この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第11章 §11.6

この章では、空間の曲がり方を座標に依らずに表す量として Riemann テンソルを定義した。定義は共変微分を2回続けたときの順序の差で、その差はベクトルの微分を含まない形 $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}V^\sigma$ になった。同じテンソルで、小さな閉路を1周したときの平行移動のずれ (11.7) も書ける。これは第9章で見たホロノミーの微小版である。

Riemann テンソルの4つの添字には、2組の反対称性・組の入れ替えの対称性・第1 Bianchi 恒等式が成り立つ。これらから独立な成分は $n^2(n^2-1)/12$ 個で、2次元では1個、3次元では6個、4次元では20個である。2次元のただ1つの成分は Gauss 曲率 $K$ で、第8章の驚異の定理は「$K$ は Riemann テンソルの成分だから計量だけで決まる」と読み直せる。

縮約して作った Ricci テンソルとスカラー曲率は、2次元で $R_{\mu\nu}=Kg_{\mu\nu}$、$R=2K$ になる。3次元では Ricci が Riemann の全部を決め、4次元以上では Ricci で決まらない Weyl の部分が残る。第2 Bianchi 恒等式を縮約すると $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ が出て、これが Einstein 方程式の左辺の形を決める。

測地線偏差の方程式 (11.21) は、近くの測地線の間隔の加速度が曲率で決まることを示す。2次元では $j''+Kj=0$ で、正の曲率は測地線を寄せ集め、負の曲率は引き離す。

Newton の重力を $(t,\bm x)$ の空間の接続として書くと、その曲率は潮汐テンソル $\partial_i\partial_j\Phi$ に一致した。Ricci テンソルの成分は $4\pi G\rho$ になった。月の潮汐の見積もりでは、潮汐加速度が $1.1\times10^{-6}\ \mathrm{m/s^2}$、平衡潮の潮位差が約 $0.5\ \mathrm m$ になった。

計算例では、球面・双曲平面・3次元球面がどれも $R_{\rho\sigma\mu\nu}=k(gg-gg)$ の最大対称な形になった。双曲平面は相対論の速度の空間として、3次元球面は閉じた宇宙の空間として現れる。

次の第12章では微分形式を導入する。この章の曲率を「接続1形式の外微分」という2形式の言葉で書き直すのは第15章である。第13章では計量を保つ流れ（Killing ベクトル）を扱い、第15章ではトーラスの例で見た全曲率の性質を Gauss–Bonnet の定理として示す。