計算例

(1) $g_{xx}=g_{yy}=\ell^2/y^2$ で、$y$ だけに依る。$\partial_yg_{xx}=\partial_yg_{yy}=-2\ell^2/y^3$ を (11.1) に入れると、0でないのは次の3種類である。

$$\Gamma^x{}_{xy}=\Gamma^x{}_{yx}=-\frac1y,\qquad \Gamma^y{}_{xx}=\frac1y,\qquad \Gamma^y{}_{yy}=-\frac1y .$$

(2) 接続は $x$ に依らないので、(11.3) の $\partial_x$ の項は消える。

$$R^x{}_{yxy}=-\partial_y\Gamma^x{}_{xy}+\Gamma^x{}_{x\lambda}\Gamma^\lambda{}_{yy}-\Gamma^x{}_{y\lambda}\Gamma^\lambda{}_{xy}.$$

積の項で0でないのは $\Gamma^x{}_{xy}\Gamma^y{}_{yy}=1/y^2$ と $\Gamma^x{}_{yx}\Gamma^x{}_{xy}=1/y^2$ である。

$$R^x{}_{yxy}=-\frac1{y^2}+\frac1{y^2}-\frac1{y^2}=-\frac1{y^2}.$$

添字を下げると $R_{xyxy}=(\ell^2/y^2)(-1/y^2)=-\ell^2/y^4$ である。$\det g=\ell^4/y^4$ で割ると

$$K=-\frac1{\ell^2},\qquad R_{\mu\nu}=-\frac1{\ell^2}g_{\mu\nu},\qquad R=-\frac2{\ell^2}$$

を得る。後の2つは命題 11.11 による。

(3) 半円の上では $(x-x_0)^2+y^2=\rho^2(\tanh^2+\cosh^{-2})=\rho^2$ である。速度の成分と速さは次のとおりである（双曲線関数の引数は $s/\ell$）。

$$\dot x=\frac\rho\ell\cosh^{-2},\qquad \dot y=-\frac\rho\ell\sinh\cosh^{-2},\qquad \frac{\ell^2}{y^2}(\dot x^2+\dot y^2)=\frac{\ell^2\cosh^2}{\rho^2}\cdot\frac{\rho^2}{\ell^2}\frac{1+\sinh^2}{\cosh^4}=1 .$$

したがって $s$ は弧長である。

測地線の方程式 (11.2) は次の2本である。

$$\ddot x-\frac2y\dot x\dot y=0,\qquad \ddot y+\frac1y\dot x^2-\frac1y\dot y^2=0 .$$

$u=s/\ell$ と書くと、1本目の2つの項は次のように等しい。

$$\ddot x=-\frac{2\rho}{\ell^2}\frac{\sinh u}{\cosh^3u},\qquad \frac2y\dot x\dot y=\frac{2\cosh u}{\rho}\cdot\frac{\rho}{\ell\cosh^2u}\cdot\Bigl(-\frac{\rho\sinh u}{\ell\cosh^2u}\Bigr)=-\frac{2\rho}{\ell^2}\frac{\sinh u}{\cosh^3u}.$$

2本目は $\ddot y=(\dot y^2-\dot x^2)/y$ と書け、両辺は次のように等しい。

$$\ddot y=\frac{\rho}{\ell^2}\frac{\sinh^2u-1}{\cosh^3u}=\frac{\dot y^2-\dot x^2}{y}.$$

(1) $s=\sin\chi$、$c=\cos\chi$ と略す。(11.1) から、下の添字の対称性を除いて0でないのは次の6つである。

$$\Gamma^\chi{}_{\theta\theta}=-sc,\quad \Gamma^\chi{}_{\varphi\varphi}=-sc\sin^2\theta,\quad \Gamma^\theta{}_{\chi\theta}=\Gamma^\varphi{}_{\chi\varphi}=\frac cs,\quad \Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta,\quad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=\cot\theta .$$

(2) まず $R^\chi{}_{\theta\chi\theta}$ を求める。$\partial_\theta\Gamma^\chi{}_{\chi\theta}=0,\ \Gamma^\chi{}_{\chi\lambda}=0$ なので

$$R^\chi{}_{\theta\chi\theta}=\partial_\chi\Gamma^\chi{}_{\theta\theta}-\Gamma^\chi{}_{\theta\theta}\Gamma^\theta{}_{\chi\theta} =-(c^2-s^2)+sc\cdot\frac cs=s^2 .$$

次に $R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}$ では、積の項のうち $\lambda=\chi,\varphi$ のものが残る。

$$R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=\partial_\theta\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}+\Gamma^\theta{}_{\theta\chi}\Gamma^\chi{}_{\varphi\varphi}-\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi} =(\sin^2\theta-\cos^2\theta)-c^2\sin^2\theta+\cos^2\theta=s^2\sin^2\theta .$$

同じ計算で $R^\chi{}_{\varphi\chi\varphi}=s^2\sin^2\theta$ も得られる。

(3) 添字を下げると $R_{\chi\theta\chi\theta}=a^2s^2$ で、これは $g_{\chi\chi}g_{\theta\theta}/a^2$ に等しい。ほかの成分も同じく $(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})/a^2$ に一致し、$k=1/a^2$ である。Ricci は、たとえば $R_{\chi\chi}=R^\theta{}_{\chi\theta\chi}+R^\varphi{}_{\chi\varphi\chi}=1+1=2$ で、$2g_{\chi\chi}/a^2$ に等しい。したがって

$$R_{\mu\nu}=\frac2{a^2}g_{\mu\nu},\qquad R=\frac6{a^2}$$

を得る。