測地線偏差と潮汐力

物理のための微分幾何入門　第11章 §11.4　★★★ 近くを通る2本の測地線の間隔の加速度が曲率で決まることを示し、Newton 力学の潮汐をその例として読む

測地線の族

近くを通る測地線の族を考える。2つの変数の写像 $x^\mu(t,s)$ を考える。各 $s$ について、$t$ の関数として見たこの写像がアフィンパラメータの測地線になるものとする。その上の2つのベクトル場を次で定める。

$$T^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial t},\qquad J^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial s}.\tag{11.19}$$

$T$ は測地線の速度で、$J$ は隣の測地線への間隔を表す。$J$ を Jacobi 場（偏差ベクトル）と呼ぶ。

曲線に沿う共変微分を $D/\mathrm{d} t$・$D/\mathrm{d} s$ と書く。たとえば $DZ^\rho/\mathrm{d} s=\partial_sZ^\rho+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}J^\nu Z^\sigma$ である。

証明

(1) $\partial_tJ^\rho=\partial_t\partial_sx^\rho=\partial_sT^\rho$ である。接続の項は $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}T^\mu J^\nu$ と $\Gamma^\rho{}_{\nu\mu}J^\nu T^\mu$ で、下の添字の対称性から等しい。

(2) $\dfrac{D}{\mathrm{d} s}Z^\rho=\partial_sZ^\rho+\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}J^\nu Z^\sigma$ に $D/\mathrm{d} t$ を作用させる。接続の $t$ 微分は $\partial_t\Gamma=T^\mu\partial_\mu\Gamma$ なので

$$\frac{D}{\mathrm{d} t}\frac{D}{\mathrm{d} s}Z^\rho=\partial_t\partial_sZ^\rho+T^\mu\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}J^\nu Z^\sigma +\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}(\partial_tJ^\nu Z^\sigma+J^\nu\partial_tZ^\sigma) +\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}T^\mu\bigl(\partial_sZ^\lambda+\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}J^\nu Z^\sigma\bigr).$$

この式から、2つのパラメータを入れ替えた式を引く（$T\leftrightarrow J$）。2階の偏微分 $\partial_t\partial_sZ$ は消える。(1) の $\partial_tJ=\partial_sT$ から、$\Gamma\,\partial J$ の項も消える。$\Gamma\,\partial Z$ を含む4項も、2つずつ同じ形なので消える。

残るのは $\partial\Gamma$ の2項と $\Gamma\Gamma$ の2項である。

$$\bigl(\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}\bigr)Z^\sigma T^\mu J^\nu .$$

括弧の中は (11.3) そのものである。

証明

補題 11.15 の (1) から $\dfrac{D^2J}{\mathrm{d} t^2}=\dfrac{D}{\mathrm{d} t}\dfrac{D}{\mathrm{d} s}T$ である。(2) で $Z=T$ とすると、これは $\dfrac{D}{\mathrm{d} s}\dfrac{D}{\mathrm{d} t}T+R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}T^\sigma T^\mu J^\nu$ に等しい。各曲線が測地線なので $DT/\mathrm{d} t=0$ で、第1項は消える。

平らな空間では右辺が $0$ で、間隔は $t$ の1次式でしか変わらない。曲率があると、初めは平行に出発した測地線どうしが加速度を持って近づいたり離れたりする。逆に、測地線の間隔の加速度を測れば、曲率を知ることができる。

2次元の Jacobi 方程式

2次元で、速度 $T$ は長さ1、Jacobi 場 $J$ はそれに直交するとする。例題 11.2 の式を (11.21) の右辺に入れると、$g(T,J)=0$、$g(T,T)=1$ から次の形になる。

$$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}T^\sigma T^\mu J^\nu=K\bigl(T^\rho g(T,J)-J^\rho g(T,T)\bigr)=-KJ^\rho .$$

測地線に沿って平行移動した長さ1の法線 $N$ を使い、$J=j(t)N$ と書く。$N$ は平行なので $D^2J/\mathrm{d} t^2=j''N$ である。

$K$ が一定で、1点から角度をつけて出発する族 $j(0)=0,\ j'(0)=1$ を考える。解は曲率の符号で3通りに分かれる。

• $K=1/a^2>0$：$j=a\sin(t/a)$。間隔は最大になったあと縮み、$t=\pi a$ で再び $0$ になる。
• $K=0$：$j=t$。間隔は一定の割合で広がる。
• $K=-1/\ell^2<0$：$j=\ell\sinh(t/\ell)$。間隔は指数関数的に広がる。

正の曲率で再び会う点を共役点と呼ぶ。球面では北極から出たすべての大円が南極で会い、北極と南極は互いに共役点である。共役点を越えた測地線は、もう最短の道ではない（端点を少しずらした近くの道の方が短くなる）。

Newton の重力の潮汐は曲率である

Newton 力学で、重力ポテンシャル $\Phi(\bm x)$ の中を自由に運動する粒子は $\ddot{\bm x}=-\nabla\Phi$ に従う。近くを運動する2粒子の位置の差 $\bm\xi$ は、右辺を1次まで展開して

$$\ddot\xi^i=-\partial_i\partial_j\Phi\,\xi^j\tag{11.23}$$

に従う。行列 $\partial_i\partial_j\Phi$ を潮汐テンソルと呼ぶ。

この式は (11.21) と同じ形をしている。実際、時刻 $t$ と位置 $x^i$ をまとめた4次元の空間に、0でない成分が

$$\Gamma^i{}_{tt}=\partial_i\Phi\tag{11.24}$$

だけの対称な接続を置くと、測地線の方程式 (11.2) は $\ddot t=0$ と $\ddot x^i+\partial_i\Phi=0$ になる。$t$ をパラメータに選べば、これは Newton の運動方程式そのものである。

この接続はどんな計量の Levi-Civita 接続でもない。

$(t,\bm x)$ の空間には計量を勝手に置かない（第5章 §5.5）が、定義 11.1 は接続だけで曲率を決めるので、そのまま計算できる。(11.3) に入れると、接続どうしの積はすべて $0$ になる。積 $\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}$ が0でないには、前の因子から $\lambda=t$ が要る。ところが後ろの因子は上の添字が空間のときしか0でないので、両立しないからである。

証明

$R^i{}_{tjt}=\partial_j\Gamma^i{}_{tt}-\partial_t\Gamma^i{}_{jt}=\partial_j\partial_i\Phi$ である。上の添字が $t$ の成分は、$\Gamma^t{}_{\mu\nu}=0$ から消える。2番目の添字が空間の添字 $k$ の成分も、$\Gamma^i{}_{\nu k}=0$ から消える。Ricci は $R_{tt}=R^i{}_{tit}=\sum_i\partial_i^2\Phi$ で、Poisson 方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ を使えば最後の等号になる。

この接続で (11.21) を書く。同時刻の2粒子を比べるので $J=(0,\bm\xi)$、速度は $T=(1,\bm v)$ である。右辺で0でないのは $\sigma=\mu=t,\ \nu=j$ の項だけである。

$$R^i{}_{ttj}T^tT^t\xi^j=-\partial_i\partial_j\Phi\,\xi^j.$$

$J^t=0$ なので $D^2\xi^i/\mathrm{d} t^2=\ddot\xi^i$ で、Newton の (11.23) がそのまま出る。

この見方では、重力は「接続が平坦でないこと」で、潮汐はその曲率である。一様な重力（$\partial_i\partial_j\Phi=0$）は曲率を持たず、自由落下する箱の中では消せる。一方、潮汐は座標の取り替えでは消せない。一般相対論では同じ役割を時空の計量の曲率 $c^2R^i{}_{0j0}\simeq\partial_i\partial_j\Phi$ が担い、その導出は『相対論入門』第10章 §10.2 で行う。

点質量の潮汐

点の質量を $M$ とし、ポテンシャル $\Phi=-GM/r$ を考える。単位ベクトル $\bm n=\bm x/r$ を使うと、潮汐テンソルは次のとおりである。

$$\partial_i\partial_j\Phi=\frac{GM}{r^3}\bigl(\delta_{ij}-3n_in_j\bigr)\tag{11.26}$$

である。固有値は、質量の方向に $-2GM/r^3$、それに垂直な2方向に $+GM/r^3$ である（確認テスト 11.4-4）。(11.23) の負号から、質量の方向には引き伸ばされ、垂直な方向には押し縮められる。跡は $0$ で、物質の無い所では $R_{tt}=0$ であることに対応する。

確認テスト

オリジナル

1. 11.4-1 平面上の Jacobi 方程式 (11.22) の一般解を書き、それが2本の直線の間隔の式になっていることを確かめよ。
2. 11.4-2 $K=-1/\ell^2$ の面で、$j(0)=0,\ j'(0)=1$ の Jacobi 場を求めよ。それを使い、1点から測地線の長さ $r$ にある点がなす円の周の長さを求め、平面の $2\pi r$ と比べよ。
3. 11.4-3 太陽の質量 $M_{\mathrm s}=1.989\times10^{30}\ \mathrm{kg}$、地球と太陽の距離 $d_{\mathrm s}=1.496\times10^{11}\ \mathrm m$ として、太陽による地表の潮汐加速度を求め、月によるものとの比を求めよ。太陽の引力そのものは月の引力の何倍か。また、月と太陽が一直線に並ぶとき（大潮）と直角に並ぶとき（小潮）の潮汐加速度の比を見積もれ。
4. 11.4-4 (11.26) を導き、その固有値と固有ベクトルを求めよ。跡が $0$ になることも確かめよ。