確認テストの解答

物理のための微分幾何入門　第4章 §4.6

1. 4.1-1 定理 4.4 より、次元は $n^{r+s}=4^{1+2}=64$ である。
2. 4.1-2 0 でない成分は $T_{xx}=2,\ T_{xy}=1,\ T_{yx}=-3$ の3つである。

$$(T_{ij})=\begin{pmatrix}2&1\\-3&0\end{pmatrix},\qquad T(u,v)=T_{ij}u^iv^j=2\cdot1\cdot3+1\cdot1\cdot(-1)+(-3)\cdot2\cdot3=6-1-18=-13$$ 3. 4.1-3 成分で書くと、条件は $\alpha_i\beta_j=\beta_i\alpha_j$ がすべての添字の組で成り立つことである。比例 $\beta=c\alpha$ のときは、両辺はともに $c\,\alpha_i\alpha_j$ で、条件は成り立つ。

逆を示す。1形式 $\alpha$ は 0 でないので、0 でない成分 $\alpha_k$ がある。条件で $j=k$ とおくと、すべての $i$ について次の式が成り立つ。

$$\beta_i=\frac{\beta_k}{\alpha_k}\,\alpha_i$$

定数を $c=\beta_k/\alpha_k$ とおけば、$\beta=c\,\alpha$ である。4. 4.1-4 命題 4.5 より、表現行列の成分は $N^i{}_j=e^i(e_1)\,e^2(e_j)=\delta^i_1\delta^2_j$ である。

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad A^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$

写像としては $Ae_2=e_1,\ Ae_1=0$ である。2回続けると、どちらの基底ベクトルも 0 に写るので、$A^2=0$ がわかる。5. 4.2-1 列が新しい基底の成分になる行列と、その逆行列は次のとおりである。

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$$

ベクトルの新しい成分は $v'=Bv$ である。

$$v'=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$$

確かに $3e'_1+2e'_2=3e_1+3e_2+2e_2=3e_1+5e_2$ である。

1形式の新しい成分は $\alpha'_i=\alpha(e'_i)$ である。計算すると $\alpha'_1=\alpha(e_1+e_2)=2,\ \alpha'_2=\alpha(e_2)=1$ となる。元の基底では $1\cdot3+1\cdot5=8$、新しい基底では $2\cdot3+1\cdot2=8$ で、値は一致する。6. 4.2-2 極座標の関係 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を微分すると、次のようになる。

$$\mathrm{d} x=\cos\theta\,\mathrm{d} r-r\sin\theta\,\mathrm{d}\theta,\qquad \mathrm{d} y=\sin\theta\,\mathrm{d} r+r\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$$

これを代入して展開すると、交差項は $-r\sin\theta\cos\theta+r\sin\theta\cos\theta=0$ で消える。

$$g=\mathrm{d} r\otimes\mathrm{d} r+r^2\,\mathrm{d}\theta\otimes\mathrm{d}\theta,\qquad (g'_{ij})=\begin{pmatrix}1&0\\0&r^2\end{pmatrix}$$

行列で $g'=A^{\mathsf T}A$ を計算しても、同じ結果になる（行列は例題 4.2 のもの）。7. 4.2-3 変換則 (4.4) を $(2,1)$ 型に当てはめ、下の添字を上の第2添字にそろえる。

$$T'^{ik}{}_k=B^i{}_aB^k{}_bA^c{}_k\,T^{ab}{}_c$$

積 $B^k{}_bA^c{}_k$ は $(AB)^c{}_b=\delta^c_b$ である。したがって右辺は $B^i{}_a\,T^{ab}{}_b=B^i{}_aw^a$ になる。これはベクトルの変換則である。8. 4.2-4 行列で書くと $T^i{}_kT^k{}_i=\operatorname{Tr}(T^2)$ である。新しい基底では $T'=BTA$ なので、$T'^2=BTABTA=BT^2A$ となる。トレースの性質から $\operatorname{Tr}(BT^2A)=\operatorname{Tr}(T^2AB)=\operatorname{Tr} T^2$ で、値は変わらない。

例題 4.2 のテンソルでは、直交座標で $J^2=-1$（単位行列の $-1$ 倍）である。したがって値は $-2$ である。極座標でも次のように同じ値になる。

$$J'^2=\begin{pmatrix}0&-r\\1/r&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad \operatorname{Tr} J'^2=-2$$ 9. 4.3-1 命題 4.11 の式を成分に当てはめる。

$$(T_{(ij)})=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix},\qquad (T_{[ij]})=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

和をとると元の行列に戻る。10. 4.3-2 和の添字の名前を入れ替えても和は変わらない。

$$S^{ij}A_{ij}=S^{ji}A_{ji}=S^{ij}(-A_{ij})=-S^{ij}A_{ij}$$

2つ目の等号で、2つのテンソルの対称性と反対称性を使った。自分の符号を変えたものに等しい数は 0 である。11. 4.3-3 引張り応力は $\sigma_0=100\,\mathrm N/(1.0\times10^{-6}\,\mathrm{m^2})=1.0\times10^8\,\mathrm{Pa}$ である。角度が $30^\circ$ では、2つの三角関数の値は次のとおりである。

$$\cos^2\phi=\frac34,\qquad \sin\phi\cos\phi=\frac{\sqrt3}4$$

したがって2つの応力は次の値になる。

$$\sigma_n=\frac34\sigma_0=7.5\times10^7\,\mathrm{Pa},\qquad \tau=\frac{\sqrt3}{4}\sigma_0=4.3\times10^7\,\mathrm{Pa}$$

面に沿う応力の最大値は、$45^\circ$ での $\sigma_0/2=5.0\times10^7\,\mathrm{Pa}$ である。12. 4.3-4 計量は対角なので、添字を上げると時間の添字を1つ含む成分だけ符号が変わる。

$$F^{0i}=-F_{0i},\qquad F^{ij}=F_{ij}\quad(i,j=1,2,3)$$

これを使って和を分ける。

$$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2\sum_iF_{0i}F^{0i}+\sum_{i\neq j}F_{ij}F^{ij}=-2\sum_i\frac{E_i^2}{c^2}+2\bigl(B_z^2+B_x^2+B_y^2\bigr)$$

第1項の係数2は、成分 $F_{0i}$ と $F_{i0}$ の2つから出る。第2項は、空間の添字の3つの組が順序の違いで2回ずつ現れる。したがって $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2(B^2-E^2/c^2)$ である。13. 4.3-5 式 $A_{ij}=\epsilon_{ijl}a^l$ の両辺に $\tfrac12\epsilon_{kij}$ を掛け、2つの添字について和をとる。

$$\tfrac12\epsilon_{kij}A_{ij}=\tfrac12\epsilon_{kij}\epsilon_{ijl}a^l=\tfrac12\cdot2\delta_{kl}a^l=a^k$$

例として第3成分を書くと、次のようになる。

$$a^3=\tfrac12(\epsilon_{312}A_{12}+\epsilon_{321}A_{21})=\tfrac12(A_{12}-A_{21})=A_{12}$$ 14. 4.4-1 なりえない。命題 4.15 により、テンソル場の成分が1つの座標ですべて 0 なら、ほかのどの座標でもすべて 0 である。極座標で 0 でない成分があるので、この量はテンソル場ではない（Christoffel 記号がその例である）。15. 4.4-2 位置ベクトルは $\bm{X}=(u,\,v+u^2)$ である。

$$\bm{e}_u=\frac{\partial \bm{X}}{\partial u}=(1,\,2u),\qquad \bm{e}_v=\frac{\partial \bm{X}}{\partial v}=(0,\,1)$$

微分すると $\partial_u\bm{e}_u=(0,2)=2\bm{e}_v$ で、ほかの3つの微分は 0 である。定義 (4.19) から、0 でない Christoffel 記号は $\Gamma^v{}_{uu}=2$ だけである。座標線のうち一方は直線だが、もう一方の座標線（$v$ が一定の線）が放物線なので、記号は 0 にならない。16. 4.4-3 極座標で書くと $r=\sqrt{b^2+w^2t^2},\ \theta=\arctan(wt/b)$ である。微分すると次のようになる。

$$\dot r=\frac{w^2t}{r},\qquad \ddot r=\frac{w^2b^2}{r^3},\qquad \dot\theta=\frac{bw}{r^2},\qquad \ddot\theta=-\frac{2bw^3t}{r^4}$$

とくに $\ddot r=w^2b^2/r^3$ は正で、0 でない。

一方、向心の項は $r\dot\theta^2=b^2w^2/r^3$ なので、動径成分は $a^r=\ddot r-r\dot\theta^2=0$ である。また $(2/r)\dot r\dot\theta=2bw^3t/r^4$ なので、角度成分も $a^\theta=0$ である。力の働かない運動の加速度は、どの座標でも 0 になる。17. 4.4-4 1形式の変換則 $\partial'_jf=\frac{\partial x^k}{\partial x'^j}\partial_kf$ を、もう1回微分する。

$$\partial'_i\partial'_jf=\frac{\partial x^k}{\partial x'^j}\frac{\partial x^l}{\partial x'^i}\,\partial_l\partial_kf+\frac{\partial^2x^k}{\partial x'^i\partial x'^j}\,\partial_kf$$

第1項は $(0,2)$ 型の変換則で、第2項は一般に 0 でない。例として平面の関数 $f=x$ をとると、直交座標では2階偏微分はすべて 0 である。極座標では $f=r\cos\theta$ で、$\partial_\theta\partial_\theta f=-r\cos\theta$ は 0 でないので、命題 4.15 によりテンソルでない。

臨界点では $\partial_kf=0$ なので、第2項が消えて $(0,2)$ 型の変換則だけが残る。臨界点での2階微分が極小・極大・鞍点の判定に使えるのは、この値が座標に依らない対象だからである。