平行移動とホロノミー

物理のための微分幾何入門　第9章 §9.3　★★★ 曲線に沿って共変微分が0になるようにベクトルを運ぶ。閉曲線を一周したときの回転角は、囲んだ領域の Gauss 曲率の積分に等しい

共変微分は、ベクトル場を各点で微分する操作であった。これを曲線に沿う微分に直すと、ある点のベクトルを別の点へ「平行に」運ぶ規則が得られる。平らな平面ではこの規則は普通の平行移動に戻るが、曲がった面では運ぶ道によって結果が変わる。

曲線に沿う共変微分と平行移動

曲線 $\gamma$ を座標で $x^i(t)$ と書く。曲線の上の各点にベクトル $V(t)$ が与えられているとし、ベクトル場は曲線の上だけで定義されていればよいとする。(9.10) で $X$ を曲線の速度に置き換え、$\dot x^i\partial_iV^k=\mathrm{d} V^k/\mathrm{d} t$ と書き直したものを、曲線に沿う共変微分と呼ぶ。

$$\frac{DV^k}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} V^k}{\mathrm{d} t}+\Gamma^k{}_{ij}\,\dot x^i\,V^j .\tag{9.16}$$

§9.1 の加速度 (9.5) は、速度 $V=\dot x$ にこれを当てはめたものである。

証明

(a) (9.16) を0とおくと、$V^k$ についての1次の常微分方程式になる。

$$\frac{\mathrm{d} V^k}{\mathrm{d} t}=-\Gamma^k{}_{ij}\bigl(x(t)\bigr)\dot x^i(t)\,V^j .$$

係数は時間の連続関数なので、線形常微分方程式の存在と一意性の定理から、解は区間全体でただ1つある（線形なので解が途中で発散することはない）。曲線が1枚の座標で覆えないときは、区間を分けて座標ごとに解をつなげばよい。

(b) 方程式が $V$ について1次なので、解の和と定数倍もまた解である。したがって $V_0\mapsto V(t)$ は1次写像である。

(c) $V$ と $W$ をどちらも平行なベクトルとする。計量との両立 (9.12) を曲線に沿って書くと次の式になる。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}g(V,W)=g\Bigl(\frac{DV}{\mathrm{d} t},W\Bigr)+g\Bigl(V,\frac{DW}{\mathrm{d} t}\Bigr)=0 .$$

したがって $g(V,W)$ は一定で、平行移動は内積を保つ。

空間 $\mathbb{R}^3$ の中の曲面では、命題 9.3 から次の言い換えが成り立つ。曲線に沿うベクトル $\bm{W}(t)$ が平行であることは、空間での微分 $\mathrm{d}\bm{W}/\mathrm{d} t$ が各点で曲面の法線に平行であることと同じである。つまり平行移動とは、接平面に留まるのに必要な分だけ向きを変え、それ以外には回さずに運ぶ操作である。§9.4 ではこの言い換えを振り子に使う。

球面の測地三角形

半径 $R$ の球面で、3点を結ぶ三角形を考える。1点目は北極 $N$、2点目は経度0の赤道上の点 $A$ である。3点目は、経度90度の赤道上の点 $B$ である。

3つの辺はどれも大円の4分の1で、3つの内角はどれも直角である。球面の Christoffel 記号（確認テスト 9.2-2）は次の2種類だけが0でない。

$$\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta,\qquad \Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi{}_{\varphi\theta}=\cot\theta .\tag{9.17}$$

経線の上では経度が変わらないので、(9.16) の Christoffel 記号の項に残るのは $\Gamma^k{}_{\theta j}$ だけである。$V=\partial_\theta$ を入れると、必要な係数 $\Gamma^k{}_{\theta\theta}$ はすべて0である。したがって $\partial_\theta$ は経線に沿って平行である。

赤道の上では $\cos\theta=0$ なので、(9.17) はどちらも0になる。したがって赤道に沿っては、2つの座標基底がどちらも平行である。

北極で、経線 $NA$ に沿って $A$ へ向かう向きのベクトルから始める（図 9.2）。経線を下る間、ベクトルは $\partial_\theta$ の向き（南向き）のまま運ばれ、$A$ に着く。赤道を東へ進む間も南向きのまま運ばれ、$B$ に着く。経線 $BN$ を北極へ上る間も南向き、つまり進む向きと逆向きのまま運ばれる。

北極に戻ったとき、ベクトルは経線 $BN$ を逆にたどる向き、つまり経度 $90^\circ$ の経線の方向を指している。出発のときは経度0の経線の方向を指していたので、一周で直角だけ回ったことになる。三角形の面積は球面の8分の1で $\frac{\pi}{2}R^2$ である。回転角 $\frac{\pi}{2}$ は、この面積に Gauss 曲率を掛けたものに一致する。

ホロノミーと曲率

始点と終点が同じ点 $p$ である閉曲線 $\gamma$ を考える。これに沿う平行移動は、$p$ の接空間からそれ自身への1次写像 $P_\gamma$ を与える。これを曲線 $\gamma$ のホロノミーと呼ぶ。

2次元の向きのついた曲面では、定理 9.10 (c) からホロノミーは長さと角を保つので、ある角度 $\Delta\alpha$ の回転である。平らな平面ではどの閉曲線でも回転角は0であり、0でない回転角は曲がり方を表す。

回転角を計算するために、曲面の一部で各点に正規直交の基底 $\bm{e}_1,\bm{e}_2$ を選ぶ。向きは曲面の向きに合わせる。曲線に沿って $\bm{e}_1$ を共変微分すると、長さが1のまま変わらないので、結果は $\bm{e}_2$ に平行になる。その係数を、接続1形式 $\omega_{12}$ と呼ぶ。

$$\nabla_X\bm{e}_1=\omega_{12}(X)\,\bm{e}_2,\qquad \nabla_X\bm{e}_2=-\omega_{12}(X)\,\bm{e}_1 .\tag{9.18}$$

添字 $12$ は、第14章の正準2形式や一般の1形式に使う $\omega$ と区別するために付ける（第15章も同じ字を使う）。2つ目の式は、$g(\bm{e}_1,\bm{e}_2)=0$ を微分して (9.12) を使えば1つ目から従う。

証明

Leibniz 則と (9.18) を使って、$V$ を曲線に沿って共変微分する。

$$\frac{DV}{\mathrm{d} t}=\dot\alpha(-\sin\alpha\,\bm{e}_1+\cos\alpha\,\bm{e}_2)+\omega_{12}(\dot\gamma)(\cos\alpha\,\bm{e}_2-\sin\alpha\,\bm{e}_1) =\bigl(\dot\alpha+\omega_{12}(\dot\gamma)\bigr)(-\sin\alpha\,\bm{e}_1+\cos\alpha\,\bm{e}_2).$$

最後の括弧のベクトルは長さ1なので、平行であることと $\dot\alpha+\omega_{12}(\dot\gamma)=0$ は同じである。

第一基本形式の非対角成分が0の座標、つまり直交座標 $(u,v)$ を考える。このときは、座標基底を正規化して正規直交の基底がとれる。

$$\bm{e}_1=\frac{\bm{r}_u}{\sqrt E},\qquad \bm{e}_2=\frac{\bm{r}_v}{\sqrt G}.$$

接続1形式は、第一基本形式の $E,G$ だけで書ける。

$$\omega_{12}=-\frac{(\sqrt E)_v}{\sqrt G}\,\mathrm{d} u+\frac{(\sqrt G)_u}{\sqrt E}\,\mathrm{d} v .\tag{9.20}$$

導出は次のとおりである。$\omega_{12}(\partial_u)=g(\nabla_u\bm{e}_1,\bm{e}_2)$ を計算する。正規化の因子を微分した項は $\bm{r}_u$ に平行なので、$\bm{e}_2$ との内積で消える。

$$\omega_{12}(\partial_u)=\frac{g(\nabla_u\bm{r}_u,\bm{r}_v)}{\sqrt{EG}}=\frac{g_{vk}\Gamma^k{}_{uu}}{\sqrt{EG}}=\frac{-\frac12E_v}{\sqrt{EG}}=-\frac{(\sqrt E)_v}{\sqrt G}.$$

$\partial_v$ 方向も同じように計算する。

$$\omega_{12}(\partial_v)=\frac{g(\nabla_v\bm{r}_u,\bm{r}_v)}{\sqrt{EG}}=\frac{g_{vk}\Gamma^k{}_{vu}}{\sqrt{EG}}=\frac{\frac12G_u}{\sqrt{EG}}=\frac{(\sqrt G)_u}{\sqrt E}.$$

途中の Christoffel 記号の値は、(9.1) に非対角成分が0の計量を入れて得た。

第8章 §8.4 で、直交座標での Gauss 曲率を第一基本形式だけで表す式を導いた。

$$K=-\frac{1}{\sqrt{EG}}\biggl[\Bigl(\frac{(\sqrt G)_u}{\sqrt E}\Bigr)_u+\Bigl(\frac{(\sqrt E)_v}{\sqrt G}\Bigr)_v\biggr].\tag{9.21}$$

(9.20) の外微分をとって (9.21) と比べると、次の関係が分かる。

$$\mathrm{d}\omega_{12}=\biggl[\Bigl(\frac{(\sqrt G)_u}{\sqrt E}\Bigr)_u+\Bigl(\frac{(\sqrt E)_v}{\sqrt G}\Bigr)_v\biggr]\mathrm{d} u\wedge\mathrm{d} v=-K\,\mathrm{d} A,\qquad \mathrm{d} A=\sqrt{EG}\,\mathrm{d} u\wedge\mathrm{d} v .\tag{9.22}$$

外微分の一般論は第12章で扱う。ここでは1形式 $P\,\mathrm{d} u+Q\,\mathrm{d} v$ の外微分が $(Q_u-P_v)\,\mathrm{d} u\wedge\mathrm{d} v$ であることだけを使う。

証明

補題 9.11 を曲線に沿って積分すると、回転角は接続1形式の線積分で書ける。

$$\Delta\alpha=\int_0^T\dot\alpha\,\mathrm{d} t=-\oint_{\partial D}\omega_{12} .$$

基底は領域の全体でなめらかに定義されているので、座標平面での Green の定理と (9.22) が使える。

$$\oint_{\partial D}\omega_{12}=\iint_D\mathrm{d}\omega_{12}=-\iint_DK\,\mathrm{d} A .$$

2つの式を合わせれば (9.23) を得る。基底は領域の上で1つに決まっているので、一周して戻った基底は出発のときと同じであり、この角はホロノミーの回転角そのものである。

確認テスト

オリジナル

1. 9.3-1 平らな平面で、閉曲線に沿う平行移動のホロノミーが恒等写像になることを、デカルト座標での平行移動の方程式から説明せよ。
2. 9.3-2 平面の極座標 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2$ で、(9.20) から接続1形式を求めよ。原点を囲む円を一周したときの $\Delta\alpha=-\oint\omega_{12}$ を計算し、ホロノミーが恒等写像であることと矛盾しない理由を述べよ。
3. 9.3-3 半頂角 $\beta$ の円錐面を考える。線素は、頂点からの母線の長さ $\rho$ と回転角 $\varphi$ を使って次の形に書ける。

$$\mathrm{d} s^2=\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\sin^2\beta\,\mathrm{d}\varphi^2 .$$

頂点を囲む円を一周したときの回転角を求めよ。頂点以外では Gauss 曲率が0であることも確かめよ。4. 9.3-4 球面の測地三角形 $N\to A\to B\to N$ で、北極での2本の経線のなす角を $\phi_0$ に変える。ただし $0<\phi_0<\pi$ とする。ホロノミーの回転角を求めよ。面積からも求め、両者が一致することを確かめよ。