確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第10章 §10.7

1. 10.1-1 $\phi(\lambda)=2\lambda+1$ と $\phi(\lambda)=-\lambda$ はどちらも1次関数である。命題 10.4 の右辺は0になるので、$x(2t+1)$ と $x(-t)$ は測地線の方程式をそのまま満たす。$\phi'<0$ の場合も、証明の式変形は $\phi'\ne0$ しか使わないのでそのまま通る。

$\phi(\lambda)=\lambda^3$ では $\phi'=3\lambda^2,\ \phi''=6\lambda$ である。(10.4) の右辺の係数は次のようになる。

$$\frac{\phi''}{\phi'}=\frac{6\lambda}{3\lambda^2}=\frac2\lambda$$

これは0でないので、$x(t^3)$ は測地線の方程式を満たさない。曲線としては同じ測地線の道をたどるが、径数がアフィンでない。$\lambda=0$ では $\phi'=0$ となり、速度が0になる。2. 10.1-2 1. (a) $g_{xx}=g_{yy}=y^{-2}$ で、0でない微分は $\partial_yg_{xx}=\partial_yg_{yy}=-2y^{-3}$ である。(10.1) から次の3つ（と対称な成分）が0でない。

$$\Gamma^x{}_{xy}=\frac12y^2\,\partial_yg_{xx}=-\frac1y,\qquad \Gamma^y{}_{xx}=-\frac12y^2\,\partial_yg_{xx}=\frac1y,\qquad \Gamma^y{}_{yy}=\frac12y^2\,\partial_yg_{yy}=-\frac1y$$

測地線の方程式は次の2本になる。

$$\ddot x-\frac2y\,\dot x\dot y=0,\qquad \ddot y+\frac{\dot x^2-\dot y^2}{y}=0$$ 2. (b) $x=x_0,\ y=\mathrm{e}^s$ では $\dot x=0$ で、1本めは満たされる。$\dot y=\ddot y=\mathrm{e}^s$ なので、2本めの左辺は $\mathrm{e}^s-\mathrm{e}^{2s}/\mathrm{e}^s=0$ である。速さは $(\dot x^2+\dot y^2)/y^2=\mathrm{e}^{2s}/\mathrm{e}^{2s}=1$ なので、$s$ は弧長である。$y=1$ から $y=\mathrm{e}$ までの長さは次のとおりである。

$$\int_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d} y}{y}=1$$ 3. (c) $\dot x=R/\cosh^2s$、$\dot y=-R\sinh s/\cosh^2s$ である。速さを調べると、次のとおり1になる。

$$\frac{\dot x^2+\dot y^2}{y^2}=\frac{R^2(1+\sinh^2s)/\cosh^4s}{R^2/\cosh^2s}=1$$

1本めの式は $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}(\dot x/y^2)=(\ddot x\,y-2\dot x\dot y)/y^3$ と同値で、$\dot x/y^2=1/R$ が定数なので満たされる。2本めの式を調べる。$\ddot y=-R(1-\sinh^2s)/\cosh^3s$ と計算でき、次のとおり0になる。

$$\ddot y+\frac{\dot x^2-\dot y^2}{y}=\frac{-R(1-\sinh^2s)+R(1-\sinh^2s)}{\cosh^3s}=0$$ 3. 10.1-3 $x=t^2$ では速さは $\left\vert \dot x\right\vert =2t$ である。長さとエネルギーは次のとおりである。

$$L=\int_0^12t\,\mathrm{d} t=1,\qquad E=\frac12\int_0^14t^2\,\mathrm{d} t=\frac23$$

$L^2=1\le2(b-a)E=\frac43$ で、不等式は成り立つ。$x=t$ と走り直すと速さは1で一定になり、$E=\frac12$ である。$L^2=1=2\cdot1\cdot\frac12$ で等号になる。4. 10.1-4 $y(t)=x(ct)$ とおくと、$\dot y(t)=c\,\dot x(ct),\ \ddot y(t)=c^2\ddot x(ct)$ である。測地線の方程式に入れると $c^2$ がくくり出せる。

$$\ddot y^k+\Gamma^k{}_{ij}(y)\dot y^i\dot y^j=c^2\left(\ddot x^k+\Gamma^k{}_{ij}\dot x^i\dot x^j\right)\Big|_{ct}=0$$

よって $y$ は測地線で、初速度は $\dot y(0)=c\,\dot x(0)=cv$ である。命題 10.2 により、出発点と初速度が同じ測地線は1つしかない。したがって初速度 $cv$ の測地線は $y(t)=x(ct)$ そのものである。これはもとの測地線と同じ道を、$\left\vert c\right\vert$ 倍の速さで通る。5. 10.2-1 系 10.9 により、測地線になる緯線は $f'(u)=0$ の所である。$f'(u)=-\sin(u/a)$ が0になるのは、$u=0,\ \pi a$ の2つである。$u=0$ では $f=R+a$ で、外側の赤道（軸から最も遠い円）である。$u=\pi a$ では $f=R-a$ で、内側の赤道（穴のふちの円）である。6. 10.2-2 1. (a) $f=a\sin\theta$（$\theta$ は北極からの角）である。赤道では $f=a,\ \psi=60^\circ$ なので、Clairaut の定数は $J=a\cos60^\circ=a/2$ である。最も北の点では $\psi=0$ である。よって $a\sin\theta_{\min}=a/2$ から $\theta_{\min}=30^\circ$ となる。最高緯度は $90^\circ-30^\circ=60^\circ$ である。2. (b) 緯度 $30^\circ$ の緯線では $f=a\sin60^\circ=a\cos30^\circ$ である。$f\cos\psi=a/2$ から次の値を得る。

$$\cos\psi=\frac{1/2}{\cos30^\circ}=\frac{1}{\sqrt3}=0.577,\qquad \psi=54.7^\circ$$ 7. 10.2-3 1. (a) $f'=u/\sqrt{c^2+u^2}$ なので、次のとおり1になる。

$$f'^2+h'^2=\frac{u^2+c^2}{c^2+u^2}=1$$ 2. (b) 出発点では $f=\sqrt{1+4}=\sqrt5$、$\psi=60^\circ$ である。Clairaut の定数は $J=\sqrt5\cos60^\circ=1.118$ である。首では $f=c=1<J$ なので、(10.12) から首には達しない。折り返すのは $f(u)=J$ の所である。

$$\sqrt{1+u^2}=1.118\quad\Longrightarrow\quad u^2=1.25-1=0.25,\qquad u=0.5$$

首の手前の $u=0.5$ の緯線に接して折り返し、もとの側へ戻っていく。8. 10.2-4 接している点 $P$ では、測地線の向きが緯線の向きと一致するので $\dot u=0$ である。速さが1なので $f\dot\varphi=\pm1$、つまり $\dot\varphi^2=1/f(u_0)^2$ である。(10.10) の1本めから、$P$ での $\ddot u$ は次のように決まる。

$$\ddot u=ff'\dot\varphi^2=\frac{f'(u_0)}{f(u_0)}$$

緯線が測地線でないので、系 10.9 により $f'(u_0)\ne0$ で、$\ddot u\ne0$ である。点 $P$ では $\dot u=0,\ \ddot u\ne0$ なので、母線方向の座標はそこで極値をとる。

$f'(u_0)>0$ なら極小で、測地線は $u\ge u_0$ の側（軸から遠い側）にある。$f'(u_0)<0$ なら極大で、測地線は $u\le u_0$ の側にある。どちらの場合も測地線は $f$ の大きい側にあり、(10.12) の $f\ge\left\vert J\right\vert$ と合っている。9. 10.3-1 定数 $m$ を外して Euler–Lagrange 方程式を書く。

$$\ddot r-r\dot\varphi^2=0,\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(r^2\dot\varphi\right)=r^2\ddot\varphi+2r\dot r\dot\varphi=0,\qquad \ddot z=0$$

2本めを $r^2$ で割ると $\ddot\varphi+\frac2r\dot r\dot\varphi=0$ である。$\dot r\dot\varphi$ の係数2は、$\Gamma^\varphi{}_{r\varphi}+\Gamma^\varphi{}_{\varphi r}$ にあたる。0でない Christoffel 記号は、$\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}=-r$ と $\Gamma^\varphi{}_{r\varphi}=\Gamma^\varphi{}_{\varphi r}=1/r$ だけである。10. 10.3-2 1. (a) 円柱面の線素は $R^2\mathrm{d}\varphi^2+\mathrm{d} z^2$ である。座標 $(R\varphi,z)$ をとれば、これは平面のデカルト座標の線素と同じ形になる。定理 10.10 により、質点はこの平面で等速直線運動をする。

初速度の成分は、軸方向が $v\cos30^\circ$、周方向が $v\sin30^\circ$ である。方位角も軸方向の位置も時刻に比例して増えるので、軌道は螺旋である。1周にかかる時間は $2\pi R/(v\sin30^\circ)$ なので、ピッチは次のとおりである。

$$v\cos30^\circ\times\frac{2\pi R}{v\sin30^\circ}=2\pi R\cot30^\circ=2\pi\times0.10\times1.732\ \mathrm m=1.09\ \mathrm m$$ 2. (b) 空間での速さは $v$ で一定なので、加速度は法線成分だけで、大きさは $v^2\kappa$ である（第6章 §6.4）。周方向の速さ $v_\varphi=v\sin30^\circ$ の円運動の向心加速度は $v_\varphi^2/R$ で、軸方向の加速度は0である。

$$\kappa=\frac{v_\varphi^2}{Rv^2}=\frac{\sin^230^\circ}{R}=\frac{0.25}{0.10\ \mathrm m}=2.5\ \mathrm{m^{-1}}$$

円柱面の上では測地線でも、空間の曲線としては曲がっている。主法線は軸を向き、曲面に垂直である。11. 10.3-3 1. (a) 単位質量あたりの運動エネルギーは $T=\frac12l^2(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\varphi^2)$ である。計量は $g=l^2\,\mathrm{diag}(1,\sin^2\theta)$ で、0でない Christoffel 記号は次の2つである。

$$\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta,\qquad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=\cot\theta$$

右辺は $-g^{\theta\theta}\partial_\theta V=-\frac{1}{l^2}\,gl\sin\theta=-\frac gl\sin\theta$ と、$-g^{\varphi\varphi}\partial_\varphi V=0$ である。運動方程式は次の2本になる。

$$\ddot\theta-\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2=-\frac gl\sin\theta,\qquad \ddot\varphi+2\cot\theta\,\dot\theta\dot\varphi=0$$ 2. (b) $\theta=\theta_0$ を保つなら $\dot\theta=\ddot\theta=0$ である。2本めから、角速度 $\dot\varphi=\omega$ は一定になる。1本めは次の式になる。

$$\sin\theta_0\cos\theta_0\,\omega^2=\frac gl\sin\theta_0\quad\Longrightarrow\quad\omega=\sqrt{\frac{g}{l\cos\theta_0}}$$

$l=1.0\ \mathrm m,\ \theta_0=30^\circ$ では $\omega=\sqrt{9.8/0.866}\ \mathrm{s^{-1}}=3.36\ \mathrm{s^{-1}}$ である。周期は $2\pi/\omega=1.87\ \mathrm s$ となる。12. 10.3-4 命題 10.3 の証明の Leibniz 則で、2つのベクトル場をともに $\dot q$ にとる。$D\dot q^k/\mathrm{d} t$ は (10.15) の左辺なので、$-g^{kl}\partial_lV$ に等しい。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\,\frac12g(\dot q,\dot q)=g\!\left(\frac{D\dot q}{\mathrm{d} t},\dot q\right)=g_{kj}\left(-g^{kl}\partial_lV\right)\dot q^j=-\partial_jV\,\dot q^j=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$$

最後の等号は連鎖律である。移項すると $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\bigl(\frac12g(\dot q,\dot q)+V\bigr)=0$ となる。13. 10.4-1 運動エネルギーの計量は $g=m(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2)$ なので、Jacobi 計量は次のとおりである。

$$\tilde g=2m(E-mgy)\left(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2\right)$$

計量として使えるのは係数が正の領域で、$y<E/(mg)$ である。$y=E/(mg)$ は速さが0になる高さで、そこで計量はつぶれる。14. 10.4-2 $F(y)=2m(E-mgy)$ と書く。Jacobi 計量の弧長 $s$ での微分を $'$ で表す。関数 $F$ は $x$ によらない。そのため、Jacobi 計量のエネルギー汎関数の $x$ についての Euler–Lagrange 方程式から、$\mathcal J=F\,x'$ が保存する。

弧長の条件 $F(x'^2+y'^2)=1$ を $x'^2$ で割る。そこへ $x'=\mathcal J/F$ を入れると、次の式になる。

$$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)^2=\frac{1}{Fx'^2}-1=\frac{F}{\mathcal J^2}-1$$

両辺を $x$ で微分して $2\,\mathrm{d} y/\mathrm{d} x$ で割る。$\partial_yF=-2m^2g$ を使うと、次の式を得る。

$$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d} x^2}=\frac{\partial_yF}{2\mathcal J^2}=-\frac{m^2g}{\mathcal J^2}$$

(10.18) により $\mathrm{d} s=2(E-V)\mathrm{d} t=(F/m)\,\mathrm{d} t$ なので、$x'=m\dot x/F$ である。よって $\mathcal J=F\,x'=m\dot x$ となる。

これを入れると $\mathrm{d}^2y/\mathrm{d} x^2=-g/\dot x^2$ である。放物運動 $x=v_xt,\ y=v_yt-\frac12gt^2$ を $x$ の関数として書くと、次のようになる。

$$y=\frac{v_y}{v_x}x-\frac{g}{2v_x^2}x^2$$

2階微分は $-g/v_x^2$ で、$\dot x=v_x$ なので両者は一致する。15. 10.4-3 Jacobi 計量は $F(r)(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2)$ で、$\mathrm{e}^{2\sigma}=F$ である。$\sigma=\frac12\ln F$ は動径だけの関数なので、ラプラシアンは $\Delta\sigma=\sigma''+\sigma'/r$ である。$F=A+B/r$ とおき、$A=2mE,\ B=2mk$ として計算すると、次の結果になる。

$$K=-\frac{1}{F}\left(\sigma''+\frac{\sigma'}{r}\right)=-\frac{AB}{2(Ar+B)^3}=-\frac{Ek}{4m(Er+k)^3}$$

運動できる領域では $F>0$、つまり $Er+k>0$ である。したがって $K$ の符号は $-E$ の符号と同じになる。

• $E<0$（楕円軌道）なら $K>0$ である。
• $E=0$（放物線）なら $K=0$ である。
• $E>0$（双曲線）なら $K<0$ である。

$E=0$ で平らになることは、本文の exbox の結果と合っている。16. 10.4-4 実際の運動ではエネルギーの保存から $\frac12g_{ij}\dot q^i\dot q^j=E-V$ である。これを使うと次の式を得る。

$$p_i\dot q^i=g_{ij}\dot q^j\dot q^i=2(E-V)$$

Jacobi 計量での長さの要素は $\mathrm{d} s=\sqrt{\tilde g_{ij}\dot q^i\dot q^j}\,\mathrm{d} t$ である。$\tilde g=2(E-V)g$ を入れると次のようになる。

$$\mathrm{d} s=\sqrt{2(E-V)\cdot2(E-V)}\,\mathrm{d} t=2(E-V)\,\mathrm{d} t=p_i\dot q^i\,\mathrm{d} t$$

これは (10.18) とも一致している。17. 10.5-1 $n$ が定数なら、光学的な計量 $n^2\delta_{ij}$ はユークリッド計量の定数倍である。定数倍は Christoffel 記号を変えないので、測地線は直線である。光路長は $nl$、かかる時間は $nl/c$ である。$n=1.5$、$l=2.0\ \mathrm m$ では次のとおりである。

$$nl=3.0\ \mathrm m,\qquad \frac{nl}{c}=\frac{3.0}{3.00\times10^8}\ \mathrm s=1.0\times10^{-8}\ \mathrm s$$ 18. 10.5-2 境界面を水平にとり、法線からの入射角を $i$ とすると $\theta=90^\circ-i$ である。(10.22) は $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$ となる。

$$\sin i_2=\frac{1.00\times\sin45^\circ}{1.33}=0.532,\qquad i_2=32.1^\circ$$ 19. 10.5-3 光線の方程式 (10.21) の $x$ 成分を、光線の全長にわたって積分する。曲がりが小さいので $\mathrm{d} l\approx\mathrm{d} z$ で、$n\approx1$ とみなせる。横向きの方向余弦の変化が曲がりの角 $\delta$ になり、それは $\partial_xn$ の積分で決まる。$x=b$ の直線の上では $r=\sqrt{b^2+z^2}$ である。

$$\delta=\int_{-\infty}^{\infty}\partial_b\left(\frac{2GM}{c^2\sqrt{b^2+z^2}}\right)\mathrm{d} z=-\frac{2GMb}{c^2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d} z}{(b^2+z^2)^{3/2}}=-\frac{2GMb}{c^2}\cdot\frac{2}{b^2}=-\frac{4GM}{c^2b}$$

負号は、光線が $x$ の小さい側、つまり質量の側へ曲がることを表す。太陽の縁をかすめる光では次の値になる。

$$\left\vert \delta\right\vert =\frac{4\times1.327\times10^{20}}{(3.00\times10^8)^2\times6.96\times10^8}=8.49\times10^{-6}\ \mathrm{rad}=1.75''$$ 20. 10.5-4 位置ベクトルと $n\bm t$ の外積 $\bm M=\bm x\times n\bm t$ を考える。$\left\vert \bm M\right\vert =n\,r\sin\phi$ である。$l$ で微分すると、$\mathrm{d}\bm x/\mathrm{d} l=\bm t$ と光線の方程式から次の式を得る。

$$\frac{\mathrm{d}\bm M}{\mathrm{d} l}=\bm t\times n\bm t+\bm x\times\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} l}(n\bm t)=\bm 0+\bm x\times\nabla n$$

屈折率が動径だけの関数なら $\nabla n=n'(r)\,\bm x/r$ で、これは $\bm x$ に平行である。よって $\bm x\times\nabla n=\bm 0$ となり、$\bm M$ は一定である。とくにその大きさ $n\,r\sin\phi$ も一定になる。

この保存量は、回転の対称性から出たもので、力学の角運動量にあたる。$\bm M$ の向きも一定なので、光線は原点を含む1つの平面の中を進む。