第4章 §4.4）。

$$\Gamma'^\rho{}_{\mu\nu}=\frac{\partial y^\rho}{\partial x^\lambda}\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^\nu}\Gamma^\lambda{}_{\alpha\beta} -\frac{\partial x^\alpha}{\partial y^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial y^\nu}\frac{\partial^2y^\rho}{\partial x^\alpha\partial x^\beta}.$$

新しい座標を $y^\rho=(x^\rho-x^\rho_p)+\tfrac12\Gamma^\rho{}_{\alpha\beta}(p)(x^\alpha-x^\alpha_p)(x^\beta-x^\beta_p)$ と選ぶ。$p$ での1階微分は単位行列で、2階微分は $\Gamma^\rho{}_{\alpha\beta}(p)$ である（下の添字の対称性を使う）。したがって $p$ で $\Gamma'=\Gamma-\Gamma=0$ である。

(11.9) は定義 (11.3) の形そのものから従う（確認テスト 11.1-1）。

(11.10) には計量との両立 $\nabla g=0$ を使う。$g_{\rho\sigma}$ に交換子を作用させると左辺は $0$ で、右辺は下の添字2つに (11.5) の項が付く。

$$0=[\nabla_\mu,\nabla_\nu]g_{\rho\sigma}=-R^\lambda{}_{\rho\mu\nu}g_{\lambda\sigma}-R^\lambda{}_{\sigma\mu\nu}g_{\rho\lambda}=-R_{\sigma\rho\mu\nu}-R_{\rho\sigma\mu\nu}.$$

(11.11) は補題 11.5 の座標で示す。$p$ では $\Gamma=0$ なので、(11.3) の積の項が落ちて次の形になる。

$$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}(p)=\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}.$$

$(\sigma,\mu,\nu)$ を巡回させて足すと、6項は次のように組になって消える。

$$(\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}) +(\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\sigma\mu}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}) +(\partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}-\partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\nu\mu})=0.$$

ここで下の添字の対称性を使った。テンソルの式なので、1つの座標で成り立てばすべての座標で成り立つ。添字を下げても式の形は変わらない。

(11.12) は上の3つから代数で導く。第1 Bianchi の左辺を $C_{\rho\sigma\mu\nu}$ と書き、次の組み合わせを作る。

$$C_{\rho\sigma\mu\nu}+C_{\sigma\rho\nu\mu}-C_{\mu\nu\rho\sigma}-C_{\nu\mu\sigma\rho}.$$

12項を書き出し、(11.9)・(11.10) で添字を並べ替える。すると $R_{\sigma\rho\nu\mu}=R_{\rho\sigma\mu\nu}$ と $R_{\nu\mu\sigma\rho}=R_{\mu\nu\rho\sigma}$ が残り、ほかの8項は次の4組で打ち消し合う。

$$R_{\rho\mu\nu\sigma}=R_{\mu\rho\sigma\nu},\quad R_{\rho\nu\sigma\mu}=R_{\nu\rho\mu\sigma},\quad R_{\sigma\nu\mu\rho}=R_{\nu\sigma\rho\mu},\quad R_{\sigma\mu\rho\nu}=R_{\mu\sigma\nu\rho}.$$

組み合わせ全体は $2R_{\rho\sigma\mu\nu}-2R_{\mu\nu\rho\sigma}$ に等しい。$C=0$ だから、これは $0$ である。

補題 11.5 の座標で点 $p$ を見る。$p$ では $\Gamma=0$ なので、共変微分は偏微分に等しい。さらに (11.3) の積の項 $\Gamma\Gamma$ の微分は、積の微分の公式からどの項にも $\Gamma(p)=0$ が掛かるので消える。

したがって $p$ で $\nabla_\lambda R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\lambda\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\lambda\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}$ である。$(\lambda,\mu,\nu)$ を巡回させて足すと、6項は次のように組になる。

$$(\partial_\lambda\partial_\mu-\partial_\mu\partial_\lambda)\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma} +(\partial_\mu\partial_\nu-\partial_\nu\partial_\mu)\Gamma^\rho{}_{\lambda\sigma} +(\partial_\nu\partial_\lambda-\partial_\lambda\partial_\nu)\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}=0.$$

偏微分は交換するので、どの組も $0$ である。テンソルの式なので、すべての座標で成り立つ。

(11.9)・(11.10) から、$R_{\rho\sigma\mu\nu}$ は反対称な組の対 $([\rho\sigma],[\mu\nu])$ を添字とする行列とみなせる。反対称な組の数は $M=n(n-1)/2$ である。(11.12) からこの行列は対称なので、成分は $M(M+1)/2$ 個である。

ここに第1 Bianchi 恒等式が新しい条件を足すのは、4つの添字がすべて異なるときだけである。添字が重なる場合を確かめる。$\sigma=\mu$ なら、(11.11) の左辺は次の形になる。

$$R_{\rho\sigma\sigma\nu}+R_{\rho\sigma\nu\sigma}+R_{\rho\nu\sigma\sigma}.$$

(11.9) から第1項と第2項は打ち消し合い、第3項は $0$ なので、条件は自動的に成り立つ。

$\rho=\sigma$ なら第1項は (11.10) で $0$ になる。残りは $R_{\rho\mu\nu\rho}+R_{\rho\nu\rho\mu}$ である。(11.12) と (11.9) から $R_{\rho\nu\rho\mu}=R_{\rho\mu\rho\nu}=-R_{\rho\mu\nu\rho}$ なので、これも自動的に $0$ になる。ほかの重なり方も同じである。

4つの添字がすべて異なるとき、上の3つの対称性のもとで巡回和は4つの添字について完全反対称になる（確認テスト 11.2-4）。したがって相異なる4つの添字の組1つにつき条件は1つで、条件の数は $\binom n4$ である。

$$N_n=\frac{M(M+1)}{2}-\binom n4=\frac{n(n-1)}{4}\Bigl(\frac{n(n-1)}{2}+1\Bigr)-\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}=\frac{n^2(n^2-1)}{12}.$$

最後の等号は展開して整理すれば確かめられる。