確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第13章 §13.7

1. 13.1-1 関数 $g$ に作用させる。$(fY)g=f\,(Yg)$ なので、$X$ を作用させるときは積の微分が出る。

$$[X,fY]g=X\bigl(f\,Yg\bigr)-fY(Xg)=(Xf)(Yg)+f\,X(Yg)-f\,Y(Xg).$$

右辺は $(Xf)\,Yg+f\,[X,Y]g$ に等しい。$g$ は任意なので、Leibniz 則が成り立つ。2. 13.1-2 成分は $D=(x,y)$、$R=(-y,x)$ である。回転の成分は1次式なので、$D^j\partial_jR^i$ は $R^i$ そのものになる。拡大の成分の微分は単位行列なので、$R^j\partial_jD^i$ も $R^i$ になる。

$$[D,R]^i=D^j\partial_jR^i-R^j\partial_jD^i=R^i-R^i=0.$$

拡大の流れは $\Phi^D_s(x,y)=\mathrm{e}^s(x,y)$、回転の流れは角 $t$ の回転である。回転行列は数の掛け算と可換なので、どちらを先に行っても同じ点に着き、流れは可換である。系 13.5 と定理 13.9 のどちらとも合う。3. 13.1-3 成分は $R_y=(z,0,-x)$、$R_z=(-y,x,0)$ である。(13.2) の2つの項を順に計算する。

$$\begin{aligned}R_y^j\partial_jR_z&=z\,\partial_xR_z=(0,\;z,\;0)&&\text{（}{R_z}\text{ は }{x,y}\text{ だけによる）},\\ R_z^j\partial_jR_y&=-y\,\partial_xR_y+x\,\partial_yR_y=(0,\;0,\;y)&&\text{（}{\partial_xR_y=(0,0,-1)}\text{、}{\partial_yR_y=0}\text{）}.\end{aligned}$$

差は次のとおりである。

$$[R_y,R_z]=(0,\;z,\;-y)=-(0,\;-z,\;y)=-R_x.$$

後半は、$(x,y)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta)$ を連鎖律に使う。

$$\partial_\theta=\frac{\partial x}{\partial\theta}\partial_x+\frac{\partial y}{\partial\theta}\partial_y=-y\,\partial_x+x\,\partial_y=R_z.$$ 4. 13.1-4 2つの流れは次のとおりである。

$$\Phi^X_t(x,y)=(x+t,\;y),\qquad \Phi^Y_t(x,y)=(x,\;y+\mathrm{e}^xt).$$

原点から順にたどる。

$$(0,0)\to(t,0)\to(t,\;\mathrm{e}^tt)\to(0,\;\mathrm{e}^tt)\to(0,\;\mathrm{e}^tt-t).$$

縦の座標を展開すると $t(\mathrm{e}^t-1)=t^2+\tfrac12t^3+\mathcal{O}(t^4)$ である。一方、括弧は $[X,Y]=\partial_x(\mathrm{e}^x)\,\partial_y=\mathrm{e}^x\partial_y$ で、原点では $\partial_y$ になる。(13.4) の予言 $t^2+\mathcal{O}(t^3)$ と合う。5. 13.2-1 距離の2乗には $R(x^2+y^2)=(-y)(2x)+x(2y)=0$ となる。原点からの距離は回転で変わらない。横の座標には $Rx=-y$ となり、点が回るとき横の座標は $-y$ の速さで変わる。6. 13.2-2 内部積は $\iota_X(\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y)=X^x\mathrm{d} y-X^y\mathrm{d} x=x^2\mathrm{d} y-xy\,\mathrm{d} x$ である。外微分をとる。

$$\mathrm{d}(x^2\mathrm{d} y-xy\,\mathrm{d} x)=2x\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y-x\,\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d} x=3x\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y.$$

面積形式は閉形式なので、$\mathcal L_X(\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y)=3x\,\mathrm{d} x\wedge\mathrm{d} y$ である。

係数が0になるのは縦軸の上だけで、面積を持つ領域では面積を保たない。右半平面では面積を広げ、左半平面では縮める。7. 13.2-3 直交座標では $(\mathcal L_X\delta)_{ij}=\partial_iX_j+\partial_jX_i$ である。回転では成分の微分が次のとおりになる。

$$\partial_xR_x=\partial_yR_y=0,\qquad \partial_xR_y+\partial_yR_x=1-1=0.$$

よって $\mathcal L_R\delta=0$ で、回転は長さを変えない。

横方向の伸び $U=(x,0)$ では、0でない成分は $(\mathcal L_U\delta)_{xx}=2$ だけである。したがって $\mathcal L_U\delta=2\,\mathrm{d} x^2$ になる。流れ $(\mathrm{e}^tx,\,y)$ は横方向の長さを $\mathrm{e}^t$ 倍に伸ばし、縦方向の長さは変えない。8. 13.2-4 $\alpha$ を $k$ 形式とし、2つの項を順に展開する。

$$\begin{aligned}\iota_X\mathrm{d}(\alpha\wedge\beta)&=\iota_X\bigl(\mathrm{d}\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge\mathrm{d}\beta\bigr)\\ &=\iota_X\mathrm{d}\alpha\wedge\beta+(-1)^{k+1}\mathrm{d}\alpha\wedge\iota_X\beta+(-1)^k\iota_X\alpha\wedge\mathrm{d}\beta+\alpha\wedge\iota_X\mathrm{d}\beta,\\ \mathrm{d}\iota_X(\alpha\wedge\beta)&=\mathrm{d}\bigl(\iota_X\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge\iota_X\beta\bigr)\\ &=\mathrm{d}\iota_X\alpha\wedge\beta+(-1)^{k-1}\iota_X\alpha\wedge\mathrm{d}\beta+(-1)^k\mathrm{d}\alpha\wedge\iota_X\beta+\alpha\wedge\mathrm{d}\iota_X\beta.\end{aligned}$$

ここで、外微分が次数を1上げ、内部積が次数を1下げることを使った。

2式を足すと、交差項の係数はどちらも0になる。

$$(-1)^{k+1}+(-1)^k=0,\qquad (-1)^k+(-1)^{k-1}=0.$$

残りは $P\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge P\beta$ である。9. 13.2-5 内部積を2回続けると0になる（交代性から $\omega(X,X,\dots)=0$）。これを使う。

$$\mathcal L_X\iota_X=(\iota_X\mathrm{d}+\mathrm{d}\iota_X)\iota_X=\iota_X\mathrm{d}\iota_X,\qquad \iota_X\mathcal L_X=\iota_X(\iota_X\mathrm{d}+\mathrm{d}\iota_X)=\iota_X\mathrm{d}\iota_X.$$

両者は等しい。10. 13.3-1 成分は $D=(x,y)$ で、成分の微分は $\partial_iD_j=\delta_{ij}$ である。

$$(\mathcal L_D\delta)_{ij}=\partial_iD_j+\partial_jD_i=2\delta_{ij},\qquad \mathcal L_D\delta=2\delta\ne0.$$

拡大は Killing ベクトルではない。流れ $\mathrm{e}^t(x,y)$ は長さを $\mathrm{e}^t$ 倍にし、角は変えない（計量を定数倍するだけ）。11. 13.3-2 計量の成分は $g_{ij}=y^{-2}\delta_{ij}$ である。(13.13) の3つの項を計算する。

$$D^k\partial_kg_{ij}=y\,\partial_y(y^{-2})\,\delta_{ij}=-2y^{-2}\delta_{ij},\qquad g_{kj}\partial_iD^k+g_{ik}\partial_jD^k=2y^{-2}\delta_{ij}.$$

和は0なので、拡大は双曲平面の Killing ベクトルである。

測地線の速度は次のとおりである。

$$\dot x=a\,\mathrm{sech}^2\tau,\qquad \dot y=-a\,\mathrm{sech}\,\tau\tanh\tau.$$

これを代入する。

$$g(D,\dot x)=\frac{x\dot x+y\dot y}{y^2} =\frac{(c+a\tanh\tau)\,a\,\mathrm{sech}^2\tau-a^2\,\mathrm{sech}^2\tau\tanh\tau}{a^2\,\mathrm{sech}^2\tau}=\frac ca.$$

パラメータによらず一定である。中心が原点の半円では値が0で、この半円は拡大の流れの線（原点から出る半直線）と直交する。12. 13.3-3 成分は $(B^t,B^x)=(x,t)$、計量は $(g_{tt},g_{xx})=(1,-1)$ で、計量は定数である。(13.13) の第1項は0で、残りを成分ごとに計算する。

$$\begin{aligned}(\mathcal L_Bg)_{tt}&=2g_{tt}\partial_tB^t=0,\qquad (\mathcal L_Bg)_{xx}=2g_{xx}\partial_xB^x=0,\\ (\mathcal L_Bg)_{tx}&=g_{tt}\partial_xB^t+g_{xx}\partial_tB^x=1-1=0.\end{aligned}$$

ブーストは Killing ベクトルである。

等速運動では、固有時についての速度は $(\dot t,\dot x)=(\gamma,\gamma v)$ である（$\gamma=1/\sqrt{1-v^2}$）。

$$g(B,\dot x)=g_{tt}B^t\dot t+g_{xx}B^x\dot x=x\gamma-t\gamma v=\gamma(x_0+vt-vt)=\gamma x_0.$$

一定値 $\gamma x_0$ は、エネルギー $\gamma$ を重みとした「時刻0の位置」である。この保存則は、エネルギーの重心が等速で動くことを表す。13. 13.3-4 $R_z=\partial_\varphi$ の成分は定数なので、(13.2) で残るのは $[R_z,R_x]^i=\partial_\varphi R_x^i$ だけである。

$$[R_z,R_x]=\partial_\varphi(-\sin\varphi)\,\partial_\theta+\partial_\varphi(-\cot\theta\cos\varphi)\,\partial_\varphi =-\cos\varphi\,\partial_\theta+\cot\theta\sin\varphi\,\partial_\varphi.$$

これは (13.14) の $R_y$ の $-1$ 倍で、(13.6) の3番目の式と一致する。14. 13.4-1 回転の成分は $(R^x,R^y)=(-y,x)$ である。速度の成分の変化率 $\dot q^j\partial_jR^i$ は $(-\dot y,\dot x)$ になる。

$$\tilde R=-y\,\partial_x+x\,\partial_y-\dot y\,\partial_{\dot x}+\dot x\,\partial_{\dot y}.$$

これを速さの2乗に作用させると $2\dot x(-\dot y)+2\dot y(\dot x)=0$ である。速度ベクトルも同じ角だけ回るので、速さは変わらない。15. 13.4-2 並進 $X=a\,\partial_x+b\,\partial_y$ では持ち上げは並進そのもので、運動エネルギーは変わらない。ポテンシャルには $XV=V'\cdot(a-2b)$ となるので、$a=2b$ のとき対称性である。向きは $(2,1)$ で、保存量は次のとおりである。

$$Q=2p_x+p_y=m(2\dot x+\dot y).$$ 16. 13.4-3 運動エネルギーの計量は半径 $a$ の球面の計量で、3つの回転はすべて Killing ベクトルである。(13.20) から、ポテンシャル $V=-mga\cos\theta$ を変えない回転が対称性になる。3つの回転を $\cos\theta$ に作用させる。

$$R_z\cos\theta=0,\qquad R_x\cos\theta=\sin\varphi\sin\theta,\qquad R_y\cos\theta=-\cos\varphi\sin\theta.$$

対称性は $R_z$ だけで、保存量は $Q=p_\varphi=ma^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$ である。

与えられた初期値では $\sin^2(\pi/3)=3/4$ なので、次の値になる。

$$Q=ma^2\cdot\frac34\cdot2\sqrt{\frac ga}=\frac32\,m\,a^{3/2}g^{1/2}.$$ 17. 13.4-4 座標変換で、ベクトルの成分は次のように変わる。

$$X'^i=\frac{\partial q'^i}{\partial q^j}X^j.$$

運動量は、速度の関係 $\dot q^j=(\partial q^j/\partial q'^i)\dot q'^i$ を使って次のように変わる。

$$p'_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q'^i}=p_j\frac{\partial q^j}{\partial q'^i}.$$

2つを縮約する。

$$p'_iX'^i=p_k\frac{\partial q^k}{\partial q'^i}\frac{\partial q'^i}{\partial q^j}X^j=p_k\,\delta^k_j\,X^j=p_jX^j.$$

2つの Jacobi 行列は互いに逆行列なので、値は変わらない。18. 13.5-1 流れは $\mathrm{e}^s(x,y)$ で、流れの線は原点から出る半直線である。不変量は角 $f=\theta$ で、流れの時間は $s=\ln r$ である。

$$D\theta=x\cdot\frac{-y}{r^2}+y\cdot\frac{x}{r^2}=0,\qquad D\ln r=x\cdot\frac{x}{r^2}+y\cdot\frac{y}{r^2}=1.$$

逆変換は $(x,y)=\mathrm{e}^s(\cos f,\,\sin f)$ で、運動エネルギーは次の式になる。

$$\frac m2(\dot x^2+\dot y^2)=\frac m2\,\mathrm{e}^{2s}\bigl(\dot s^2+\dot f^2\bigr).$$

Lagrangian は $s$ を含むので、この座標は循環座標ではない。拡大は Killing ベクトルではなく（確認テスト 13.3-1）、対称性ではないからである。流れの箱は止まらないどんな流れにも作れるが、循環座標になるのは流れが対称性のときだけである。19. 13.5-2 流れは $(\mathrm{e}^sx,\,\mathrm{e}^{-s}y)$ で、流れの線は双曲線である。不変量は $f=xy$、流れの時間は $s=\ln x$ である。

$$Xf=x\cdot y+(-y)\cdot x=0,\qquad Xs=x\cdot\frac1x=1.$$

逆変換は $(x,y)=(\mathrm{e}^s,\,f\mathrm{e}^{-s})$ である。Jacobi 行列式は $\partial(s,f)/\partial(x,y)=(1/x)\cdot x-0\cdot y=1$ で、0にならない。20. 13.5-3 曲面 $z=h(x,y)$ に2つのベクトル場が接するとする。曲面の上で関数 $F=z-h(x,y)$ は0なので、接するベクトル場は $F$ を0にする。

$$XF=-h_x=0,\qquad YF=x-h_y=0.$$

第2式を横の座標で微分すると $h_{xy}=1$ である。第1式を縦の座標で微分すると $h_{xy}=0$ になり、矛盾する。したがってそのような曲面は無い。この矛盾は $[X,Y]F=X(YF)-Y(XF)$ に表れ、括弧 $\partial_z$ が面から外へ出ることに対応する。21. 13.5-4 円柱座標では $X=\partial_\varphi+b\,\partial_z$、$R_z=\partial_\varphi$ である。どちらも成分が定数なので、括弧は0である。新しい座標からの逆変換は $\varphi=w+s$、$z=bs$ である。連鎖律で座標基底を元の座標で書く。

$$\frac{\partial}{\partial w}=\frac{\partial\varphi}{\partial w}\partial_\varphi+\frac{\partial z}{\partial w}\partial_z=\partial_\varphi=R_z,\qquad \frac{\partial}{\partial s}=\partial_\varphi+b\,\partial_z=X.$$ 22. 13.5-5 半径は不変量で、角は流れの時間なので、$X(\theta+r)=1+0=1$ である。$s'=0$ の曲線は $\theta=-r$ で、原点から出て時計回りに巻く渦巻き（図 13.3 の緑の破線）である。

$\dot\theta=\dot s'-\dot r$ を代入すると、Lagrangian は次の式になる。

$$L=\frac m2\Bigl(\dot r^2+r^2(\dot s'-\dot r)^2\Bigr)-V(r),\qquad p_{s'}=\frac{\partial L}{\partial\dot s'}=mr^2(\dot s'-\dot r)=mr^2\dot\theta.$$

Lagrangian は $s'$ を含まないので、この座標は循環座標である。面を取り替えても、保存量は同じ角運動量になる（$p_iX^i$ は座標の取り方によらない）。