この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第13章 §13.6

この章では、ベクトル場の流れを使って対称性を扱った。2つの流れを交互にたどるとずれが生じ、その主要部が Lie 括弧 $[X,Y]$ になる。座標基底は可換なので、可換でない流れは同時に座標軸にならない。

Lie 括弧は、流れで引き戻して微分する Lie 微分の、ベクトル場の場合である。同じ定義が関数・形式・計量に使える。微分形式では Cartan の公式 $\mathcal L_X=\iota_X\mathrm{d}+\mathrm{d}\iota_X$ で、流れを解かずに計算できる。面積形式に当てると発散が、流体の質量形式に当てると連続の式が出た。

計量を保つ流れの生成子 Killing ベクトルについては、測地線に沿って $g(K,\dot x)$ が保存することを示した。球面の回転からは角運動量の3成分、回転面からは Clairaut の関係が出る。同じ考えを Lagrangian に広げると Noether の定理になり、保存量は運動量1形式を対称性のベクトルに当てた値 $p_iX^i$ である。一様磁場の中の荷電粒子では、並進は準対称性で、保存量は円軌道の中心の座標を与えた。

最後に、対称性の流れに対して $Xs=1$ と $Xf=0$ を解くと、流れが座標軸になる座標ができることを示した（流れの箱の定理）。その座標では $s$ が循環座標で、その正準運動量が Noether の保存量に一致する。回転からは極座標が、螺旋の対称性からは座標 $(s,u,v)$ と保存量 $\ell_z+bp_z$ が出た。可換な流れは同時に座標軸にでき、可換でない組については Frobenius の定理が積分多様体の有無を決める。

第14章では、相空間の上で同じことを行う。保存量から Hamilton ベクトル場を作ると、それがこの章の対称性の流れを生成し、Lie 括弧は Poisson 括弧と結び付く。作用角変数は、この章の流れの時間を、可換な保存量の組について大域的に作ったものである。