大域の Gauss–Bonnet と Euler 標数

物理のための微分幾何入門　第15章 §15.2　★★★ 閉曲面の全曲率は 2πχ に等しい。曲率という計量の量が、穴の数という位相の量で決まる

局所の定理 15.5 は1つの座標近傍の中の話だった。閉じた曲面の全体は1つの座標で覆えないので（第1章 §1.2）、曲面を小さな三角形に切り分け、各三角形に局所の定理を使ってから足し合わせる。足すと境界の項が打ち消し合い、角の項から曲面の形によらない整数が残る。

三角形分割と Euler 標数

境界の無いコンパクトな曲面 $M$ の三角形分割とは、$M$ を有限個の曲がった三角形に分けたものである。どの2つの三角形も、辺1本か頂点1つを共有するか、交わらないかのどれかであるとする。

各三角形は1つの座標近傍に収まり、辺は滑らかな曲線であるとする。どんな滑らかな閉曲面にもこのような分割があることが知られている（Radó の定理。ここでは主張だけを使う）。

この定義が分割の取り方によらないことは、次の定理の系として出る。例をいくつか数えておく。球面を正四面体の形に分けると $4-6+4=2$ であり、正八面体の形に分けても $6-12+8=2$ になる。トーラスには頂点7・辺21・面14の分割があり（Möbius による最小の分割）、$7-21+14=0$ である。

穴が $g$ 個ある閉曲面を種数 $g$ の曲面と呼ぶ。その Euler 標数は $2-2g$ である。これは、球面から円板を2枚切り取って筒をつなぐたびに、穴が1つ増えて Euler 標数が2減ることから分かる。円板の内部（三角形1枚分）を除くと値は1減り、筒（三角形分割した円柱）の値は0なので、2枚を除いて筒でつなぐと合計で2減る。

この系から、球面をどう凹ませても全曲率は $4\pi$ のままであることが分かる。ある場所を平らにすると、その分の曲率はほかの場所へ移る。トーラスの全曲率は0なので、トーラスにはいたる所で $K>0$ となる計量は存在しない。正の曲率の外側の部分と負の曲率の内側の部分が、必ず釣り合う。

多面体の欠損角と Descartes の定理

多面体の面は平らで、辺に沿って2枚の面を開くと平面に広げられる。したがって曲率は頂点だけに集まっている。その量を測るのが次の欠損角である。

立方体の頂点には直角が3つ集まるので、欠損角は $2\pi-3\pi/2=\pi/2$ である。正四面体の頂点には正三角形の角が3つ集まるので、欠損角は $2\pi-\pi=\pi$ である（図15.2）。頂点のまわりの面を切り開いて平面に置くと、欠損角の分だけ隙間ができる。逆に、平らな紙から中心角 $\delta$ の扇形を切り取って縁を貼ると、頂点の欠損角が $\delta$ の円錐になる。

図 15.2　頂点のまわりの面を切り開いて平面に置いた図。立方体では直角3つで $3\pi/2$、正四面体では正三角形の角3つで $\pi$ を占め、斜線の部分が欠損角 $\delta_v$ である。縁を貼り合わせると隙間が閉じて頂点が尖る。

この定理は、大域の Gauss–Bonnet の定理の多面体版である。多面体の角を半径 $r$ で丸めると滑らかな閉曲面になり、面と辺の部分では曲率は0である。丸めた頂点の小さな領域での曲率の積分は、$r\to0$ でも変わらず欠損角 $\delta_v$ に等しい。その領域の境界の閉曲線を平面に広げると中心角 $2\pi-\delta_v$ の扇形の弧になり、測地曲率の積分がその角に等しいからである。

確認テスト

オリジナル

1. 15.2-1 球面・トーラス・種数2の曲面の Euler 標数をそれぞれ答えよ。また、どの曲面がいたる所で $K>0$ の計量を持ちうるかを、(15.6) から判断せよ。
2. 15.2-2 正八面体・正二十面体・正十二面体の1つの頂点の欠損角を求め、どれも総和が $4\pi$ になることを確かめよ。
3. 15.2-3 次のトーラスを考える（$0<b<a$）。

$$(x,y,z)=\bigl((a+b\cos v)\cos u,\ (a+b\cos v)\sin u,\ b\sin v\bigr),\qquad K=\frac{\cos v}{b(a+b\cos v)} .$$

全曲率が0であることを確かめ、曲率が正の部分と負の部分の積分をそれぞれ求めよ。4. 15.2-4 面がすべて三角形で、各頂点に5本か6本の辺が集まる凸多面体（ジオデシック・ドームやウイルスの殻の形）を考える。辺が5本集まる頂点はちょうど12個あることを示せ。