Riemann テンソル

物理のための微分幾何入門　第11章 §11.1　★★★ 共変微分の交換子として曲率を定義し、それが小さな閉路の平行移動のずれに等しいことを示す

第8章では、曲面の Gauss 曲率 $K$ が第一基本形式だけで決まることを示した。第9章では、閉じた道に沿ってベクトルを平行移動すると向きがずれ、そのずれの角が囲んだ曲率の積分になることを見た。この章では、この2つを任意の次元の多様体へ広げる。

道具は Riemann の曲率テンソルである。これは共変微分を2回続けたときの順序の差として定義され、平行移動の経路依存性と潮汐力を同じ式で表す。2次元ではただ1つの成分しか持たず、それが Gauss 曲率に一致する。

この章の結果は次の所で使う。第12章では微分形式を導入し、第13章では Killing ベクトルの議論で曲率の対称性を使う。第15章の Gauss–Bonnet の定理は、この章の $R=2K$ を面積分する定理である。一般相対論の Einstein 方程式は Ricci テンソルで書かれ、その話は『相対論入門』第10・11章が受け持つ。

前の章から借りる結果は3つある。1つ目は共変微分と Levi-Civita 接続（第9章 §9.2）で、成分では次の形をとる。

$$\nabla_\mu V^\rho=\partial_\mu V^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}V^\sigma,\qquad \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\tfrac12g^{\rho\lambda}(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}).\tag{11.1}$$

2つ目は平行移動の方程式（第9章 §9.3）、3つ目は測地線の方程式（第10章 §10.1）である。

$$\frac{d V^\rho}{d t}+\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\frac{d x^\mu}{d t}V^\sigma=0,\qquad \frac{\mathrm{d}^2x^\rho}{\mathrm{d} t^2}+\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d t}\frac{d x^\nu}{d t}=0.\tag{11.2}$$

共変微分は交換しない

平らな空間の直交座標では、偏微分の順序はいつでも交換できる。曲がった空間では、ベクトル場の微分に共変微分を使わなければ結果がテンソルにならない（第9章 §9.1）。その共変微分は、2回続けると順序を交換できなくなる。

交換できない度合いを計算する。まず $\nabla_\nu V^\rho$ は $(1,1)$ 型のテンソルなので、もう一度の共変微分は上と下の添字に1つずつ接続の項を付けて

$$\nabla_\mu\nabla_\nu V^\rho=\partial_\mu(\nabla_\nu V^\rho)-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\nabla_\lambda V^\rho+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\nabla_\nu V^\lambda$$

となる。この式から $\mu$ と $\nu$ を入れ替えた式を引く。

定義は接続だけを使い、計量を使わない。この点は §11.4 で、計量を持たない Newton 力学の時空に曲率を考えるときに使う。符号と添字の並びは記法の正本（MTW・Carroll と同じ流儀）に合わせてある。

証明

上の式の第2項 $-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\nabla_\lambda V^\rho$ は、下の添字 $\mu\nu$ について対称なので交換子では消える。残りの2項に $\nabla_\nu V^\rho=\partial_\nu V^\rho+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}V^\sigma$ を代入して展開すると

$$\partial_\mu\partial_\nu V^\rho+(\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma})V^\sigma+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\partial_\mu V^\sigma +\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\partial_\nu V^\lambda+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}V^\sigma$$

となる。

ここから $\mu\leftrightarrow\nu$ の式を引く。2階の偏微分 $\partial_\mu\partial_\nu V^\rho$ は対称なので消える。1階微分を含む4項は、引き算すると次のように組になって消える。

$$\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}\partial_\mu V^\sigma+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\partial_\nu V^\lambda -\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\partial_\nu V^\sigma-\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\partial_\mu V^\lambda=0.$$

残るのは $V^\sigma$ に掛かる項だけで、その係数が (11.3) そのものである。

証明

(11.4) の左辺はテンソル $\nabla\nabla V$ の差なので、$(1,2)$ 型のテンソルである。右辺はどんなベクトル $V$ についても $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma$ に等しい。座標を取り替えたとき、$V$ の成分は第2章 §2.2 の変換則に従い、左辺は $(1,2)$ 型の変換則に従う。これが任意の $V$ で成り立つためには、係数が $(1,3)$ 型の変換則に従うほかない。

この論法を商の議論と呼ぶ。$V$ に基底ベクトルを順に入れると、各成分の変換則が読める（変換則は第4章 §4.2）。

個々の $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}$ はテンソルでない（第4章 §4.4）。それでも (11.3) の組み合わせでは、座標の2階微分の寄与がちょうど打ち消し合う。この打ち消しを成分の変換で直接確かめるのは長い計算になるので、上の証明では交換子を経由した。

1形式に対する交換子も同じ定義の曲率で書ける。スカラー $f$ では、対称な接続のとき $[\nabla_\mu,\nabla_\nu]f=-(\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}-\Gamma^\lambda{}_{\nu\mu})\partial_\lambda f=0$ である。$f=\omega_\rho V^\rho$ に Leibniz 則を使えば

$$[\nabla_\mu,\nabla_\nu]\omega_\sigma=-R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\,\omega_\rho\tag{11.5}$$

を得る。一般のテンソルでは、上の添字ごとに (11.4) の項、下の添字ごとに (11.5) の項が1つずつ付く。

平行移動の経路依存性

第9章 §9.3 では、球面上で閉じた道に沿ってベクトルを平行移動すると、向きが囲んだ曲率の分だけ回ることを見た。この現象を Riemann テンソルで書く。

点 $p$ から2つの座標の方向へ進んだ点を $q$ とする。座標で書くと次の点である（$\mu\neq\nu$ で、和はとらない）。

$$q=p+\alpha\,e_\mu+\beta\,e_\nu .$$

ここで $e_\mu$ は、座標 $x^\mu$ だけを1増やす増分を表す。

$p$ から $q$ へ行く道は2つある。道1は先に $x^\mu$ の方向へ、次に $x^\nu$ の方向へ進む。道2は順序が逆である。

座標の線に沿って長さ $\epsilon$ だけ平行移動する変化を、2次まで展開する。接続を行列 $(\Gamma_\mu)^\rho{}_\sigma=\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}$ で書くと、(11.2) は $\mathrm{d} V/\mathrm{d} t=-\Gamma_\mu V$ である。これを $t=0$ の周りで Taylor 展開すると次の式になる。

$$V(\epsilon)=\Bigl[1-\epsilon\,\Gamma_\mu+\tfrac{\epsilon^2}{2}\bigl(\Gamma_\mu\Gamma_\mu-\partial_\mu\Gamma_\mu\bigr)\Bigr]V(0)+\mathcal{O}(\epsilon^3).$$

道1では、2回目の移動は $p$ でなく $p+\alpha e_\mu$ から始まる。そこでの接続は $\Gamma_\nu+\alpha\,\partial_\mu\Gamma_\nu$ である。2つの移動を掛け合わせ、$\alpha\beta$ に比例する項だけを拾うと次の形になる。

$$V_1=\bigl[\cdots+\alpha\beta\,(\Gamma_\nu\Gamma_\mu-\partial_\mu\Gamma_\nu)\bigr]V,\qquad V_2=\bigl[\cdots+\alpha\beta\,(\Gamma_\mu\Gamma_\nu-\partial_\nu\Gamma_\mu)\bigr]V.$$

ここで「$\cdots$」は2つの道で共通な項で、定数項と1次の項、および $\alpha^2,\beta^2$ に比例する項である。

引き算すると、共通な項は消えて

$$V_1^\rho-V_2^\rho=-\alpha\beta\,\bigl(\partial_\mu\Gamma_\nu-\partial_\nu\Gamma_\mu+\Gamma_\mu\Gamma_\nu-\Gamma_\nu\Gamma_\mu\bigr)^\rho{}_\sigma V^\sigma =-R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma\alpha\beta\tag{11.6}$$

を得る。最後の等号は、行列の積 $(\Gamma_\mu\Gamma_\nu)^\rho{}_\sigma=\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}$ を (11.3) と見比べたものである。

証明

1周は「道1で $q$ へ行き、道2を逆にたどって $p$ へ戻る」移動である。道2を逆にたどる移動を $P_2^{-1}$ と書くと、1周後のベクトルは $P_2^{-1}V_1$ である。$P_2^{-1}=1+\mathcal{O}(\delta)$ で、$V_1-V_2$ はすでに2次の量である。したがって次のようになる。

$$P_2^{-1}V_1-V=P_2^{-1}(V_1-V_2)=(V_1-V_2)+\mathcal{O}(\delta^3).$$

これに (11.6) を代入すればよい。

球面で確かめる。半径 $a$ の球面の計量 $\mathrm{d} s^2=a^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2)$ では、0でない Christoffel 記号は次の2種類である（第8章 §8.2）。

$$\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta,\qquad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi{}_{\varphi\theta}=\cot\theta .$$

(11.3) に代入すると、たとえば次の成分を得る。

$$\begin{align*}R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}&=\partial_\theta\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}-\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi} =-(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+\cos^2\theta=\sin^2\theta,\tag{11.8}\\R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}&=\partial_\varphi\Gamma^\varphi{}_{\theta\theta}-\partial_\theta\Gamma^\varphi{}_{\varphi\theta} +\Gamma^\varphi{}_{\varphi\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\theta\theta}-\Gamma^\varphi{}_{\theta\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\varphi\theta} =\frac{1}{\sin^2\theta}-\cot^2\theta=1.\end{align*}$$

閉路の辺を $\delta\theta$ と $\delta\varphi$ とし、前者の辺から1周する。はじめのベクトルは、南向きの長さ1のベクトル $V=\partial_\theta/a$ とする。(11.7) から $\delta V^\varphi=-R^\varphi{}_{\theta\theta\varphi}V^\theta\delta\theta\delta\varphi=\delta\theta\,\delta\varphi/a$ である。

東向きの長さ1の基底で測ると、成分は $a\sin\theta\,\delta V^\varphi=\sin\theta\,\delta\theta\,\delta\varphi$ になる。これは閉路の面積 $\delta A=a^2\sin\theta\,\delta\theta\,\delta\varphi$ と $K=1/a^2$ の積である。したがってベクトルは、周回と同じ向きに角 $K\,\delta A$ だけ回る。第9章 §9.3 の「回転角は囲んだ曲率の積分」の微小版が、(11.7) から出たことになる。

確認テスト

オリジナル

1. 11.1-1 定義 (11.3) から $R^\rho{}_{\sigma\nu\mu}=-R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ を示せ。

2. 11.1-2 平面の極座標 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2$ で $R^r{}_{\varphi r\varphi}=0$ を直接計算で示せ。

3. 11.1-3 定数 $0<k<1$ で決まる円錐の面 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+k^2r^2\mathrm{d}\varphi^2,\ r>0$ を考える。

   1. (a) $r>0$ で Riemann テンソルが $0$ であることを示せ。
   2. (b) 円 $r=r_0$ に沿って1周平行移動すると、ベクトルが角 $2\pi(1-k)$ だけ回ることを示せ。
   3. (c) (a) と (b) が矛盾しない理由を、命題 11.4 の仮定と結びつけて説明せよ。

4. 11.1-4 関数 $h$ とベクトル場 $X,Y,Z$ を考える。$R(hX,Y)Z=h\,R(X,Y)Z$ を、§11.1 の注意の箱（ベクトル場の言葉での定義）から示せ。Lie 括弧の性質 $[hX,Y]=h[X,Y]-(Yh)X$ を使ってよい。