この章のまとめ

物理のための微分幾何入門　第4章 §4.5

この章では、テンソルを1形式とベクトルを引数にとる多重線形写像として定義した。基底を選ぶと成分 (4.3) が決まり、テンソル積の基底による展開が得られる。成分の変換則 (4.4) は、上の添字にヤコビ行列、下の添字にその逆行列が1つずつ掛かる形で、定義と多重線形性から導かれた。

上と下の添字を1対そろえて和をとる縮約は、2つの行列が打ち消し合うので基底に依らない。トレース、1形式とベクトルの対、線形写像の作用は、どれも縮約である。同じ段の添字どうしの和は基底で値が変わるので、計量で添字を下げるまで作ることができない。この「添字を下げる」操作を定めるのが、第5章の計量である。

対称性と反対称性は、同じ種類の2つの引数を入れ替えたときの性質なので基底に依らない。慣性テンソルと応力テンソルは対称で、主軸の定理により正規直交な主軸を持つ。電磁場テンソルは4次元の反対称テンソルで、その6成分が電場と磁場である。ブーストの変換則から、電場と磁場が慣性系の取り替えで混ざること (4.15) が直接出た。

テンソル場では変換則の係数が点ごとに変わるので、成分の微分 (4.16) に座標の2階微分の項が加わる。

1形式の微分を反対称化するとこの項が消え、電磁場テンソルはどの座標でもテンソルになる。この操作は第12章の外微分である。平面の Christoffel 記号は基底の微分係数で、変換則 (4.23) の第2項のためテンソルではない。それでも共変微分 (4.24) の中では、成分の微分の余分な項と打ち消し合ってテンソルを作る。

第5章では、$(0,2)$ 型の対称テンソルとして計量を導入し、添字の上げ下げと曲線座標の微分演算子を扱う。第8章では、曲面の上で Christoffel 記号を計量から作り直す。第9章では、この章の共変微分を一般の多様体に広げ、平行移動とホロノミーを扱う。