ベクトル場の指数と Poincaré–Hopf の定理

物理のための微分幾何入門　第15章 §15.3　★★ 零点の指数の和は χ に等しい。球面の上の風はどこかで必ず止まる

ベクトル場の零点のまわりで、ベクトルの向きが何回まわるかを数える。その回数を曲面の上のすべての零点について足すと、どんなベクトル場を選んでも Euler 標数に等しくなる。証明は、前の2節の Gauss–Bonnet の定理から、接続1形式の性質を使って出る。

孤立した零点の指数

曲面の上の滑らかなベクトル場 $X$ が点 $p$ で0になり、その近くにはほかに零点が無いとする。点 $p$ のまわりの向きを保つ座標で、$X=X^1\partial_x+X^2\partial_y$ と書く。零点を中心とする小さな円 $C$ を反時計回りに一周するあいだの、平面のベクトル $(X^1,X^2)$ の向きの角の変化を考える。この角を $\psi=\arg(X^1+\mathrm{i} X^2)$ と書く。

円を一周するとベクトルは同じ向きに戻るので、角の総変化は $2\pi$ の整数倍である。円の半径を連続的に変えても、円の上に零点が来ない限り、この整数は飛ばずに一定である。座標を向きを保つ別の座標に取り替えても、指数は変わらない。ヤコビ行列は、行列式が正の行列の集合の中で単位行列へ連続的につながり、そのあいだ整数は一定だからである。

証明

行列式が正の行列全体は連結で、単位行列 $I$ を含む。$A$ から $I$ まで行列式を0にせずに連続的に変形すると、そのあいだ原点以外に零点は出ないので、指数は一定である。$X=(x,y)$ では角 $\psi$ が円の角そのものなので、指数は1である。

行列式が負の行列全体も連結で、$\mathrm{diag}(1,-1)$ を含む。$X=(x,-y)$ では、円の角 $t$ に対してベクトルの角が逆向きに回る。したがって指数は $-1$ である。

指数の値をいくつか並べる。

$$\text{湧き出し }(x,y),\ \text{吸い込み }(-x,-y),\ \text{渦 }(-y,x)\ :\ +1;\qquad \text{鞍点 }(x,-y)\ :\ -1 .$$

複素数 $z=x+\mathrm{i} y$ を使って、成分が $X^1+\mathrm{i} X^2=z^n$ のベクトル場を考える。ベクトルの角は $n\arg z$ なので、指数は $n$ になる。複素共役 $\bar z^{\,n}$ にすると、指数は $-n$ になる（図15.3）。

Poincaré–Hopf の定理

証明

$M$ に Riemann 計量を1つ入れる。

各零点のまわりに、座標近傍に収まる小さな円板 $D_i$ を互いに交わらないようにとる。円板を除いた残りを $M'$ と書くと、その上ではベクトル場は0にならない。したがって $M'$ の上では、$e_1=X/\left\vert X\right\vert$ とそれを左へ直角に回したベクトルが正規直交枠になる。この枠の接続1形式を $\omega_{12}$ とする。

$M'$ に Stokes の定理と構造方程式 (15.1) を使う。$M'$ の境界は円 $C_i$ の集まりで、残りの部分を左に見る向きは各円板から見て時計回りである。したがって、円を反時計回りにとって次の式になる。

$$-\int_{M'}K\,\mathrm{d} A=\int_{M'}\mathrm{d}\omega_{12}=-\sum_i\oint_{C_i}\omega_{12} .$$

各円板 $D_i$ の上には、座標基底から作った正規直交枠 $(f_1,f_2)$ がある。その接続1形式を $\omega'_{12}$ とし、円の上で $e_1=\cos\psi\,f_1+\sin\psi\,f_2$ と書く。定義 15.1 から $\omega_{12}=\omega'_{12}+\mathrm{d}\psi$ が出る（確認テスト 15.4-4 と同じ計算である）。

角 $\psi$ は枠 $f$ に対するベクトル場の向きの角である。したがって一周の変化は指数の $2\pi$ 倍である。枠 $f$ は座標基底から連続的に作ったので、$f$ で測っても座標成分で測っても、回る回数は同じだからである。一方、$\omega'_{12}$ は円板の全体で定義されているので、Stokes の定理から次の式になる。

$$\oint_{C_i}\omega'_{12}=\int_{D_i}\mathrm{d}\omega'_{12}=-\int_{D_i}K\,\mathrm{d} A .$$

以上をまとめると次の式を得る。

$$\int_{M'}K\,\mathrm{d} A=\sum_i\Bigl(-\int_{D_i}K\,\mathrm{d} A+2\pi\,\mathrm{ind}_{p_i}(X)\Bigr),\qquad\text{すなわち}\qquad \int_MK\,\mathrm{d} A=2\pi\sum_i\mathrm{ind}_{p_i}(X).$$

左辺は大域の Gauss–Bonnet の定理 15.7 により $2\pi\chi(M)$ なので、(15.8) が成り立つ。

証明の要点は、零点では枠 $X/\left\vert X\right\vert$ が定義できないことにある。そのことが、接続1形式の積分に「$2\pi$ に指数を掛けた量」のずれとして現れる。この式は、指数の和が計量にもベクトル場にもよらないことを同時に示している。

証明

滑らかなベクトル場の場合、零点が無ければ (15.8) の左辺は0である。しかし $\chi(S^2)=2$ なので矛盾する。連続なベクトル場で零点が無い場合は、それに十分近い滑らかなベクトル場にも零点が無いので、同じ矛盾になる。

物理での読み方を2つ挙げる。地表の風の水平成分は球面の上の接ベクトル場なので、地球上のどこかに風の水平成分が0の地点が必ずある。地磁気の水平成分も同じで、伏角が $90^\circ$ になる磁極が少なくとも1つ存在する。

トーラスの Euler 標数は0なので、トーラスは零点の無いベクトル場を持つことができ、$\partial_u$ がその例である。核融合のトカマクでは、磁力線が閉じた入れ子状の曲面（磁気面）の上を走るように磁場を作る。磁気面の上で磁場は接ベクトル場で、0になる点があると閉じ込めが破れる。したがって磁気面は Euler 標数が0の曲面でなければならず、球面状にはできずトーラス状になる。

勾配のベクトル場と臨界点の数

関数 $f$ の勾配の零点は、$f$ の臨界点である。臨界点で Hesse 行列 $H$ が正則なら、その点を非退化な臨界点と呼ぶ。非退化な臨界点の近くでは勾配は $H(\bm{x}-p)$ で近似できるので、補題 15.12 から指数は $\det H$ の符号である。極大点と極小点の指数は $+1$、鞍点の指数は $-1$ になる。

したがって、非退化な臨界点だけを持つ関数について、次の数え上げの式が成り立つ。

$$(\text{極大点の数})-(\text{鞍点の数})+(\text{極小点の数})=\chi(M) .$$

球面の高さ関数は極大点1つと極小点1つを持ち、$1+1=2$ である。立てたトーラスの高さ関数は、極大点・極小点が1つずつ、鞍点が2つで、$1-2+1=0$ となる（確認テスト 15.3-3）。

確認テスト

オリジナル

1. 15.3-1 渦巻き状に吸い込むベクトル場 $(-x-y,\,x-y)$ の原点での指数を、補題 15.12 を使って答えよ。
2. 15.3-2 成分が $X^1+\mathrm{i} X^2=\bar z^{\,3}$ のベクトル場の成分を $x,y$ で書き、原点での指数を求めよ。
3. 15.3-3 次の媒介変数表示のトーラスを考える（$0<b<a$）。

$$(x,y,z)=\bigl((a+b\cos v)\cos u,\ b\sin v,\ (a+b\cos v)\sin u\bigr) .$$

高さ関数 $z$ の臨界点をすべて求め、それぞれの指数を Hesse 行列の符号から決めて、和が $\chi=0$ になることを確かめよ。4. 15.3-4 トカマクの磁気面が球面になりえないことを、Poincaré–Hopf の定理から示せ。磁気面は向きのついた閉曲面で、その上で磁場は面に接し、どこでも0でないものとする。