この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第10章 §10.6

測地線は、速度ベクトルを自分自身に沿って平行移動させる曲線として定義した。その方程式 (10.3) は、エネルギー汎関数の停留条件とも、長さの停留条件を弧長で書いたものとも一致する。エネルギー汎関数は径数まで決め、長さは径数を問わない。この違いが、アフィン径数と径数の取り替えの式 (10.4) として現れた。

対称性のある空間では、測地線の方程式から保存量が1つ出て、問題の次元が下がる。回転面では Clairaut の関係 $f\cos\psi=J$ がそれで、球面の測地線が大円に限られることも、円錐の上の測地線の巻きつきも、この関係から読めた。保存量が出る仕組みは、第13章 §13.3 で Killing ベクトルの保存量として一般化する。

力学の側では、束縛された質点の自由運動が運動エネルギーの計量の測地線そのものであることを見た。ポテンシャルがあっても、エネルギーを決めれば軌道は Jacobi 計量の測地線になり、これが Maupertuis の原理の幾何の姿である。光線は屈折率でつくる計量の測地線で、Snell の法則は Clairaut の関係と同じ仕組みの保存量だった。屈折率と運動量の大きさの対応は、光学と力学を同じ形式で書く Hamilton の見方につながる。

次の第11章では、測地線の束が曲率によってどう開いたり寄ったりするかを測地線偏差の式で調べる。Jacobi 計量の曲率の符号が軌道の安定性と関わることも、そこで確かめる。