Ricci テンソルとスカラー曲率

$R_{\sigma\nu}=g^{\rho\lambda}R_{\lambda\sigma\rho\nu}$ と書く。(11.12) で組を入れ替えると $R_{\lambda\sigma\rho\nu}=R_{\rho\nu\lambda\sigma}$ である。計量の対称性を使って和の添字の名前を入れ替えると、次を得る。

$$R_{\sigma\nu}=g^{\rho\lambda}R_{\rho\nu\lambda\sigma}=g^{\lambda\rho}R_{\lambda\nu\rho\sigma}=R_{\nu\sigma}.$$

例題 11.2 の式に $g^{\rho\mu}$ を掛けて縮約する。2次元では $g^{\rho\mu}g_{\rho\mu}=2$ なので

$$R_{\sigma\nu}=K\bigl(g^{\rho\mu}g_{\rho\mu}\,g_{\sigma\nu}-\delta^\mu{}_\nu\,g_{\sigma\mu}\bigr)=K(2g_{\sigma\nu}-g_{\sigma\nu})=Kg_{\sigma\nu}.$$

さらに $g^{\sigma\nu}$ で縮約すると $R=2K$ を得る。

テンソルの式なので、1点 $p$ で計量が $\delta_{ij}$ になる基底をとって示せば足りる。3次元では、反対称な組 $[\rho\sigma]$ は Levi-Civita 記号 $\epsilon_{\rho\sigma\alpha}$ によって1つの添字と1対1に対応する。したがって (11.9)・(11.10) を満たす配列は、ある行列 $A^{\alpha\beta}$ で次のように書ける。

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=\epsilon_{\rho\sigma\alpha}\epsilon_{\mu\nu\beta}A^{\alpha\beta}.$$

(11.12) から $A$ は対称である。3次元には相異なる4つの添字が無いので、第1 Bianchi 恒等式は自動的に成り立つ（命題 11.8 の証明）。縮約して Ricci を作ると、$\epsilon_{\rho\sigma\alpha}\epsilon_{\rho\nu\beta}=\delta_{\sigma\nu}\delta_{\alpha\beta}-\delta_{\sigma\beta}\delta_{\alpha\nu}$ から

$$R_{\sigma\nu}=\delta_{\sigma\nu}\operatorname{Tr} A-A_{\nu\sigma},\qquad R=3\operatorname{Tr} A-\operatorname{Tr} A=2\operatorname{Tr} A$$

となる。

したがって $A_{\alpha\beta}=\tfrac R2\delta_{\alpha\beta}-R_{\alpha\beta}$ で、$A$ は Ricci だけで決まる。これを $\epsilon\epsilon$ の積の公式（$\delta$ の3行3列の行列式）に入れて展開すると (11.17) になる。

(11.13) で $\rho$ と $\mu$ を縮約する。計量は共変微分と交換するので（$\nabla g=0$）、縮約は微分の内側でも外側でもよい。

$$\nabla_\lambda R_{\sigma\nu}+\nabla_\rho R^\rho{}_{\sigma\nu\lambda}-\nabla_\nu R_{\sigma\lambda}=0$$

を得る。第3項では $R^\rho{}_{\sigma\lambda\rho}=-R_{\sigma\lambda}$ を使った。

さらに $g^{\sigma\nu}$ で縮約する。第2項の $g^{\sigma\nu}R^\rho{}_{\sigma\nu\lambda}$ は、(11.10)・(11.12) で並べ替えると $-R^\rho{}_\lambda$ になる。

$$\nabla_\lambda R-\nabla_\rho R^\rho{}_\lambda-\nabla_\nu R^\nu{}_\lambda=0,\qquad\text{つまり}\qquad \nabla_\rho\Bigl(R^\rho{}_\lambda-\tfrac12\delta^\rho{}_\lambda R\Bigr)=0 .$$

添字を下げれば主張の式になる。

$T,e_1,\dots,e_{n-1}$ を正規直交基底に選ぶと、縮約は基底についての和になる。

$$R_{\sigma\nu}T^\sigma T^\nu=\sum_{i}R_{\rho\sigma\mu\nu}e_i^\rho T^\sigma e_i^\mu T^\nu+R_{\rho\sigma\mu\nu}T^\rho T^\sigma T^\mu T^\nu .$$

最後の項は (11.10) で $0$ になる。残りの各項は、(11.18) の分母が $1$ なので $K(e_i,T)$ に等しい。